Invariante de una forma binaria

En la teoría de invariantes matemáticos , un invariante de una forma binaria es un polinomio en los coeficientes de una forma binaria en dos variables x e y que permanece invariante bajo el grupo lineal especial que actúa sobre las variables x e y .

Terminología

Una forma binaria (de grado n ) es un polinomio homogéneo . El grupo actúa sobre estas formas tomando a y a . Esto induce una acción sobre el espacio abarcado por y sobre los polinomios en estas variables. Un invariante es un polinomio en estas variables que es invariante bajo esta acción. De manera más general, un covariante es un polinomio en , , que es invariante, por lo que un invariante es un caso especial de un covariante donde las variables y no ocurren. De manera más general aún, un invariante simultáneo es un polinomio en los coeficientes de varias formas diferentes en y . ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a_{n-i}x^{n-i}y^{i}=a_{n}x^{n}+{\binom {n}{1}}a_{n-1}x^{n-1}y+\cdots +a_{0}y^{n}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax+by}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle cx+dy}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En términos de la teoría de la representación , dada cualquier representación del grupo se puede preguntar por el anillo de polinomios invariantes en . Los invariantes de una forma binaria de grado corresponden a tomar como la representación irreducible -dimensional, y los covariantes corresponden a tomar como la suma de las representaciones irreducibles de dimensiones 2 y . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n+1}$

Los invariantes de una forma binaria forman un álgebra graduada , y Gordan (1868) demostró que esta álgebra se genera finitamente si el campo base son los números complejos.

Las formas de los grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se denominan a veces cuádricas, cúbicas, cuárticas, quínticas, sépticas, sépticas o séptímicas, ócticas u octávicas, nónicas y décicas o decímicas. "Cuántica" es un nombre antiguo para una forma de grado arbitrario. Las formas en 1, 2, 3, 4, ... variables se denominan formas unarias, binarias, ternarias, cuaternarias, ...

Ejemplos

Una forma f es en sí misma una covariante de grado 1 y orden n .

El discriminante de una forma es un invariante.

La resultante de dos formas es un invariante simultáneo de ellas.

La covariante hessiana de una forma Hilbert (1993, p.88) es el determinante de la matriz hessiana

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Es una covariante de orden 2 n − 4 y grado 2.

El catalecticante es un invariante de grado n /2+1 de una forma binaria de grado par n .

El canonizante es un covariante de grado y orden ( n +1)/2 de una forma binaria de grado impar n .

El jacobiano

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$

es una covariante simultánea de dos formas f , g .

El anillo de invariantes

La estructura del anillo de invariantes se ha calculado para grados pequeños. Sylvester y Franklin (1879) proporcionaron tablas de los números de generadores de invariantes y covariantes para formas de grado hasta 10, aunque las tablas tienen algunos errores menores para grados grandes, principalmente cuando se omiten algunos invariantes o covariantes.

Covariantes de una forma lineal binaria

Para las formas lineales los únicos invariantes son las constantes. El álgebra de covariantes la genera la propia forma de grado 1 y orden 1. ${\displaystyle F_{1}(x,y)=Ax+By}$

Covariantes de una cuadrática binaria

El álgebra de invariantes de la forma cuadrática es un álgebra polinómica de 1 variable generada por el discriminante de grado 2. El álgebra de covariantes es un álgebra polinómica de 2 variables generada por el discriminante junto con la propia forma (de grado 1 y orden 2). (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVI, XX) ${\displaystyle F_{2}(x,y)=Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}}$ ${\displaystyle B^{2}-AC}$

Covariantes de una binaria cúbica

El álgebra de invariantes de la forma cúbica es un álgebra polinómica en 1 variable generada por el discriminante de grado 4. El álgebra de covariantes es generada por el discriminante, la propia forma (grado 1, orden 3), el hessiano (grado 2, orden 2) y un covariante de grado 3 y orden 3. Están relacionados por la sicigia de grado 6 y orden 6. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVII, XX) ${\displaystyle F_{3}(x,y)=Ax^{3}+3Bx^{2}y+3Cxy^{2}+Dy^{3}}$ ${\displaystyle \Delta =3B^{2}C^{2}+6ABCD-4B^{3}D-4C^{3}A-A^{2}D^{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 4H^{3}=Df^{2}-T^{2}}$

Covariantes de una binaria de cuarto grado

El álgebra de invariantes de una forma cuártica se genera a partir de invariantes , de grados 2, 3: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{4}(x,y)&=Ax^{4}+4Bx^{3}y+6Cx^{2}y^{2}+4Dxy^{3}+Ey^{4}\\i_{F_{4}}&=AE-4BD+3C^{2}\\j_{F_{4}}&=ACE+2BCD-C^{3}-B^{2}E-AD^{2}\end{aligned}}}$$

