Homología de Hochschild

Teoría de álgebras asociativas sobre anillos

En matemáticas , la homología (y cohomología) de Hochschild es una teoría de homología para álgebras asociativas sobre anillos . También existe una teoría para la homología de Hochschild de ciertos funtores . La cohomología de Hochschild fue introducida por Gerhard Hochschild  (1945) para álgebras sobre un cuerpo , y extendida a álgebras sobre anillos más generales por Henri Cartan y Samuel Eilenberg  (1956).

Definición de homología de Hochschild de álgebras

Sea k un cuerpo, A un k - álgebra asociativa y M un A - bimódulo . El álgebra envolvente de A es el producto tensorial de A por su álgebra opuesta . Los bimódulos sobre A son esencialmente los mismos que los módulos sobre el álgebra envolvente de A , por lo que en particular A y M pueden considerarse como ^e -módulos de A. Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del funtor Tor y el funtor Ext mediante ${\displaystyle A^{e}=A\otimes A^{o}}$

${\displaystyle HH_{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)}$

${\displaystyle HH^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)}$

Complejo Hochschild

Sea k un anillo, A un k - álgebra asociativa que es un k -módulo proyectivo y M un A - bimódulo . Escribiremos para el producto tensorial n -fold de A sobre k . El complejo de cadena que da lugar a la homología de Hochschild está dado por ${\displaystyle A^{\otimes n}}$

${\displaystyle C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}}$

con operador de límite definido por ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}\\d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\\d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}\end{aligned}}}$

donde está en A para todos y . Si dejamos ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle m\in M}$

${\displaystyle b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},}$

entonces , es un complejo en cadena llamado complejo de Hochschild , y su homología es la homología de Hochschild de A con coeficientes en M. De ahora en adelante, escribiremos simplemente como . ${\displaystyle b_{n-1}\circ b_{n}=0}$ ${\displaystyle (C_{n}(A,M),b_{n})}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b}$

Observación

Los mapas son mapas de caras que hacen de la familia de módulos un objeto simplicial en la categoría de k -módulos, es decir, un funtor Δ ^o → k -mod, donde Δ es la categoría simplex y k -mod es la categoría de k -módulos. Aquí Δ ^o es la categoría opuesta de Δ. Los mapas de degeneración se definen por ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle (C_{n}(A,M),b)}$

${\displaystyle s_{i}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}\otimes 1\otimes a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}.}$

La homología de Hochschild es la homología de este módulo simplicial.

Relación con el complejo de bares

Existe un complejo de aspecto similar llamado complejo de Bar , que formalmente se parece mucho al complejo de Hochschild ^{[1] pág. 4-5} . De hecho, el complejo de Hochschild se puede recuperar del complejo de Bar como si diera un isomorfismo explícito. ${\displaystyle B(A/k)}$ ${\displaystyle HH(A/k)}$ $${\displaystyle HH(A/k)\cong A\otimes _{A\otimes A^{op}}B(A/k)}$$

Como una autointersección derivada

Hay otra interpretación útil del complejo de Hochschild en el caso de anillos conmutativos, y más generalmente, para haces de anillos conmutativos: se construye a partir de la autointersección derivada de un esquema (o incluso esquema derivado) sobre algún esquema base . Por ejemplo, podemos formar el producto de fibra derivado que tiene el haz de anillos derivados . Entonces, si se incrusta con el mapa diagonal, el complejo de Hochschild se construye como el pullback de la autointersección derivada de la diagonal en el esquema del producto diagonal A partir de esta interpretación, debería quedar claro que la homología de Hochschild debería tener alguna relación con los diferenciales de Kähler ya que los diferenciales de Kähler se pueden definir usando una autointersección de la diagonal, o más generalmente, el complejo cotangente ya que este es el reemplazo derivado para los diferenciales de Kähler. Podemos recuperar la definición original del complejo de Hochschild de un álgebra conmutativa estableciendo y Entonces, el complejo de Hochschild es cuasi-isomorfo a Si es un álgebra plana , entonces existe la cadena de isomorfismo que da una presentación alternativa pero equivalente del complejo de Hochschild. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle X\times _{S}^{\mathbf {L} }X}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{S}^{\mathbf {L} }X}$$ $${\displaystyle HH(X/S):=\Delta ^{*}({\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X})}$$ ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$$ $${\displaystyle X={\text{Spec}}(A)}$$ $${\displaystyle HH(A/k)\simeq _{qiso}A\otimes _{A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A}^{\mathbf {L} }A}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A\cong A\otimes _{k}A\cong A\otimes _{k}A^{op}}$$

