Espectro (topología)

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , un espectro es un objeto que representa una teoría de cohomología generalizada . Toda teoría de cohomología de este tipo es representable, como se desprende del teorema de representabilidad de Brown . Esto significa que, dada una teoría de cohomología

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\text{CW}}^{op}\to {\text{Ab}}}$,

Existen espacios tales que evaluar la teoría de cohomología en grado en un espacio es equivalente a calcular las clases de homotopía de los mapas en el espacio , es decir ${\displaystyle E^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]}$.

Hay que tener en cuenta que existen varias categorías diferentes de espectros que dan lugar a muchas dificultades técnicas ^[1], pero todas ellas determinan la misma categoría de homotopía , conocida como categoría de homotopía estable . Este es uno de los puntos clave para la introducción de los espectros, ya que forman un hogar natural para la teoría de la homotopía estable.

La definición de un espectro

Existen muchas variaciones de la definición: en general, un espectro es cualquier secuencia de espacios topológicos puntiagudos o conjuntos simpliciales puntiagudos junto con las funciones de estructura , donde es el producto de aplastamiento . El producto de aplastamiento de un espacio puntiagudo con un círculo es homeomorfo a la suspensión reducida de , denotada . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$

Lo siguiente se debe a Frank Adams (1974): un espectro (o espectro CW) es una secuencia de complejos CW junto con inclusiones de la suspensión como un subcomplejo de . ${\displaystyle E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$

Para otras definiciones, véase espectro simétrico y espectro simplicial.

Grupos de homotopía de un espectro

Algunos de los invariantes más importantes de un espectro son sus grupos de homotopía. Estos grupos reflejan la definición de los grupos de homotopía estables de espacios, ya que la estructura de las funciones de suspensión es parte integral de su definición. Dado un espectro, defina el grupo de homotopía como el colimite ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}}$

donde los mapas se inducen a partir de la composición del mapa (es decir, dada por la funtorialidad de ) y el mapa de estructura . Se dice que un espectro es conectivo si sus son cero para k negativo . ${\displaystyle \Sigma :\pi _{n+k}(E_{n})\to \pi _{n+k+1}(\Sigma E_{n})}$ ${\displaystyle [S^{n+k},E_{n}]\to [S^{n+k+1},\Sigma E_{n}]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \pi _{k}}$

Ejemplos

Espectro de Eilenberg-Maclane

Consideremos una cohomología singular con coeficientes en un grupo abeliano . Para un complejo CW , el grupo puede identificarse con el conjunto de clases de homotopía de funciones de a , el espacio de Eilenberg–MacLane con homotopía concentrada en grado . Escribimos esto como ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)}$

Entonces el espectro correspondiente tiene el espacio -ésimo ; se llama espectro de Eilenberg–MacLane de . Nótese que esta construcción se puede utilizar para incrustar cualquier anillo en la categoría de espectros. Esta incrustación forma la base de la geometría espectral, un modelo para la geometría algebraica derivada . Una de las propiedades importantes de esta incrustación son los isomorfismos ${\displaystyle HA}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}}$

Al mostrar la categoría de los espectros se mantiene un registro de la información derivada de los anillos conmutativos, donde el producto de aplastamiento actúa como el producto tensorial derivado . Además, los espectros de Eilenberg-Maclane se pueden utilizar para definir teorías como la homología topológica de Hochschild para anillos conmutativos, una teoría más refinada que la homología clásica de Hochschild.

Teoría K compleja topológica

Como segundo ejemplo importante, considere la K-teoría topológica . Al menos para X compacto, se define como el grupo de Grothendieck del monoide de fibrados vectoriales complejos en X . Además, es el grupo correspondiente a los fibrados vectoriales en la suspensión de X. La K-teoría topológica es una teoría de cohomología generalizada, por lo que da un espectro. El espacio cero es mientras que el primer espacio es . Aquí es el grupo unitario infinito y es su espacio clasificador . Por la periodicidad de Bott obtenemos y para todo n , por lo que todos los espacios en el espectro de la K-teoría topológica están dados por o . Hay una construcción correspondiente que utiliza fibrados vectoriales reales en lugar de fibrados vectoriales complejos, lo que da un espectro 8-periódico. ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle BU}$ ${\displaystyle K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ ${\displaystyle U}$

Espectro de esferas

Uno de los ejemplos por excelencia de espectro es el espectro de esferas . Se trata de un espectro cuyos grupos de homotopía están dados por los grupos de homotopía estables de las esferas, por lo que ${\displaystyle \mathbb {S} }$