Este anillo es naturalmente isomorfo al anillo de formas modulares de nivel 1, correspondiendo los dos generadores a la serie de Eisenstein y . El álgebra de covariantes se genera por estos dos invariantes junto con la forma de grado 1 y orden 4, la hessiana de grado 2 y orden 4, y una covariante de grado 3 y orden 6. Están relacionadas por una sicigia de grado 6 y orden 12. (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVIII, XXII) ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle jf^{3}-Hf^{2}i+4H^{3}+T^{2}=0}$

Covariantes de una ecuación binaria de quinto grado

El álgebra de invariantes de una forma quíntica fue encontrada por Sylvester y es generada por invariantes de grado 4, 8, 12, 18. Los generadores de grados 4, 8, 12 generan un anillo polinómico, que contiene el cuadrado del invariante oblicuo de Hermite de grado 18. Los invariantes son bastante complicados de escribir explícitamente: Sylvester mostró que los generadores de grados 4, 8, 12, 18 tienen 12, 59, 228 y 848 términos a menudo con coeficientes muy grandes. (Schur 1968, II.9) (Hilbert 1993, XVIII) El anillo de covariantes es generado por 23 covariantes, uno de los cuales es el canonizante de grado 3 y orden 3.

Covariantes de un sextico binario

El álgebra de invariantes de una forma séxtica se genera a partir de invariantes de grado 2, 4, 6, 10, 15. Los generadores de grados 2, 4, 6, 10 generan un anillo polinómico, que contiene el cuadrado del generador de grado 15. (Schur 1968, II.9) El anillo de covariantes se genera a partir de 26 covariantes. El anillo de invariantes está estrechamente relacionado con el espacio de módulos de curvas de género 2, porque dicha curva se puede representar como una doble cobertura de la línea proyectiva ramificada en 6 puntos, y los 6 puntos se pueden tomar como las raíces de una binaria séxtica.

Covariantes de un séptico binario

El anillo de invariantes de los sistemas sépticos binarios es anómalo y ha provocado varios errores publicados. Cayley afirmó incorrectamente que el anillo de invariantes no se genera de forma finita. Sylvester y Franklin (1879) dieron límites inferiores de 26 y 124 para el número de generadores del anillo de invariantes y el anillo de covariantes y observaron que un "postulado fundamental" no demostrado implicaría que se cumple la igualdad. Sin embargo, von Gall (1888) demostró que los números de Sylvester no son iguales a los números de generadores, que son 30 para el anillo de invariantes y al menos 130 para el anillo de covariantes, por lo que el postulado fundamental de Sylvester es incorrecto. von Gall (1888) y Dixmier & Lazard (1988) demostraron que el álgebra de invariantes de una forma de grado 7 se genera mediante un conjunto con 1 invariante de grado 4, 3 de grado 8, 6 de grado 12, 4 de grado 14, 2 de grado 16, 9 de grado 18 y uno de cada uno de los grados 20, 22, 26, 30. Cröni (2002) da 147 generadores para el anillo de covariantes.

Covariantes de una binaria octavica

Sylvester y Franklin (1879) demostraron que el anillo de invariantes de una forma de grado 8 es generado por 9 invariantes de grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, y el anillo de covariantes es generado por 69 covariantes. August von Gall (von Gall (1880)) y Shioda (1967) confirmaron los generadores para el anillo de invariantes y demostraron que el ideal de relaciones entre ellos es generado por elementos de grados 16, 17, 18, 19, 20.

Covariantes de un nonico binario

Brouwer y Popoviciu (2010a) demostraron que el álgebra de invariantes de grado 9 se genera a partir de 92 invariantes. Cröni, Hagedorn y Brouwer ^[1] calcularon 476 covariantes, y Lercier y Olive demostraron que esta lista está completa.

Covariantes de una decimal binaria

Sylvester afirmó que el anillo de invariantes de los decics binarios se genera con 104 invariantes y el anillo de covariantes con 475 covariantes; su lista es correcta para los grados hasta 16, pero errónea para los grados superiores. Brouwer y Popoviciu (2010b) demostraron que el álgebra de invariantes de una forma de grado 10 se genera con 106 invariantes. Hagedorn y Brouwer ^[1] calcularon 510 covariantes, y Lercier y Olive demostraron que esta lista está completa.

Covariantes de un sistema binario undecimico

El anillo de invariantes de formas binarias de grado 11 es complicado y aún no ha sido descrito explícitamente.

Covariantes de una binaria duodecimica

Sylvester (1881) descubrió que en las formas de grado 12 hay 109 invariantes básicas en los grados hasta el 14. Hay al menos 4 más en los grados superiores. El número de covariantes básicas es al menos 989.

El número de generadores para invariantes y covariantes de formas binarias se puede encontrar en (secuencia A036983 en la OEIS ) y (secuencia A036984 en la OEIS ), respectivamente.

Invariantes de varias formas binarias

Las covariantes de una forma binaria son esencialmente las mismas que las invariantes conjuntas de una forma binaria y de una forma binaria lineal. En términos más generales, se pueden solicitar las invariantes conjuntas (y covariantes) de cualquier conjunto de formas binarias. A continuación se enumeran algunos casos que se han estudiado.

