Álgebra abstracta

rama de las matemáticas

Las permutaciones del Cubo de Rubik forman un grupo , un concepto fundamental dentro del álgebra abstracta.

En matemáticas , más específicamente álgebra , álgebra abstracta o álgebra moderna es el estudio de estructuras algebraicas . ^[1] Las estructuras algebraicas incluyen grupos , anillos , campos , módulos , espacios vectoriales , celosías y álgebras sobre un campo . El término álgebra abstracta fue acuñado a principios del siglo XX para distinguirla de partes más antiguas del álgebra, y más específicamente del álgebra elemental , el uso de variables para representar números en el cálculo y el razonamiento. La perspectiva abstracta del álgebra se ha vuelto tan fundamental para las matemáticas avanzadas que simplemente se la llama "álgebra", mientras que el término "álgebra abstracta" rara vez se utiliza excepto en pedagogía .

Las estructuras algebraicas, con sus homomorfismos asociados , forman categorías matemáticas . La teoría de categorías brinda un marco unificado para estudiar propiedades y construcciones similares para varias estructuras.

El álgebra universal es una materia relacionada que estudia tipos de estructuras algebraicas como objetos individuales. Por ejemplo, la estructura de grupos es un objeto único en álgebra universal, lo que se denomina variedad de grupos .

Historia

Antes del siglo XIX, el álgebra se definía como el estudio de los polinomios . ^[2] El álgebra abstracta surgió durante el siglo XIX a medida que se desarrollaron problemas y métodos de solución más complejos. Problemas y ejemplos concretos provinieron de la teoría de números, la geometría, el análisis y las soluciones de ecuaciones algebraicas . La mayoría de las teorías que ahora se reconocen como parte del álgebra abstracta comenzaron como colecciones de hechos dispares de diversas ramas de las matemáticas, adquirieron un tema común que sirvió como núcleo alrededor del cual se agruparon varios resultados y finalmente se unificaron sobre la base de un conjunto común. de conceptos. Esta unificación ocurrió en las primeras décadas del siglo XX y resultó en definiciones axiomáticas formales de varias estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos. ^[3] Este desarrollo histórico es casi lo opuesto al tratamiento que se encuentra en los libros de texto populares, como Moderne Algebra de van der Waerden , ^[4] que comienzan cada capítulo con una definición formal de una estructura y luego la siguen con ejemplos concretos. ^[5]

Álgebra elemental

El estudio de ecuaciones polinómicas o ecuaciones algebraicas tiene una larga historia. C.  1700 a. C. , los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas especificadas como problemas planteados. Esta etapa de problemas verbales se clasifica como álgebra retórica y fue el enfoque dominante hasta el siglo XVI. Al-Khwarizmi acuñó la palabra "álgebra" en el año 830 d.C., pero su trabajo fue enteramente álgebra retórica. El álgebra completamente simbólica no apareció hasta la Nueva Álgebra de François Viète de 1591 , e incluso ésta tenía algunas palabras detalladas a las que se les dieron símbolos en La Géométrie de Descartes de 1637 . ^[6] El estudio formal de la resolución de ecuaciones simbólicas llevó a Leonhard Euler a aceptar lo que entonces se consideraban raíces "sin sentido", como los números negativos y los números imaginarios , a finales del siglo XVIII. ^[7] Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron a estos conceptos hasta mediados del siglo XIX. ^[8]

El Tratado de Álgebra de George Peacock de 1830 fue el primer intento de situar el álgebra sobre una base estrictamente simbólica. Distinguió una nueva álgebra simbólica , distinta de la antigua álgebra aritmética . Mientras que en el álgebra aritmética se restringe a , en el álgebra simbólica todas las reglas de las operaciones se cumplen sin restricciones. El uso de este pavo real podría mostrar leyes como dejar entrar . Peacock utilizó lo que denominó el principio de permanencia de formas equivalentes para justificar su argumento, pero su razonamiento adolecía del problema de la inducción . ^[9] Por ejemplo, es válido para los números reales no negativos , pero no para los números complejos generales . ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (-a)(-b)=ab}$ ${\displaystyle a=0,c=0}$ ${\displaystyle (a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