Homología de Hochschild de funtores

El círculo simplicial es un objeto simplicial en la categoría de conjuntos puntiagudos finitos, es decir, un funtor. Por lo tanto, si F es un funtor , obtenemos un módulo simplicial al componer F con . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} _{*}}$ ${\displaystyle \Delta ^{o}\to \operatorname {Fin} _{*}.}$ ${\displaystyle F\colon \operatorname {Fin} \to k-\mathrm {mod} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle \Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}}.}$

La homología de este módulo simplicial es la homología de Hochschild del funtor F. La definición anterior de homología de Hochschild de álgebras conmutativas es el caso especial donde F es el funtor de Loday .

Función Loday

Un esqueleto para la categoría de conjuntos finitos puntiagudos está dado por los objetos

${\displaystyle n_{+}=\{0,1,\ldots ,n\},}$

donde 0 es el punto base y los morfismos son los mapas de conjuntos que preservan el punto base. Sea A una k-álgebra conmutativa y M un A -bimódulo simétrico ^{[ se necesita más explicación ]} . El funtor de Loday se da en objetos en ${\displaystyle L(A,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} _{*}}$

${\displaystyle n_{+}\mapsto M\otimes A^{\otimes n}.}$

Un morfismo

${\displaystyle f:m_{+}\to n_{+}}$

se envía al morfismo dado por ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f_{*}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{m})=b_{0}\otimes \cdots \otimes b_{n}}$

dónde

${\displaystyle \forall j\in \{0,\ldots ,n\}:\qquad b_{j}={\begin{cases}\prod _{i\in f^{-1}(j)}a_{i}&f^{-1}(j)\neq \emptyset \\1&f^{-1}(j)=\emptyset \end{cases}}}$

Otra descripción de la homología de Hochschild de las álgebras

La homología de Hochschild de un álgebra conmutativa A con coeficientes en un A -bimódulo simétrico M es la homología asociada a la composición

${\displaystyle \Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}},}$

y esta definición concuerda con la anterior.

Ejemplos

Los ejemplos de cálculos de homología de Hochschild se pueden estratificar en varios casos distintos con teoremas bastante generales que describen la estructura de los grupos de homología y el anillo de homología para un álgebra asociativa . Para el caso de las álgebras conmutativas, hay varios teoremas que describen los cálculos sobre la característica 0, lo que permite comprender de manera sencilla qué calculan la homología y la cohomología. ${\displaystyle HH_{*}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Caso de característica conmutativa 0

