Cono de mapeo (topología)

Una ilustración de un cono de mapeo; es decir, un cono está pegado a un espacio a lo largo de alguna función . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

En matemáticas , especialmente en teoría de homotopía , el cono de mapeo es una construcción en topología análoga a un espacio cociente y se denota . Alternativamente, también se le llama cofibra de homotopía y también se denota . Su dual, una fibración , se llama fibra de mapeo . El cono de mapeo puede entenderse como un cilindro de mapeo con el extremo inicial del cilindro colapsado en un punto. Los conos de mapeo se aplican con frecuencia en la teoría de homotopía de espacios puntiagudos . ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle Cf}$ ${\displaystyle Mf}$

Definición

Dado un mapa , el cono de mapeo se define como el espacio cociente del cilindro de mapeo con respecto a la relación de equivalencia , . Aquí denota el intervalo unitario [0, 1] con su topología estándar . Nótese que algunos autores (como J. Peter May ) usan la convención opuesta, intercambiando 0 y 1. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$ ${\displaystyle \forall x,x'\in X,(x,0)\sim \left(x',0\right)\,}$ ${\displaystyle (x,1)\sim f(x)}$ ${\displaystyle I}$

Visualmente, se toma el cono en X (el cilindro con un extremo (el extremo 0) colapsado en un punto) y se pega el otro extremo en Y a través de la función f (el extremo 1). ${\displaystyle X\times I}$

En términos generales, se toma el espacio cociente por la imagen de X , por lo tanto ; esto no es precisamente correcto debido a cuestiones de conjuntos de puntos, pero es la filosofía y se hace precisa mediante resultados tales como la homología de un par y la noción de un mapa n -conectado . ${\displaystyle C_{f}=Y/f(X)}$

Lo anterior es la definición de una función de espacios no puntiagudos; para una función de espacios puntiagudos (por lo que ), también se identifican todos los . Formalmente, . Por lo tanto, un extremo y la "costura" se identifican con ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ ${\displaystyle f\colon x_{0}\mapsto y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\times I}$ ${\displaystyle (x_{0},t)\sim \left(x_{0},t'\right)}$ ${\displaystyle y_{0}.}$

Ejemplo de circulo

Si es el círculo , el cono de aplicación puede considerarse como el espacio cociente de la unión disjunta de Y con el disco formado al identificar cada punto x en el límite de con el punto en Y. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Consideremos, por ejemplo, el caso en el que Y es el disco , y es la inclusión estándar del círculo como límite de . Entonces, el cono de aplicación es homeomorfo a dos discos unidos en su límite, que topológicamente es la esfera . ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle f\colon S^{1}\to Y=D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Cilindro de doble mapeo

El cono de mapeo es un caso especial del cilindro de mapeo doble . Básicamente, se trata de un cilindro unido por un extremo a un espacio a través de un mapa. ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle Y_{1}}$

${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$

y se unió en el otro extremo a un espacio a través de un mapa ${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$

El cono de mapeo es el caso degenerado del cilindro de mapeo doble (también conocido como expulsión de homotopía), en el que uno de ellos es un solo punto. ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

Construcción dual: la fibra de mapeo

El dual del cono de mapeo es la fibra de mapeo . Dado el mapa puntiagudo, se define la fibra de mapeo como ^[1] ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$

${\displaystyle F_{f}=\left\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\right\}}$.

Aquí, I es el intervalo unitario y es una trayectoria continua en el espacio (el objeto exponencial ) . La fibra de mapeo a veces se denota como ; sin embargo, esto entra en conflicto con la misma notación para el cilindro de mapeo. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle Y^{I}}$ ${\displaystyle Mf}$

Es dual al cono de mapeo en el sentido de que el producto anterior es esencialmente el producto fibrado o pullback que es dual al pushout usado para construir el cono de mapeo. ^[2] En este caso particular, la dualidad es esencialmente la de currificación , en que el cono de mapeo tiene la forma currificada donde es simplemente una notación alternativa para el espacio de todos los mapas continuos desde el intervalo unitario hasta . Las dos variantes están relacionadas por un funtor adjunto . Obsérvese que la currificación preserva la naturaleza reducida de los mapas: en un caso, a la punta del cono, y en el otro caso, caminos al punto base. ${\displaystyle X\times _{f}Y}$ ${\displaystyle X\sqcup _{f}Y}$ ${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$ ${\displaystyle X\times _{f}(I\to Y)}$ ${\displaystyle I\to Y}$ ${\displaystyle Y^{I}}$ ${\displaystyle Y}$

Aplicaciones

Complejos CW

Adjuntar una celda.

Efecto sobre el grupo fundamental

Dado un espacio X y un bucle que representa un elemento del grupo fundamental de X , podemos formar el cono de aplicación . El efecto de esto es hacer que el bucle sea contráctil en , y por lo tanto la clase de equivalencia de en el grupo fundamental de será simplemente el elemento identidad . ${\displaystyle \alpha \colon S^{1}\to X}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$

Dada una presentación grupal por generadores y relaciones, se obtiene un complejo 2 con ese grupo fundamental.

Homología de un par

El cono de mapeo permite interpretar la homología de un par como la homología reducida del cociente. Es decir, si E es una teoría de homología y es una cofibración , entonces ${\displaystyle i\colon A\to X}$

${\displaystyle E_{*}(X,A)=E_{*}(X/A,*)={\tilde {E}}_{*}(X/A)}$,

que se obtiene aplicando escisión al cono de mapeo. ^[2]

Relación con equivalencias de homotopía (homología)

Un mapa entre complejos CW simplemente conexos es una equivalencia de homotopía si y solo si su cono de mapeo es contráctil. ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$

De manera más general, un mapa se llama n -conexo (como un mapa) si su cono de mapeo es n -conexo (como un espacio), más un poco más. ^{[3] [ página necesaria ]}

Sea una teoría de homología fija . La función induce isomorfismos en , si y solo si la función induce un isomorfismo en , es decir, . ${\displaystyle \mathbb {} H_{*}}$ ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle H_{*}}$ ${\displaystyle \{pt\}\hookrightarrow C_{f}}$ ${\displaystyle H_{*}}$ ${\displaystyle H_{*}(C_{f},pt)=0}$

Los conos de mapeo se utilizan para construir secuencias de Puppe coexactas largas , a partir de las cuales se pueden obtener secuencias largas y exactas de grupos de homotopía y homotopía relativa. ^[1]

Véase también

• Cofibración
• Cono de mapeo (álgebra homológica)

Referencias

1. Rotman, Joseph J. (1988). Introducción a la topología algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96678-1.Véase el Capítulo 11 para comprobarlo.
2. May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . Chicago Lectures in Mathematics. ISBN 0-226-51183-9.Véase el capítulo 6.
3. * Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401.