Teoría de grupos temprana

Varias áreas de las matemáticas llevaron al estudio de grupos. El estudio de Lagrange de 1770 sobre las soluciones de la ecuación quíntica condujo al grupo de Galois de un polinomio . El estudio de Gauss en 1801 del pequeño teorema de Fermat condujo al anillo de números enteros módulo n , al grupo multiplicativo de números enteros módulo n y a los conceptos más generales de grupos cíclicos y grupos abelianos . El programa de Erlangen de Klein de 1872 estudió geometría y condujo a grupos de simetría como el grupo euclidiano y el grupo de transformaciones proyectivas . En 1874, Lie introdujo la teoría de los grupos de Lie , con el objetivo de "la teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales". En 1876 Poincaré y Klein introdujeron el grupo de transformaciones de Möbius , y sus subgrupos como el grupo modular y el grupo fucsiano , basándose en trabajos sobre funciones automórficas en análisis. ^[10]

El concepto abstracto de grupo surgió lentamente a mediados del siglo XIX. Galois en 1832 fue el primero en utilizar el término "grupo", ^[11] que significa una colección de permutaciones cerradas bajo composición. ^{[12] El artículo de} Arthur Cayley de 1854 Sobre la teoría de grupos definió un grupo como un conjunto con una operación de composición asociativa y la identidad 1, hoy llamado monoide . ^[13] En 1870, Kronecker definió una operación binaria abstracta que era cerrada, conmutativa, asociativa y tenía la propiedad de cancelación por la izquierda , ^[14] similar a las leyes modernas para un grupo abeliano finito . ^[15] La definición de grupo de Weber de 1882 era una operación binaria cerrada que era asociativa y tenía cancelación por izquierda y derecha. ^[16] Walther von Dyck en 1882 fue el primero en requerir elementos inversos como parte de la definición de un grupo. ^[17] ${\displaystyle b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c}$

Una vez que surgió este concepto de grupo abstracto, los resultados se reformularon en este entorno abstracto. Por ejemplo, el teorema de Sylow fue refutado por Frobenius en 1887 directamente a partir de las leyes de un grupo finito, aunque Frobenius comentó que el teorema se derivaba del teorema de Cauchy sobre grupos de permutación y del hecho de que cada grupo finito es un subgrupo de un grupo de permutación. ^{[18] [19]} Otto Hölder fue particularmente prolífico en esta área, definiendo grupos de cocientes en 1889, automorfismos de grupo en 1893, así como grupos simples. También completó el teorema de Jordan-Hölder . Dedekind y Miller caracterizaron de forma independiente los grupos hamiltonianos e introdujeron la noción de conmutador de dos elementos. Burnside, Frobenius y Molien crearon la teoría de la representación de grupos finitos a finales del siglo XIX. ^[18] La monografía de JA de Séguier de 1905 Elementos de la teoría de grupos abstractos presentó muchos de estos resultados en una forma general y abstracta, relegando los grupos "concretos" a un apéndice, aunque estaba limitado a grupos finitos. La primera monografía sobre grupos abstractos finitos e infinitos fue la Teoría abstracta de grupos de OK Schmidt de 1916 . ^[20]

Teoría temprana del anillo

La teoría de anillos no conmutativa comenzó con extensiones de los números complejos a números hipercomplejos , específicamente los cuaterniones de William Rowan Hamilton en 1843. Poco después siguieron muchos otros sistemas numéricos. En 1844, Hamilton presentó los bicuaterniones , Cayley introdujo los octoniones y Grassman introdujo las álgebras exteriores . ^[21] James Cockle presentó tesarinos en 1848 ^[22] y cocuaterniones en 1849. ^[23] William Kingdon Clifford introdujo bicuaterniones divididos en 1873. Además, Cayley introdujo álgebras de grupos sobre números reales y complejos en 1854 y matrices cuadradas en dos artículos. de 1855 y 1858. ^[24]

