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Espacio de bucle

En topología , una rama de las matemáticas , el espacio de bucles Ω X de un espacio topológico puntiagudo X es el espacio de bucles (basados ​​en) X , es decir, aplicaciones puntiagudas continuas del círculo puntiagudo S 1 a X , dotadas de la topología compacta-abierta . Dos bucles se pueden multiplicar por concatenación . Con esta operación, el espacio de bucles es un A ∞ -espacio . Es decir, la multiplicación es asociativa homotópicamente coherente .

El conjunto de componentes de trayectoria de Ω X , es decir, el conjunto de clases de equivalencia de homotopía basada de bucles basados ​​en X , es un grupo , el grupo fundamental π 1 ( X ).

Los espacios de bucle iterados de X se forman aplicando Ω varias veces.

Existe una construcción análoga para espacios topológicos sin punto base. El espacio de bucles libres de un espacio topológico X es el espacio de funciones del círculo S 1 a X con la topología compacta-abierta. El espacio de bucles libres de X se denota a menudo por .

Como funtor , la construcción del espacio de bucle libre es adjunta derecha al producto cartesiano con el círculo, mientras que la construcción del espacio de bucle es adjunta derecha a la suspensión reducida . Esta adjuntación explica gran parte de la importancia de los espacios de bucle en la teoría de homotopía estable . (Un fenómeno relacionado en la ciencia informática es el currying , donde el producto cartesiano es adjunto al funtor hom ). De manera informal, esto se conoce como dualidad de Eckmann-Hilton .

Dualidad de Eckmann-Hilton

El espacio de bucles es dual con respecto a la suspensión del mismo espacio; esta dualidad a veces se denomina dualidad de Eckmann-Hilton . La observación básica es que

donde es el conjunto de clases de homotopía de los mapas , y es la suspensión de A, y denota el homeomorfismo natural . Este homeomorfismo es esencialmente el de currificar , módulo los cocientes necesarios para convertir los productos en productos reducidos.

En general, no tiene una estructura de grupo para espacios arbitrarios y . Sin embargo, se puede demostrar que y tienen estructuras de grupo naturales cuando y apuntan , y el isomorfismo mencionado anteriormente es de esos grupos. [1] Por lo tanto, establecer (la esfera) da la relación

.

Esto se deduce porque el grupo de homotopía se define como y las esferas se pueden obtener mediante suspensiones entre sí, es decir, [ 2]

Véase también

Referencias

  1. ^ May, JP (1999), Un curso conciso de topología algebraica (PDF) , U. Chicago Press, Chicago , consultado el 27 de agosto de 2016 (Véase el capítulo 8, sección 2)
  2. ^ Wiki de Topospaces – Espacio de bucles de un espacio topológico basado