En el caso de las álgebras conmutativas donde , la homología de Hochschild tiene dos teoremas principales que conciernen a las álgebras suaves y a las álgebras no planas más generales ; pero, el segundo es una generalización directa del primero. En el caso suave, es decir para un álgebra suave , el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg ^{[2] pág. 43-44} establece que hay un isomorfismo para cada . Este isomorfismo se puede describir explícitamente utilizando la función de antisimetrización. Es decir, una forma diferencial tiene la función Si el álgebra no es suave, o incluso plana, entonces hay un teorema análogo que utiliza el complejo cotangente . Para una resolución simplicial , establecemos . Entonces, existe una filtración descendente en cuyos fragmentos graduados son isomorfos a Nótese que este teorema hace accesible el cálculo de la homología de Hochschild no solo para álgebras suaves, sino también para álgebras de intersección completas locales. En este caso, dada una presentación para , el complejo cotangente es el complejo de dos términos . ${\displaystyle A/k}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Omega _{A/k}^{n}\cong HH_{n}(A/k)}$$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle a\,db_{1}\wedge \cdots \wedge db_{n}\mapsto \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sign} (\sigma )a\otimes b_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes b_{\sigma (n)}.}$$ ${\displaystyle A/k}$ ${\displaystyle P_{\bullet }\to A}$ ${\displaystyle \mathbb {L} _{A/k}^{i}=\Omega _{P_{\bullet }/k}^{i}\otimes _{P_{\bullet }}A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$ ${\displaystyle HH_{n}(A/k)}$ $${\displaystyle {\frac {F_{i}}{F_{i+1}}}\cong \mathbb {L} _{A/k}^{i}[+i].}$$ ${\displaystyle A=R/I}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{R/k}^{1}\otimes _{k}A}$

Anillos polinomiales sobre los racionales

Un ejemplo sencillo es calcular la homología de Hochschild de un anillo polinómico de con -generadores. El teorema de HKR proporciona el isomorfismo donde el álgebra es el álgebra antisimétrica libre sobre en -generadores. Su estructura de producto está dada por el producto de cuña de vectores, por lo que para . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle HH_{*}(\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}])=\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\otimes \Lambda (dx_{1},\dotsc ,dx_{n})}$$ ${\displaystyle \bigwedge (dx_{1},\ldots ,dx_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}dx_{i}\cdot dx_{j}&=-dx_{j}\cdot dx_{i}\\dx_{i}\cdot dx_{i}&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i\neq j}$

Caso p característico conmutativo

En el caso característico p, hay un contraejemplo útil para el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg que explica la necesidad de una teoría más allá de las álgebras simples para definir la homología de Hochschild. Consideremos el álgebra . Podemos calcular una resolución de como las álgebras graduadas diferenciales libres que dan la intersección derivada donde y la diferencial es la función cero. Esto se debe a que simplemente tensificamos el complejo anterior por , dando un complejo formal con un generador en grado que eleva al cuadrado a . Entonces, el complejo de Hochschild está dado por Para calcular esto, debemos resolver como un álgebra. Observe que la estructura del álgebra ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ $${\displaystyle \mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p} \mathbb {Z} }$$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle {\text{deg}}(\varepsilon )=1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}$$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})\to \mathbb {F} _{p}}$

fuerzas . Esto da el término de grado cero del complejo. Entonces, debido a que tenemos que resolver el núcleo , podemos tomar una copia de desplazado en grado y hacer que se asigne a , con núcleo en grado Podemos realizar esto recursivamente para obtener el módulo subyacente del álgebra de potencia dividida con y el grado de es , es decir . Tensorando esta álgebra con sobre da ya que multiplicado por cualquier elemento en es cero. La estructura del álgebra proviene de la teoría general sobre álgebras de potencia divididas y álgebras graduadas diferenciales. ^[3] Nótese que este cálculo se ve como un artefacto técnico porque el anillo no se comporta bien. Por ejemplo, . Una respuesta técnica a este problema es a través de la homología de Hochschild topológica, donde el anillo base se reemplaza por el espectro de la esfera . ${\displaystyle \varepsilon \mapsto 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}={\text{Ker}}({\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}\to {\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}).}$ $${\displaystyle (\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})\langle x\rangle ={\frac {(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})[x_{1},x_{2},\ldots ]}{x_{i}x_{j}={\binom {i+j}{i}}x_{i+j}}}}$$ ${\displaystyle dx_{i}=\varepsilon \cdot x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle |x_{i}|=2i}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ $${\displaystyle HH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$ ${\displaystyle x^{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Homología topológica de Hochschild