Una vez que hubo suficientes ejemplos, quedó clasificarlos. En una monografía de 1870, Benjamin Peirce clasificó los más de 150 sistemas numéricos hipercomplejos de dimensión inferior a 6 y dio una definición explícita de álgebra asociativa . Definió elementos nilpotentes e idempotentes y demostró que cualquier álgebra contiene uno u otro. También definió la descomposición de Peirce . Frobenius en 1878 y Charles Sanders Peirce en 1881 demostraron de forma independiente que las únicas álgebras de división de dimensión finita eran los números reales, los números complejos y los cuaterniones. En la década de 1880, Killing y Cartan demostraron que las álgebras de Lie semisimples podían descomponerse en otras simples y clasificaron todas las álgebras de Lie simples. Inspirados por esto, en la década de 1890, Cartan, Frobenius y Molien demostraron (de forma independiente) que un álgebra asociativa de dimensión finita se descompone de forma única en las sumas directas de un álgebra nilpotente y un álgebra semisimple que es el producto de algún número de álgebras simples. , matrices cuadradas sobre álgebras de división. Cartan fue el primero en definir conceptos como suma directa y álgebra simple, y estos conceptos resultaron bastante influyentes. En 1907, Wedderburn extendió los resultados de Cartan a un campo arbitrario, en lo que ahora se llama teorema principal de Wedderburn y teorema de Artin-Wedderburn . ^[25] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En el caso de los anillos conmutativos, varias áreas juntas condujeron a la teoría de los anillos conmutativos. ^[26] En dos artículos de 1828 y 1832, Gauss formuló los enteros gaussianos y demostró que forman un dominio de factorización único (UFD) y demostró la ley de reciprocidad bicuadrática . Jacobi y Eisenstein aproximadamente al mismo tiempo demostraron una ley de reciprocidad cúbica para los números enteros de Eisenstein . ^[25] El estudio del último teorema de Fermat condujo a los números enteros algebraicos . En 1847, Gabriel Lamé pensó que había probado el FLT, pero su prueba era errónea ya que asumió que todos los campos ciclotómicos eran UFD, pero, como señaló Kummer, no era un UFD. ^[27] En 1846 y 1847, Kummer introdujo los números ideales y demostró la factorización única en primos ideales para campos ciclotómicos. ^[28] Dedekind amplió esto en 1871 para mostrar que cada ideal distinto de cero en el dominio de los números enteros de un campo numérico algebraico es un producto único de ideales primos , un precursor de la teoría de los dominios de Dedekind . En general, el trabajo de Dedekind creó el tema de la teoría algebraica de números . ^[29] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{23}))}$

En la década de 1850, Riemann introdujo el concepto fundamental de superficie de Riemann . Los métodos de Riemann se basaban en una suposición que llamó principio de Dirichlet , ^[30] que en 1870 fue cuestionada por Weierstrass. Mucho más tarde, en 1900, Hilbert justificó el enfoque de Riemann desarrollando el método directo en el cálculo de variaciones . ^[31] En las décadas de 1860 y 1870, Clebsch, Gordan, Brill y especialmente M. Noether estudiaron funciones y curvas algebraicas . En particular, Noether estudió qué condiciones se requerían para que un polinomio fuera un elemento del ideal generado por dos curvas algebraicas en el anillo polinómico , aunque Noether no utilizó este lenguaje moderno. En 1882, Dedekind y Weber, en analogía con el trabajo anterior de Dedekind sobre teoría algebraica de números, crearon una teoría de campos de funciones algebraicas que permitió la primera definición rigurosa de una superficie de Riemann y una prueba rigurosa del teorema de Riemann-Roch . Kronecker en la década de 1880, Hilbert en 1890, Lasker en 1905 y Macauley en 1913 investigaron más a fondo los ideales de los anillos polinomiales implícitos en el trabajo de E. Noether . Lasker demostró un caso especial del teorema de Lasker-Noether , a saber, que todo ideal en un anillo polinómico es una intersección finita de ideales primarios . Macauley demostró la singularidad de esta descomposición. ^[32] En general, este trabajo condujo al desarrollo de la geometría algebraica . ^[26] ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$

En 1801 Gauss introdujo las formas cuadráticas binarias sobre los números enteros y definió su equivalencia . Además, definió el discriminante de estas formas, que es un invariante de una forma binaria . Entre las décadas de 1860 y 1890, la teoría invariante se desarrolló y se convirtió en un campo importante del álgebra. Cayley, Sylvester, Gordon y otros encontraron el jacobiano y el hessiano para formas binarias cuárticas y formas cúbicas. ^[33] En 1868 Gordan demostró que el álgebra graduada de invariantes de forma binaria sobre números complejos se genera de forma finita, es decir, tiene una base. ^[34] Hilbert escribió una tesis sobre invariantes en 1885 y en 1890 demostró que cualquier forma de cualquier grado o número de variables tiene una base. Amplió esto en 1890 al teorema de la base de Hilbert . ^[35]

Una vez desarrolladas estas teorías, todavía pasaron varias décadas hasta que surgió un concepto abstracto de anillo. La primera definición axiomática fue dada por Abraham Fraenkel en 1914. ^[35] Su definición consistía principalmente en los axiomas estándar: un conjunto con dos operaciones, suma, que forma un grupo (no necesariamente conmutativo), y multiplicación, que es asociativa, se distribuye sobre la suma. , y tiene un elemento de identidad. ^[36] Además, tenía dos axiomas sobre "elementos regulares" inspirados en el trabajo sobre los números p-ádicos , que excluían los anillos ahora comunes, como el anillo de los números enteros. Esto permitió a Fraenkel demostrar que la suma era conmutativa. ^[37] El trabajo de Fraenkel tenía como objetivo transferir la definición de campos de Steinitz de 1910 a anillos, pero no estaba relacionado con el trabajo existente sobre sistemas concretos. La definición de Masazo Sono de 1917 fue el primer equivalente a la actual. ^[38]

