George Peacock FRS (9 de abril de 1791 – 8 de noviembre de 1858) fue un matemático y clérigo anglicano inglés . Fundó lo que se ha denominado el álgebra británica de la lógica .
Peacock nació el 9 de abril de 1791 en Thornton Hall , Denton, cerca de Darlington , en el condado de Durham. [1] Su padre, Thomas Peacock, era sacerdote de la Iglesia de Inglaterra , titular y durante 50 años coadjutor de la parroquia de Denton, donde también dirigía una escuela. En sus primeros años de vida, Peacock no mostró ninguna precocidad de genio. Era más notable por sus audaces hazañas de escalada que por su especial apego al estudio. Inicialmente, recibió su educación elemental de su padre y luego en la Escuela Sedbergh , [2] y a los 17 años de edad, fue enviado a la Escuela Richmond con James Tate , un graduado de la Universidad de Cambridge . En esta escuela se distinguió mucho tanto en los clásicos como en las matemáticas bastante elementales que se requerían entonces para ingresar a Cambridge. En 1809 se convirtió en estudiante del Trinity College, Cambridge . [3]
En 1812 Peacock obtuvo el rango de Segundo Wrangler y el segundo premio Smith , siendo el Wrangler más antiguo John Herschel . Dos años más tarde, se presentó como candidato a una beca en su universidad y la ganó de inmediato, en parte gracias a su amplio y preciso conocimiento de los clásicos. Una beca significaba entonces unas 200 libras al año, que se podían mantener durante siete años siempre que el becario no se casara mientras tanto, y que se podía extender después de los siete años siempre que el becario tomara las órdenes clericales, lo que Peacock hizo en 1819.
Al año siguiente de obtener una beca, Peacock fue nombrado tutor y profesor de su universidad, cargo que mantuvo durante muchos años. Peacock, al igual que muchos otros estudiantes de su mismo nivel, estaba profundamente impresionado por la necesidad de reformar la posición de Cambridge que ignoraba la notación diferencial para el cálculo, y mientras todavía era estudiante formó una liga con Babbage y Herschel para adoptar medidas para lograrlo. En 1815 formaron lo que llamaron la Sociedad Analítica , cuyo objetivo se declaró que era defender el " dismo " del continente frente a la "dot -age" de la universidad.
El primer movimiento de la Sociedad Analítica fue traducir del francés la obra más breve de Lacroix sobre el cálculo diferencial e integral; se publicó en 1816. [4] En esa época, el idioma francés tenía los mejores manuales, así como las obras más importantes sobre matemáticas. Peacock siguió la traducción con un volumen que contenía una copiosa Colección de ejemplos de la aplicación del cálculo diferencial e integral , que se publicó en 1820. [5] La venta de ambos libros fue rápida y contribuyó materialmente a promover el objetivo de la Sociedad. En esa época, los altos funcionarios de un año se convirtieron en los examinadores de los exámenes finales de matemáticas tres o cuatro años después. Peacock fue nombrado examinador en 1817 y no dejó de utilizar el puesto como una poderosa palanca para promover la causa de la reforma. En sus preguntas para el examen, la notación diferencial se empleó oficialmente por primera vez en Cambridge. La innovación no escapó a la censura, pero escribió a un amigo lo siguiente: "Le aseguro que nunca dejaré de esforzarme al máximo en la causa de la reforma y que nunca rechazaré ningún cargo que pueda aumentar mi poder para llevarla a cabo. Estoy casi seguro de que seré nominado para el cargo de moderador en el año 1818-1819, y como soy examinador en virtud de mi cargo, durante el próximo año seguiré un curso aún más decidido que hasta ahora, ya que sentiré que los hombres han sido preparados para el cambio y entonces podrán haber adquirido un mejor sistema mediante la publicación de libros elementales mejorados. Tengo una influencia considerable como conferenciante y no la descuidaré. Es solo mediante la perseverancia silenciosa que podemos esperar reducir el monstruo de múltiples cabezas del prejuicio y hacer que la Universidad responda a su carácter de madre amorosa del buen aprendizaje y la ciencia". Estas pocas frases dan una idea del carácter de Peacock: fue un ardiente reformador y en pocos años trajo éxito a la causa de la Sociedad Analítica.
