En matemáticas , un grupo de bucles (que no debe confundirse con un bucle ) es un grupo de bucles en un grupo topológico G con multiplicación definida puntualmente .
En su forma más general , un grupo de bucles es un grupo de aplicaciones continuas de una variedad M a un grupo topológico G.
Más específicamente, [1] sea M = S 1 , el círculo en el plano complejo , y sea LG el espacio de mapas continuos S 1 → G , es decir
equipado con la topología compacta-abierta . Un elemento de LG se llama bucle en G. La multiplicación puntual de tales bucles le da a LG la estructura de un grupo topológico. Parametrizar S 1 con θ ,
y definir la multiplicación en LG por
La asociatividad se deduce de la asociatividad en G. La inversa está dada por
y la identidad por
El espacio LG se llama grupo de bucles libres en G. Un grupo de bucles es cualquier subgrupo del grupo de bucles libres LG .
Un ejemplo importante de un grupo de bucle es el grupo
de bucles basados en G. Se define como el núcleo del mapa de evaluación.
y por lo tanto es un subgrupo normal cerrado de LG . (Aquí, e 1 es la función que envía un bucle a su valor en ). Nótese que podemos incorporar G en LG como el subgrupo de bucles constantes. En consecuencia, llegamos a una secuencia exacta dividida
El espacio que LG divide es un producto semidirecto ,
También podemos pensar en Ω G como el espacio de bucles en G . Desde este punto de vista, Ω G es un H-espacio con respecto a la concatenación de bucles. A primera vista, esto parece proporcionar a Ω G dos mapas de producto muy diferentes. Sin embargo, se puede demostrar que la concatenación y la multiplicación puntual son homotópicas . Por lo tanto, en términos de la teoría de homotopía de Ω G , estos mapas son intercambiables.
Los grupos de bucles fueron utilizados para explicar el fenómeno de las transformadas de Bäcklund en ecuaciones de solitones por Chuu-Lian Terng y Karen Uhlenbeck . [2]