En 1920, Emmy Noether , en colaboración con W. Schmeidler, publicó un artículo sobre la teoría de los ideales en el que definían los ideales izquierdo y derecho en un anillo . Al año siguiente publicó un artículo histórico llamado Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoría ideal en anillos ), analizando las condiciones de la cadena ascendente con respecto a ideales (matemáticos). La publicación dio lugar al término " anillo noetheriano ", y a varios otros objetos matemáticos se les llamó noetherianos . ^{[39] [40]} El destacado algebrista Irving Kaplansky llamó a este trabajo "revolucionario"; ^[39] se demostró que los resultados que parecían inextricablemente relacionados con las propiedades de los anillos polinómicos se derivaban de un solo axioma. ^[41] Artin, inspirado por el trabajo de Noether, ideó la condición de cadena descendente . Estas definiciones marcaron el nacimiento de la teoría abstracta de los anillos. ^[42]

Teoría de campo temprana

En 1801 Gauss introdujo los números enteros mod p , donde p es un número primo. Galois amplió esto en 1830 a campos finitos con elementos. ^[43] En 1871 Richard Dedekind introdujo, para un conjunto de números reales o complejos que están cerrados bajo las cuatro operaciones aritméticas, ^[44] la palabra alemana Körper , que significa "cuerpo" o "corpus" (para sugerir una entidad orgánicamente cerrada). ). El término inglés "campo" fue introducido por Moore en 1893. ^[45] En 1881, Leopold Kronecker definió lo que llamó un dominio de racionalidad , que es un campo de fracciones racionales en términos modernos. ^[46] La primera definición clara de un campo abstracto se debió a Heinrich Martin Weber en 1893. Le faltaba la ley asociativa de la multiplicación, pero cubría los campos finitos y los campos de la teoría algebraica de números y la geometría algebraica. ^[47] En 1910 Steinitz sintetizó el conocimiento de la teoría de campos abstractos acumulado hasta el momento. Definió axiomáticamente los campos con la definición moderna, los clasificó según sus características y demostró muchos teoremas que se ven comúnmente en la actualidad. ^[48] ${\displaystyle p^{n}}$

Otras áreas importantes

• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales , que llevaron al álgebra lineal ^[49]

álgebra moderna

A finales del siglo XIX y principios del XX se produjo un cambio en la metodología de las matemáticas. El álgebra abstracta surgió a principios del siglo XX, bajo el nombre de álgebra moderna . Su estudio fue parte del impulso hacia un mayor rigor intelectual en las matemáticas. Inicialmente, los supuestos del álgebra clásica , de los que dependen todas las matemáticas (y la mayor parte de las ciencias naturales ), tomaron la forma de sistemas axiomáticos . Ya no satisfechos con establecer propiedades de objetos concretos, los matemáticos comenzaron a centrar su atención en la teoría general. Las definiciones formales de ciertas estructuras algebraicas comenzaron a surgir en el siglo XIX. Por ejemplo, los resultados sobre varios grupos de permutaciones llegaron a ser vistos como ejemplos de teoremas generales que se refieren a una noción general de grupo abstracto . Pasaron a primer plano las cuestiones de estructura y clasificación de diversos objetos matemáticos. ^{[ cita necesaria ]}

Estos procesos ocurrieron en todas las matemáticas, pero se volvieron especialmente pronunciados en álgebra. Se propusieron definiciones formales mediante operaciones primitivas y axiomas para muchas estructuras algebraicas básicas, como grupos , anillos y campos . De ahí que cosas como la teoría de grupos y la teoría de anillos ocuparan su lugar en las matemáticas puras . Las investigaciones algebraicas de campos generales de Ernst Steinitz y de anillos conmutativos y luego generales de David Hilbert , Emil Artin y Emmy Noether , basándose en el trabajo de Ernst Kummer , Leopold Kronecker y Richard Dedekind , quienes habían considerado ideales en anillos conmutativos, y de Georg Frobenius e Issai Schur , respecto a la teoría de la representación de grupos, llegaron a definir el álgebra abstracta. Estos desarrollos del último cuarto del siglo XIX y el primer cuarto del siglo XX fueron expuestos sistemáticamente en Moderne Algebra de Bartel van der Waerden , la monografía en dos volúmenes publicada en 1930-1931 que reorientó la idea de álgebra a partir de la teoría de ecuaciones a la teoría de estructuras algebraicas . ^{[ cita necesaria ]}