La construcción anterior del complejo de Hochschild se puede adaptar a situaciones más generales, es decir, reemplazando la categoría de (complejos de) -módulos por una ∞-categoría (equipada con un producto tensorial) , y por un álgebra asociativa en esta categoría. Aplicando esto a la categoría de espectros , y siendo el espectro de Eilenberg-MacLane asociado a un anillo ordinario , se obtiene la homología topológica de Hochschild , denotada . La homología (no topológica) de Hochschild introducida anteriormente se puede reinterpretar en estas líneas, tomando como categoría derivada de -módulos (como una ∞-categoría). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\textbf {Spectra}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle THH(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=D(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Reemplazar productos tensoriales sobre el espectro de esferas por productos tensoriales sobre (o el espectro de Eilenberg–MacLane ) conduce a un mapa de comparación natural . Induce un isomorfismo en los grupos de homotopía en grados 0, 1 y 2. En general, sin embargo, son diferentes y tienden a producir grupos más simples que HH. Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle THH(R)\to HH(R)}$ ${\displaystyle THH}$

${\displaystyle THH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[x],}$

${\displaystyle HH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$

es el anillo polinomial (con x en grado 2), comparado con el anillo de potencias divididas en una variable.

Lars Hesselholt  (2016) demostró que la función zeta de Hasse-Weil de una variedad propia suave puede expresarse utilizando determinantes regularizados que involucran homología de Hochschild topológica. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Véase también

• Homología cíclica

Referencias

1. Morrow, Matthew. "Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 24 de diciembre de 2020.
2. Ginzburg, Victor (29 de junio de 2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : math/0506603 .
3. "Sección 23.6 (09PF): Resoluciones de Tate: El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 31 de diciembre de 2020 .

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica, Princeton Mathematical Series, vol. 19, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, Sr.  0077480
• Govorov, VE; Mikhalev, AV (2001) [1994], "Cohomología de álgebras", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hesselholt, Lars (2016), Homología topológica de Hochschild y función zeta de Hasse-Weil , Matemáticas contemporáneas, vol. 708, págs. 157–180, arXiv : 1602.01980 , doi : 10.1090/conm/708/14264, ISBN 9781470429119, S2CID119145574 ​
• Hochschild, Gerhard (1945), "Sobre los grupos de cohomología de un álgebra asociativa", Annals of Mathematics , Segunda serie, 46 (1): 58–67, doi :10.2307/1969145, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969145, MR  0011076
• Jean-Louis Loday , Homología cíclica , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0 
• Richard S. Pierce, Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas (88), Springer, 1982.
• Pirashvili, Teimuraz (2000). "Descomposición de Hodge para homología de Hochschild de orden superior". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (2): 151-179. doi :10.1016/S0012-9593(00)00107-5.

Enlaces externos

Artículos introductorios

• Dylan GL Allegretti, Formas diferenciales en espacios no conmutativos. Una introducción elemental a la geometría no conmutativa que utiliza la homología de Hochschild para generalizar las formas diferenciales.
• Ginzburg, Victor (2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : math/0506603 .
• Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética
• Cohomología de Hochschild en el laboratorio n

Caso conmutativo

• Antieau, Benjamin; Bhatt, Bhargav; Mathew, Akhil (2019). "Contraejemplos de Hochschild–Kostant–Rosenberg en p característica ". arXiv : 1909.11437 [math.AG].

Caso no conmutativo

• Richard, Lionel (2004). "Homología y cohomología de Hochschild de algunas álgebras polinómicas no conmutativas clásicas y cuánticas". Journal of Pure and Applied Algebra . 187 (1–3): 255–294. arXiv : math/0207073 . doi : 10.1016/S0022-4049(03)00146-4 .
• Quddus, Safdar (2020). "Estructuras de Poisson no conmutativas en orbifolds de toros cuánticos". arXiv : 2006.00495 [math.KT].
• Yashinski, Allan (2012). "La conexión Gauss-Manin y los toros no conmutativos". arXiv : 1210.4531 [math.KT].