${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }}$

Podemos escribir este espectro explícitamente como donde . Nótese que el producto de aplastamiento da una estructura de producto en este espectro ${\displaystyle \mathbb {S} _{i}=S^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{0}=\{0,1\}}$

${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}}$

induce una estructura de anillo en . Además, si se considera la categoría de espectros simétricos , esto forma el objeto inicial, análogo a en la categoría de anillos conmutativos. ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Espectros de Thom

Otro ejemplo canónico de espectros son los espectros de Thom que representan varias teorías de cobordismo. Esto incluye el cobordismo real , el cobordismo complejo , el cobordismo enmarcado, el cobordismo de espín , el cobordismo de cuerdas , etc. De hecho, para cualquier grupo topológico existe un espectro de Thom . ${\displaystyle MO}$ ${\displaystyle MU}$ ${\displaystyle MSpin}$ ${\displaystyle MString}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle MG}$

Espectro de suspensión

Se puede construir un espectro a partir de un espacio. El espectro de suspensión de un espacio , denotado como un espectro (los mapas de estructura son la identidad). Por ejemplo, el espectro de suspensión de la esfera 0 es el espectro de esfera discutido anteriormente. Los grupos de homotopía de este espectro son entonces los grupos de homotopía estables de , por lo que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$ ${\displaystyle X_{n}=S^{n}\wedge X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)}$

La construcción del espectro de suspensión implica que cada espacio puede considerarse como una teoría de cohomología. De hecho, define un functor

${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}}$

De la categoría de homotopía de los complejos CW a la categoría de homotopía de los espectros. Los morfismos están dados por

${\displaystyle [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]}$

que, según el teorema de suspensión de Freudenthal, finalmente se estabiliza. Con esto queremos decir

${\displaystyle \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots }$y ${\displaystyle \left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]}$

Para un entero finito . Para un complejo CW hay una construcción inversa que toma un espectro y forma un espacio ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}}$

llamado espacio de bucle infinito del espectro. Para un complejo CW ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

y esta construcción viene con una inclusión para cada , por lo tanto da un mapa ${\displaystyle X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X}$

que es inyectiva. Desafortunadamente, estas dos estructuras, con la adición del producto de aplastamiento, conducen a una complejidad significativa en la teoría de los espectros porque no puede existir una sola categoría de espectros que satisfaga una lista de cinco axiomas que relacionen estas estructuras. ^[1] La adjunción anterior es válida solo en las categorías de homotopía de espacios y espectros, pero no siempre con una categoría específica de espectros (no la categoría de homotopía).

Espectro Ω

Un espectro Ω es un espectro tal que el adjunto del mapa de estructura (es decir, el mapa ) es una equivalencia débil. El espectro de teoría K de un anillo es un ejemplo de un espectro Ω. ${\displaystyle X_{n}\to \Omega X_{n+1}}$

Espectro de anillo

Un espectro de anillo es un espectro X tal que los diagramas que describen axiomas de anillo en términos de productos de choque conmutan "hasta la homotopía" ( corresponde a la identidad). Por ejemplo, el espectro de la teoría K topológica es un espectro de anillo. Un espectro de módulo puede definirse de manera análoga. ${\displaystyle S^{0}\to X}$

Para ver muchos más ejemplos, consulte la lista de teorías de cohomología .

Funciones, mapas y homotopías de espectros

Hay tres categorías naturales cuyos objetos son espectros, cuyos morfismos son las funciones, o mapas, o clases de homotopía definidas a continuación.

Una función entre dos espectros E y F es una secuencia de mapas de E _n a F _n que conmutan con los mapas Σ E _n  →  E _{n +1} y Σ F _n  →  F _{n +1} .

Dado un espectro , un subespectro es una secuencia de subcomplejos que también es un espectro. Como cada i -celda en se suspende en una ( i  + 1)-celda en , un subespectro cofinal es un subespectro para el cual cada celda del espectro padre está eventualmente contenida en el subespectro después de un número finito de suspensiones. Los espectros pueden entonces convertirse en una categoría definiendo un mapa de espectros como una función de un subespectro cofinal de a , donde dos de tales funciones representan el mismo mapa si coinciden en algún subespectro cofinal. Intuitivamente, un mapa de espectros de este tipo no necesita estar definido en todas partes, solo eventualmente se define, y se dice que dos mapas que coinciden en un subespectro cofinal son equivalentes. Esto da la categoría de espectros (y mapas), que es una herramienta importante. Hay una incrustación natural de la categoría de complejos CW puntiagudos en esta categoría: lleva al espectro de suspensión en el que el n º complejo es . ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle E_{j+1}}$ ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma ^{n}Y}$