Conceptos básicos

Al abstraer diversos niveles de detalle, los matemáticos han definido diversas estructuras algebraicas que se utilizan en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, casi todos los sistemas estudiados son conjuntos , a los que se aplican los teoremas de la teoría de conjuntos . Aquellos conjuntos que tienen definida una determinada operación binaria forman magmas , a los que se aplican los conceptos relativos a magmas, así como los relativos a conjuntos. Podemos agregar restricciones adicionales a la estructura algebraica, como asociatividad (para formar semigrupos ); identidad, e inversas (para formar grupos ); y otras estructuras más complejas. Con una estructura adicional se podrían demostrar más teoremas, pero la generalidad se reduce. La "jerarquía" de objetos algebraicos (en términos de generalidad) crea una jerarquía de las teorías correspondientes: por ejemplo, los teoremas de la teoría de grupos pueden usarse al estudiar anillos (objetos algebraicos que tienen dos operaciones binarias con ciertos axiomas) ya que un anillo es un grupo sobre una de sus operaciones. En general, existe un equilibrio entre la cantidad de generalidad y la riqueza de la teoría: las estructuras más generales suelen tener menos teoremas no triviales y menos aplicaciones. ^{[ cita necesaria ]}

Estructuras algebraicas entre magmas y grupos . Por ejemplo, los monoides son semigrupos con identidad.

Ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son:

• Magma
• Cuasigrupo
• monoide
• Semigrupo
• Grupo

Los ejemplos que involucran varias operaciones incluyen:

• Anillo
• Campo
• Módulo
• Espacio vectorial
• Álgebra sobre un campo
• Álgebra asociativa
• álgebra de mentiras
• Enrejado
• álgebra de Boole

Ramas del álgebra abstracta

teoría de grupos

Un grupo es un conjunto junto con un "producto de grupo", una operación binaria . El grupo satisface los siguientes axiomas definitorios (cf Grupo (matemáticas) § Definición ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot :G\times G\rightarrow G}$

Identidad : existe un elemento tal que, para cada elemento de , cumple que . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

Inversa : para cada elemento de , existe un elemento tal que . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$

Asociatividad : para cada triplete de elementos en , se cumple que . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Teoría del anillo

Un anillo es un conjunto con dos operaciones binarias , suma: y multiplicación: que satisfacen los siguientes axiomas . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$

• ${\displaystyle R}$es un grupo conmutativo bajo suma.
• ${\displaystyle R}$es un monoide bajo multiplicación.
• La multiplicación es distributiva con respecto a la suma.

Aplicaciones

Debido a su generalidad, el álgebra abstracta se utiliza en muchos campos de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, la topología algebraica utiliza objetos algebraicos para estudiar topologías. La conjetura de Poincaré , probada en 2003, afirma que el grupo fundamental de una variedad, que codifica información sobre la conectividad, se puede utilizar para determinar si una variedad es una esfera o no. La teoría algebraica de números estudia varios anillos numéricos que generalizan el conjunto de números enteros. Utilizando herramientas de la teoría algebraica de números, Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat . ^{[ cita necesaria ]}

En física, los grupos se utilizan para representar operaciones de simetría y el uso de la teoría de grupos podría simplificar las ecuaciones diferenciales. En la teoría de calibre , el requisito de la simetría local se puede utilizar para deducir las ecuaciones que describen un sistema. Los grupos que describen esas simetrías son los grupos de Lie , y el estudio de los grupos de Lie y las álgebras de Lie revela mucho sobre el sistema físico; por ejemplo, el número de portadores de fuerza en una teoría es igual a la dimensión del álgebra de Lie, y estos bosones interactúan con la fuerza que median si el álgebra de Lie es no abeliano. ^[50]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Teoría de la codificación
• teoría de grupos
• Lista de publicaciones en álgebra abstracta

Referencias

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Bibliografía

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Otras lecturas

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• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1999) [1981], Un curso de álgebra universal
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• Whitehead, C. (2002), Guía de álgebra abstracta (2ª ed.), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
• W. Keith Nicholson (2012) Introducción al álgebra abstracta , cuarta edición, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8 . 
• John R. Durbin (1992) Álgebra moderna: una introducción , John Wiley & Sons

enlaces externos

• Charles C. Pinter (1990) [1982] Un libro de álgebra abstracta , segunda edición, de la Universidad de Maryland