Teorema de periodicidad de Bott

Describe una periodicidad en los grupos de homotopía de los grupos clásicos.

En matemáticas , el teorema de periodicidad de Bott describe una periodicidad en los grupos de homotopía de los grupos clásicos , descubierto por Raoul Bott  (1957, 1959), que resultó ser de importancia fundamental para muchas investigaciones posteriores, en particular en la teoría K de fibrados vectoriales complejos estables , así como en los grupos de homotopía estables de esferas . La periodicidad de Bott se puede formular de numerosas maneras, y la periodicidad en cuestión siempre aparece como un fenómeno de período 2, con respecto a la dimensión, para la teoría asociada al grupo unitario . Véase, por ejemplo, la teoría K topológica .

Existen fenómenos de periodo 8 correspondientes para las teorías de emparejamiento, la teoría KO ( real ) y la teoría KSp ( cuaterniónica ), asociadas al grupo ortogonal real y al grupo simpléctico cuaterniónico , respectivamente. El J-homomorfismo es un homomorfismo de los grupos de homotopía de grupos ortogonales a grupos de homotopía estables de esferas , lo que hace que la periodicidad de Bott de periodo 8 sea visible en los grupos de homotopía estables de esferas.

Declaración de resultados

Bott demostró que si se define como el límite inductivo de los grupos ortogonales , entonces sus grupos de homotopía son periódicos: ^[1] ${\displaystyle O(\infty )}$

${\displaystyle \pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))}$

y los primeros 8 grupos de homotopía son los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Contexto y significado

El contexto de la periodicidad de Bott es que los grupos de homotopía de esferas , que se esperaría que desempeñaran el papel básico en la topología algebraica por analogía con la teoría de homología , han demostrado ser esquivos (y la teoría es complicada). El tema de la teoría de homotopía estable fue concebido como una simplificación, introduciendo la operación de suspensión ( producto de ruptura con un círculo ), y viendo lo que (a grandes rasgos) quedaba de la teoría de homotopía una vez que se permitía suspender ambos lados de una ecuación, tantas veces como se quisiera. La teoría estable todavía era difícil de calcular, en la práctica.

Lo que ofreció la periodicidad de Bott fue una perspectiva de algunos espacios altamente no triviales, con un estatus central en topología debido a la conexión de su cohomología con clases características , para las cuales se podrían calcular todos los grupos de homotopía ( inestables ). Estos espacios son los grupos unitarios, ortogonales y simplécticos (infinitos o estables ) U , O y Sp. En este contexto, estable se refiere a tomar la unión U (también conocida como el límite directo ) de la secuencia de inclusiones.

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

y lo mismo para O y Sp. Nótese que el uso que hace Bott de la palabra estable en el título de su artículo fundamental se refiere a estos grupos clásicos estables y no a grupos de homotopía estables .

La importante conexión de la periodicidad de Bott con los grupos de homotopía estables de las esferas se produce a través del llamado homomorfismo J estable de los grupos de homotopía (inestables) de los grupos clásicos (estables) a estos grupos de homotopía estables . Originalmente descrito por George W. Whitehead , se convirtió en el tema de la famosa conjetura de Adams (1963) que finalmente fue resuelta afirmativamente por Daniel Quillen (1971). ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$

Los resultados originales de Bott pueden resumirse sucintamente en:

Corolario: Los grupos de homotopía (inestables) de los grupos clásicos (infinitos) son periódicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Nota: El segundo y el tercero de estos isomorfismos se entrelazan para dar los resultados de periodicidad óctuple:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Espacios de bucles y espacios de clasificación

Para la teoría asociada al grupo unitario infinito , U , el espacio BU es el espacio clasificador para fibrados vectoriales complejos estables (un Grassmanniano en dimensiones infinitas). Una formulación de la periodicidad de Bott describe el espacio de bucles doble, de BU . Aquí, es el funtor del espacio de bucles , adjunto derecho a la suspensión y adjunto izquierdo a la construcción del espacio clasificador . La periodicidad de Bott establece que este espacio de bucles dobles es esencialmente BU nuevamente; más precisamente, es esencialmente (es decir, homotópicamente equivalente a) la unión de un número contable de copias de BU . Una formulación equivalente es ${\displaystyle \Omega ^{2}BU}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$$ $${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$$

Cualquiera de estos tiene el efecto inmediato de mostrar por qué la teoría K topológica (compleja) es una teoría periódica doble.