Otra reforma en la que trabajó Peacock fue la enseñanza del álgebra . En 1830 publicó Tratado sobre álgebra , cuyo objetivo era colocar el álgebra sobre una verdadera base científica, adecuada al desarrollo que había recibido de manos de los matemáticos continentales. Para elevar la ciencia astronómica se fundó la Sociedad Astronómica de Londres, y los tres reformadores Peacock, Babbage y Herschel fueron nuevamente los principales impulsores de la empresa. Peacock fue uno de los promotores más entusiastas de un observatorio astronómico en Cambridge y uno de los fundadores de la Sociedad Filosófica de Cambridge.
En 1831 la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia (prototipo de las Asociaciones Americana, Francesa y Australasia) celebró su primera reunión en la antigua ciudad de York . Una de las primeras resoluciones adoptadas fue la de procurar informes sobre el estado y el progreso de determinadas ciencias, que serían elaborados de vez en cuando por personas competentes para información de las reuniones anuales, y el primero en ser incluido en la lista fue un informe sobre el progreso de la ciencia matemática. Whewell, el matemático y filósofo, fue vicepresidente de la reunión: se le encargó que seleccionara al reportero. Primero le preguntó a William Rowan Hamilton , quien declinó; luego le preguntó a Peacock, quien aceptó. Peacock tenía su informe listo para la tercera reunión de la Asociación, que se celebró en Cambridge en 1833; aunque se limita al Álgebra , la Trigonometría y la Aritmética de Senos, es uno de los mejores de la larga serie de informes valiosos que se han preparado e impreso por la Asociación.
En 1837, Peacock fue nombrado profesor de astronomía de Lowndean en la Universidad de Cambridge, cátedra que luego ocupó Adams , codescubridor de Neptuno , y más tarde Robert Ball , célebre por su teoría de los tornillos . Uno de los objetivos de la reforma fueron los estatutos de la universidad; trabajó arduamente en ello y fue nombrado miembro de una comisión designada por el gobierno para ese propósito.
Fue elegido miembro de la Royal Society en enero de 1818. [6]
En 1842, Peacock fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica Americana . [7]
Fue ordenado diácono en 1819, sacerdote en 1822 y nombrado vicario de Wymeswold en Leicestershire en 1826 (hasta 1835). [8]
En 1839 fue nombrado decano de la catedral de Ely, Cambridgeshire, cargo que ocupó durante el resto de su vida, unos 20 años. Junto con el arquitecto George Gilbert Scott emprendió una importante restauración del edificio de la catedral, que incluyó la instalación del techo de tablas de madera. [9]
Mientras ocupaba este cargo escribió un libro de texto sobre álgebra, Tratado de álgebra (1830), del que más tarde apareció una segunda edición en dos volúmenes, uno titulado Álgebra aritmética (1842) y otro Sobre el álgebra simbólica y sus aplicaciones a la geometría de la posición (1845).
La principal contribución de Peacock al análisis matemático es su intento de situar el álgebra sobre una base estrictamente lógica. Fundó lo que se ha llamado el álgebra británica de la lógica , a la que pertenecían Gregory , De Morgan y Boole . Su respuesta a Maseres y Frend fue que la ciencia del álgebra constaba de dos partes: el álgebra aritmética y el álgebra simbólica , y que cometían un error al restringir la ciencia a la parte aritmética. Su visión del álgebra aritmética es la siguiente: "En el álgebra aritmética consideramos que los símbolos representan números, y las operaciones a las que están sometidos están incluidas en las mismas definiciones que en la aritmética común; los signos y denotan las operaciones de adición y resta en su significado ordinario solamente, y esas operaciones se consideran imposibles en todos los casos en que los símbolos sujetos a ellos poseen valores que las harían así en caso de que fueran reemplazados por números digitales; así, en expresiones como debemos suponer que y son cantidades del mismo tipo; en otras, como , debemos suponer mayor que y por lo tanto homogéneo con él; en productos y cocientes, como y debemos suponer que el multiplicador y el divisor son números abstractos; todos los resultados, incluidas las cantidades negativas, que no sean estrictamente deducibles como conclusiones legítimas de las definiciones de las diversas operaciones deben rechazarse como imposibles o como ajenos a la ciencia".
