En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , una descomposición de Peirce /ˈpɜːrs / es una descomposición de un álgebra como una suma de espacios propios de elementos idempotentes conmutativos . La descomposición de Peirce para álgebras asociativas fue introducida por Benjamin Peirce (1870, proposición 41, página 13). Una descomposición de Peirce para álgebras de Jordan (que no son asociativas ) fue introducida por Albert (1947).
Si e es un elemento idempotente ( e 2 = e ) de un álgebra asociativa A , la descomposición bilateral de Peirce de A dado el idempotente simple e es la suma directa de eAe , eA (1 − e ), (1 − e ) Ae y (1 − e ) A (1 − e ). También hay descomposiciones de Peirce izquierda y derecha correspondientes. La descomposición de Peirce izquierda de A es la suma directa de eA y (1 − e ) A y la descomposición derecha de A es la suma directa de Ae y A (1 − e ).
En esos casos simples, 1 − e también es idempotente y es ortogonal a e (es decir, e (1 − e ) = (1 − e ) e = 0), y la suma de 1 − e y e es 1. En general, dados los elementos idempotentes e 1 , ..., e n que son mutuamente ortogonales y suman 1, entonces una descomposición de Peirce bilateral de A con respecto a e 1 , ..., e n es la suma directa de los espacios e i A e j para 1 ≤ i , j ≤ n . La descomposición izquierda es la suma directa de e i A para 1 ≤ i ≤ n y la descomposición derecha es la suma directa de Ae i para 1 ≤ i ≤ n .
En general, dado un conjunto e 1 , ..., e m de idempotentes mutuamente ortogonales de A que suman e suma en lugar de 1, entonces el elemento 1 − e suma será idempotente y ortogonal a todos los e 1 , ..., e m , y el conjunto e 1 , ..., e m , 1 − e suma tendrá la propiedad de que ahora suma 1, y por lo tanto reetiquetar el nuevo conjunto de elementos de modo que n = m + 1, e n = 1 − e suma lo convierte en un conjunto adecuado para descomposiciones de Peirce bilaterales, derecha e izquierda de A usando las definiciones del último párrafo. Esta es la generalización del caso simple de idempotente simple del primer párrafo de esta sección.
Un idempotente de un anillo se llama central si conmuta con todos los elementos del anillo.
Dos idempotentes e , f se llaman ortogonales si ef = fe = 0.
Un idempotente se denomina primitivo si es distinto de cero y no puede escribirse como la suma de dos idempotentes ortogonales distintos de cero.
Un idempotente e se denomina bloque o primitivo central si es distinto de cero y central y no se puede escribir como la suma de dos idempotentes centrales distintos de cero ortogonales. En este caso, el ideal eR también se denomina a veces bloque.
Si la identidad 1 de un anillo R se puede escribir como la suma
de idempotentes primitivos centralmente distintos de cero ortogonales, entonces estos idempotentes son únicos hasta el orden y se denominan bloques o el anillo R . En este caso, el anillo R se puede escribir como una suma directa
de anillos indecomponibles, que a veces también se denominan bloques de R .