El producto de aplastamiento de un espectro y un complejo puntiagudo es un espectro dado por (la asociatividad del producto de aplastamiento produce inmediatamente que este es de hecho un espectro). Una homotopía de mapas entre espectros corresponde a un mapa , donde es la unión disjunta con tomada como el punto base. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X}$ ${\displaystyle (E\wedge I^{+})\to F}$ ${\displaystyle I^{+}}$ ${\displaystyle [0,1]\sqcup \{*\}}$ ${\displaystyle *}$

La categoría de homotopía estable , o categoría de homotopía de espectros (CW) , se define como la categoría cuyos objetos son espectros y cuyos morfismos son clases de homotopía de aplicaciones entre espectros. Muchas otras definiciones de espectro, algunas de las cuales parecen muy diferentes, conducen a categorías de homotopía estables equivalentes.

Finalmente, podemos definir la suspensión de un espectro mediante . Esta suspensión de la traslación es invertible, ya que también podemos desuspenderla, estableciendo . ${\displaystyle (\Sigma E)_{n}=E_{n+1}}$ ${\displaystyle (\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}}$

La categoría de homotopía triangulada de los espectros

La categoría de homotopía estable es aditiva: los mapas se pueden agregar utilizando una variante de la adición de pistas utilizada para definir grupos de homotopía. De este modo, las clases de homotopía de un espectro a otro forman un grupo abeliano. Además, la categoría de homotopía estable está triangulada (Vogt (1970)), el desplazamiento se da por la suspensión y los triángulos distinguidos por las secuencias de conos de mapeo de los espectros.

${\displaystyle X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow (Y\cup CX)\cup CY\cong \Sigma X}$.

Productos de Smash de espectros

El producto de aplastamiento de los espectros extiende el producto de aplastamiento de los complejos CW. Convierte la categoría de homotopía estable en una categoría monoidal ; en otras palabras, se comporta como el producto tensorial (derivado) de los grupos abelianos. Un problema importante con el producto de aplastamiento es que las formas obvias de definirlo lo hacen asociativo y conmutativo solo hasta la homotopía. Algunas definiciones más recientes de espectros, como espectros simétricos , eliminan este problema y dan una estructura monoidal simétrica a nivel de morfismos, antes de pasar a las clases de homotopía.

El producto smash es compatible con la estructura de categorías trianguladas. En particular, el producto smash de un triángulo distinguido con un espectro es un triángulo distinguido.

Homología y cohomología generalizadas de espectros

Podemos definir los grupos de homotopía (estables) de un espectro como aquellos dados por

${\displaystyle \displaystyle \pi _{n}E=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E]}$,

donde es el espectro de esferas y es el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones de a . Definimos la teoría de homología generalizada de un espectro E por ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E\wedge X]}$

y definir su teoría de cohomología generalizada por

${\displaystyle \displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].}$

Aquí puede haber un espectro o (utilizando su espectro de suspensión) un espacio. ${\displaystyle X}$

Complejidades técnicas con los espectros

Una de las complejidades canónicas al trabajar con espectros y definir una categoría de espectros proviene del hecho de que cada una de estas categorías no puede satisfacer cinco axiomas aparentemente obvios relacionados con el espacio de bucle infinito de un espectro. ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q:{\text{Top}}_{*}\to {\text{Top}}_{*}}$

envío

${\displaystyle QX=\mathop {\text{colim}} _{\to n}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

un par de funtores adjuntos , el y el producto de aplastamiento tanto en la categoría de espacios como en la categoría de espectros. Si denotamos la categoría de espacios de Hausdorff débiles, generados de manera compacta, basados ​​en la misma, y ​​denotamos una categoría de espectros, los siguientes cinco axiomas nunca pueden ser satisfechos por el modelo específico de espectros: ^[1] ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\text{Top}}_{*}}$ ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$

1. ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$es una categoría monoidal simétrica con respecto al producto de aplastamiento ${\displaystyle \wedge }$
2. El funtor es adjunto por la izquierda a ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }}$ ${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$
3. La unidad para el producto smash es el espectro esférico. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S} }$
4. O bien existe una transformación natural o una transformación natural que conmuta con el objeto unidad en ambas categorías, y los isomorfismos conmutativos y asociativos en ambas categorías. ${\displaystyle \phi :\left(\Omega ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Omega ^{\infty }E'\right)\to \Omega ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$ ${\displaystyle \gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$
5. Existe una equivalencia débil natural para la cual existe un diagrama de conmutación: ${\displaystyle \theta :\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\to QX}$ ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\text{Top}}_{*})}$

   ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta } &\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\\{\mathord {=}}\downarrow &&\downarrow \theta \\X&\xrightarrow {i} &QX\end{matrix}}}$

   ¿Dónde está el mapa de unidades en la adjunción? ${\displaystyle \eta }$

Por este motivo, el estudio de los espectros se fragmenta en función del modelo que se utilice. Para obtener una descripción general, consulte el artículo citado anteriormente.

Historia

Una versión del concepto de espectro fue introducida en la tesis doctoral de 1958 de Elon Lages Lima . Su asesor Edwin Spanier escribió más sobre el tema en 1959. Los espectros fueron adoptados por Michael Atiyah y George W. Whitehead en su trabajo sobre teorías de homología generalizada a principios de los años 1960. La tesis doctoral de 1964 de J. Michael Boardman dio una definición viable de una categoría de espectros y de mapas (no solo clases de homotopía) entre ellos, tan útil en la teoría de homotopía estable como lo es la categoría de complejos CW en el caso inestable. (Esta es esencialmente la categoría descrita anteriormente, y todavía se usa para muchos propósitos: para otras explicaciones, véase Adams (1974) o Rainer Vogt (1970).) Sin embargo, desde 1990 se han realizado importantes avances teóricos adicionales, mejorando enormemente las propiedades formales de los espectros. En consecuencia, mucha literatura reciente utiliza definiciones modificadas de espectro : véase Michael Mandell et al. (2001) para un tratamiento unificado de estos nuevos enfoques.

Véase también

• Espectro de anillo
• Espectro simétrico
• Espectro G
• Mapeo del espectro
• Suspensión (topología)
• Secuencia espectral de Adams

Referencias

1. Lewis, L. Gaunce (30 de agosto de 1991). "¿Existe una categoría conveniente de espectros?". Journal of Pure and Applied Algebra . 73 (3): 233–246. doi : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN  0022-4049.

Introductorio

• Adams, J. Frank (1974). Homotopía estable y homología generalizada. University of Chicago Press . ISBN 9780226005249.
• Elmendorf, Anthony D.; Kříž, Igor; Mandell, Michael A.; May, J. Peter (1995), "Fundamentos modernos para la teoría de la homotopía estable" (PDF) , en James., Ioan M. (ed.), Handbook of algebraic topology , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 213–253, CiteSeerX  10.1.1.55.8006 , doi :10.1016/B978-044481779-2/50007-9, ISBN 978-0-444-81779-2, Sr.  1361891

Artículos modernos que desarrollan la teoría

• Mandell, Michael A.; May, J. Peter ; Schwede, Stefan; Shipley, Brooke (2001), "Categorías de modelos de espectros de diagramas", Actas de la London Mathematical Society , Serie 3, 82 (2): 441–512, CiteSeerX  10.1.1.22.3815 , doi :10.1112/S0024611501012692, MR  1806878, S2CID  551246

Artículos de relevancia histórica

• Atiyah, Michael F. (1961). "Bordismo y cobordismo". Actas de la Cambridge Philosophical Society . 57 (2): 200–8. doi :10.1017/s0305004100035064. S2CID  122937421.

• Lima, Elon Lages (1959), "La dualidad Spanier-Whitehead en nuevas categorías de homotopía", Summa Brasil. Math. , 4 : 91–148, MR  0116332
• Lima, Elon Lages (1960), "Invariantes de Postnikov estables y sus duales", Summa Brasil. Math. , 4 : 193–251
• Vogt, Rainer (1970), categoría de homotopía estable de Boardman, Lecture Notes Series, n.º 21, Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus, MR  0275431
• Whitehead, George W. (1962), "Teorías de homología generalizadas", Transactions of the American Mathematical Society , 102 (2): 227–283, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

Enlaces externos

• Secuencias espectrales - Allen Hatcher - contiene una excelente introducción a los espectros y aplicaciones para construir la secuencia espectral de Adams
• Un proyecto de libro sin título sobre espectros simétricos
• "¿Son los espectros realmente lo mismo que las teorías de cohomología?"