En la teoría correspondiente para el grupo ortogonal infinito , O , el espacio BO es el espacio de clasificación para los fibrados vectoriales reales estables . En este caso, la periodicidad de Bott establece que, para el espacio de bucles de 8 pliegues, o equivalentemente, $${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO}$$ $${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$$

lo que da como resultado que la teoría KO es una teoría periódica óctuple. Además, para el grupo simpléctico infinito , Sp, el espacio BSp es el espacio de clasificación para los fibrados vectoriales cuaterniónicos estables , y la periodicidad de Bott establece que o equivalentemente $${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} ;}$$ $${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .}$$

Por lo tanto, tanto la teoría K real topológica (también conocida como teoría KO ) como la teoría K cuaterniónica topológica (también conocida como teoría KSp) son teorías periódicas óctuples.

Modelo geométrico de espacios de bucles

Una formulación elegante de la periodicidad de Bott hace uso de la observación de que existen incrustaciones naturales (como subgrupos cerrados) entre los grupos clásicos. Los espacios de bucles en la periodicidad de Bott son entonces homotópicamente equivalentes a los espacios simétricos de cocientes sucesivos, con factores discretos adicionales de Z .

Sobre los números complejos :

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

Sobre los números reales y cuaterniones:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

Estas secuencias corresponden a secuencias en álgebras de Clifford – ver clasificación de álgebras de Clifford ; sobre los números complejos:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

Sobre los números reales y cuaterniones:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

donde las álgebras de división indican "matrices sobre esa álgebra".

Animación del reloj de periodicidad Bott usando una esfera de reloj Mod 8 con mnemotecnia de segundo tomada del I-Ching con el álgebra real de Clifford de signatura (p,q) denotada como Cl _p,q ( )=Cl(p,q). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Como son 2-periódicos/8-periódicos, se pueden organizar en un círculo, donde se denominan reloj de periodicidad de Bott y reloj de álgebra de Clifford .

Los resultados de la periodicidad de Bott se refinan luego en una secuencia de equivalencias de homotopía :

Para la teoría K compleja :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (\mathbb {Z} \times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

Para las teorías KO y KSp reales y cuaterniónicas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

Los espacios resultantes son homotópicamente equivalentes a los espacios simétricos reductivos clásicos y son los cocientes sucesivos de los términos del reloj de periodicidad de Bott. Estas equivalencias dan lugar inmediatamente a los teoremas de periodicidad de Bott.

Los espacios específicos son, ^{[nota 1]} (para los grupos, también se indica el espacio homogéneo principal ):

Pruebas

La prueba original de Bott (Bott 1959) utilizó la teoría de Morse , que Bott (1956) había utilizado anteriormente para estudiar la homología de los grupos de Lie . Se han dado muchas pruebas diferentes.

Notas

1. La interpretación y el etiquetado son ligeramente incorrectos y se refieren a espacios simétricos irreducibles , mientras que estos son los espacios reductivos más generales. Por ejemplo, SU /Sp es irreducible, mientras que U /Sp es reductivo. Como muestran estos ejemplos, la diferencia puede interpretarse como si se incluye o no la orientación.

Referencias

1. "Introducción".

• Bott, Raoul (1956), "Una aplicación de la teoría de Morse a la topología de los grupos de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251–281, doi : 10.24033/bsmf.1472 , ISSN  0037-9484, MR  0087035
• Bott, Raoul (1957), "La homotopía estable de los grupos clásicos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 43 (10): 933–5, Bibcode :1957PNAS...43..933B, doi : 10.1073/pnas.43.10.933 , JSTOR  89403, MR  0102802, PMC  528555 , PMID  16590113
• Bott, Raoul (1959), "La homotopía estable de los grupos clásicos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 70 (2): 313–337, doi :10.2307/1970106, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970106, MR  0110104, PMC  528555 , PMID  16590113
• Bott, Raoul (1970), "El teorema de periodicidad para los grupos clásicos y algunas de sus aplicaciones", Advances in Mathematics , 4 (3): 353–411, doi : 10.1016/0001-8708(70)90030-7. Una explicación expositiva del teorema y las matemáticas que lo rodean.
• Giffen, CH (1996), "Periodicidad de Bott y la construcción Q", en Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (eds.), Teoría K algebraica, Contemporary Mathematics, vol. 199, American Mathematical Society, págs. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, Sr.  1409620
• Milnor, J. (1969). Teoría de Morse . Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
• Baez, John (21 de junio de 1997). "Semana 105". Hallazgos de esta semana en física matemática .