Notas:

• Los invariantes básicos de una forma lineal son esencialmente los mismos que sus covariantes básicos.
• Para dos cuárticos, hay 8 invariantes básicos (3 de grado 2, 4 de grado 3 y 1 de grado 4) y 28 covariantes básicos. (Gordan proporcionó 30 covariantes, pero Sylvester demostró que dos de ellas son reducibles).

Formas múltiples:

• Covariantes de varias formas lineales: El anillo de invariantes de formas lineales se genera mediante invariantes de grado 2. El anillo de covariantes de formas lineales es esencialmente el mismo que el anillo de invariantes de formas lineales. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$
• Covariantes de varias formas lineales y cuadráticas:
  • El anillo de invariantes de una suma de formas lineales y formas cuadráticas se genera mediante generadores de grado 2, de grado 3 y de grado 4. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m(m-1)/2+n(n+1)/2}$ ${\displaystyle nm(m+1)/2+n(n-1)(n-2)/6}$ ${\displaystyle m(m+1)n(n-1)/4}$
  • Para el número de generadores del anillo de covariantes, cambie a . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$
• Covariantes de muchas cúbicas o cuárticas: véase Young (1898).

Véase también

• Cúbico ternario
• Cuartico ternario

Referencias

1. Brouwer, Invariantes y covariantes de la cuántica

• Brouwer, Andries E.; Popoviciu, Mihaela (2010a), "Los invariantes del binario nonico", Journal of Symbolic Computation , 45 (6): 709–720, arXiv : 1002.0761 , doi :10.1016/j.jsc.2010.03.003, ISSN  0747-7171, MR  2639312, S2CID  30297
• Brouwer, Andries E.; Popoviciu, Mihaela (2010b), "Los invariantes de la decimática binaria", Journal of Symbolic Computation , 45 (8): 837–843, arXiv : 1002.1008 , doi :10.1016/j.jsc.2010.03.002, ISSN  0747-7171, MR  2657667, S2CID  12702092
• Cröni, Holger (2002), Zur Berechnung von Kovarianten von Quantiken (Disertación), Saarbrücken: Univ. Sarre
• Dixmier, Jacques; Lazard, D. (1988), "Número mínimo de invariantes fundamentales para la forma binaria de grado 7", Journal of Symbolic Computation , 6 (1): 113–115, doi : 10.1016/S0747-7171(88)80026-9 , ISSN  0747-7171, MR  0961375
• von Gall, August Freiherr (1880), "Das vollständige Formensystem einer binären Form achter Ordnung", Mathematische Annalen , 17 (1): 31–51, doi :10.1007/BF01444117, ISSN  0025-5831, MR  1510048, S2CID  120828980
• von Gall, August Freiherr (1888), "Das vollständige Formensystem der binären Form 7terOrdnung", Mathematische Annalen , 31 (3): 318–336, doi :10.1007/BF01206218, ISSN  0025-5831, MR  1510486, S2CID  121051862
• Gordan, Paul (1868), "Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1868 (69): 323–354, doi :10.1515/crll.1868.69.323, S2CID  120689164
• Hilbert, David (1993) [1897], Teoría de invariantes algebraicos, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-44457-6, Sr.  1266168
• Kung, Joseph PS; Rota, Gian-Carlo (1984), "La teoría invariante de las formas binarias", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN  0002-9904, MR  0722856
• Schur, Issai (1968), Grunsky, Helmut (ed.), Vorlesungen über Invariantentheorie , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 143, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04139-9, Sr.  0229674
• Shioda, Tetsuji (1967), "Sobre el anillo graduado de invariantes de octavas binarias", American Journal of Mathematics , 89 (4): 1022–1046, doi :10.2307/2373415, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373415, MR  0220738
• Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmos en teoría invariante , Textos y monografías en computación simbólica, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-211-77417-5, ISBN 978-3-211-82445-0, Sr.  1255980
• Sylvester, JJ ; Franklin, F. (1879), "Tablas de las funciones generadoras y formas fundamentales para la cuántica binaria de los primeros diez órdenes", American Journal of Mathematics , 2 (3): 223–251, doi :10.2307/2369240, ISSN  0002-9327, JSTOR  2369240, MR  1505222
• Sylvester, James Joseph (1881), "Tablas de las funciones generadoras y formas fundamentales de la duodécima binaria, con algunas observaciones generales, y tablas de las sicigias irreducibles de ciertas ecuaciones cuánticas", American Journal of Mathematics , 4 (1), The Johns Hopkins University Press: 41–61, doi :10.2307/2369149, ISSN  0002-9327, JSTOR  2369149
• Young, A. (noviembre de 1898). "Los concomitantes irreducibles de cualquier número de cuárticos binarios". Actas de la London Mathematical Society . s1-30 (1): 290–307. doi :10.1112/plms/s1-30.1.290.

Enlaces externos

• Brouwer, Andries E., Invariantes de formas binarias