El principio de Peacock puede enunciarse así: el símbolo elemental del álgebra aritmética denota un número digital , es decir, un número entero; y toda combinación de símbolos elementales debe reducirse a un número digital, de lo contrario es imposible o extraño a la ciencia. Si y son números, entonces es siempre un número; pero es un número sólo cuando es menor que . De nuevo, bajo las mismas condiciones, es siempre un número, pero es realmente un número sólo cuando es un divisor exacto de . De ahí el siguiente dilema: o bien debe considerarse una expresión imposible en general, o bien el significado del símbolo fundamental del álgebra debe extenderse de modo que incluya fracciones racionales. Si se elige el primer cuerno del dilema, el álgebra aritmética se convierte en una mera sombra; si se elige el segundo cuerno, las operaciones del álgebra no pueden definirse suponiendo que el símbolo elemental sea un número entero. Peacock intenta salir de la dificultad suponiendo que un símbolo que se utiliza como multiplicador es siempre un número entero, pero que un símbolo en lugar del multiplicando puede ser una fracción. Por ejemplo, en , puede denotar sólo un número entero, pero puede denotar una fracción racional. Ahora bien, no hay principio más fundamental en el álgebra aritmética que el ; que sería ilegítimo según el principio de Peacock.
Uno de los primeros escritores ingleses de aritmética es Robert Recorde , que dedicó su obra al rey Eduardo VI . El autor da a su tratado la forma de un diálogo entre maestro y erudito. El erudito lucha durante mucho tiempo sobre esta dificultad: que multiplicar una cosa podría hacerla más pequeña. El maestro intenta explicar la anomalía haciendo referencia a la proporción: que el producto debido a una fracción guarda la misma proporción con la cosa multiplicada que la fracción con la unidad. Pero el erudito no está satisfecho y el maestro continúa diciendo: "Si multiplico por más de uno, la cosa aumenta; si la tomo una sola vez, no cambia, y si la tomo menos de una vez, no puede ser tanto como antes. Entonces, viendo que una fracción es menor que uno, si multiplico por una fracción, se sigue que la tomo menos de una vez". A lo que el erudito responde: "Señor, le agradezco mucho por esta razón, y confío en que entiendo la cosa".
El hecho es que incluso en aritmética los dos procesos de multiplicación y división se generalizan en una multiplicación común; y la dificultad consiste en pasar de la idea original de multiplicación a la idea generalizada de tensor , idea que incluye tanto comprimir la magnitud como estirarla. Sea un número entero; el siguiente paso es obtener la idea del recíproco de , no como sino simplemente como . Cuando y se componen obtenemos la idea de fracción racional; porque en general no se reducirá a un número ni al recíproco de un número.
Supongamos, sin embargo, que pasamos por alto esta objeción: ¿cómo establece Peacock las bases para el álgebra general? La llama álgebra simbólica, y pasa del álgebra aritmética al álgebra simbólica de la siguiente manera: "El álgebra simbólica adopta las reglas del álgebra aritmética pero elimina por completo sus restricciones; así, la sustracción simbólica difiere de la misma operación en álgebra aritmética en que es posible para todas las relaciones de valor de los símbolos o expresiones empleadas. Todos los resultados del álgebra aritmética que se deducen mediante la aplicación de sus reglas, y que son generales en forma aunque particulares en valor, son resultados igualmente del álgebra simbólica donde son generales en valor así como en forma; así, el producto de y que es cuando y son números enteros y, por lo tanto, generales en forma aunque particulares en valor, será su producto igualmente cuando y son generales en valor así como en forma; la serie para determinada por los principios del álgebra aritmética cuando es cualquier número entero, si se muestra en una forma general, sin referencia a un término final , puede mostrarse sobre el mismo principio para "la serie equivalente para cuando es general tanto en forma como en valor".
El principio aquí indicado por medio de ejemplos fue llamado por Peacock " principio de la permanencia de las formas equivalentes ", y en la página 59 del Álgebra simbólica se enuncia así: "Cualesquiera que sean las formas algebraicas equivalentes cuando los símbolos son generales en forma, pero específicos en valor, serán equivalentes igualmente cuando los símbolos sean generales en valor así como en forma".
Por ejemplo, sea , , , denotar cualquier número entero, pero sujeto a las restricciones de que es menor que , y menor que ; entonces se puede demostrar aritméticamente que . El principio de Peacock dice que la forma del lado izquierdo es equivalente a la forma del lado derecho, no sólo cuando se eliminan dichas restricciones de ser menor, sino cuando , , , denotan el símbolo algebraico más general. Significa que , , , pueden ser fracciones racionales, o irracionales, o cantidades imaginarias, o incluso operadores como . La equivalencia no se establece por medio de la naturaleza de la cantidad denotada; se supone que la equivalencia es verdadera, y luego se intenta encontrar las diferentes interpretaciones que se pueden dar al símbolo.
No es difícil ver que el problema que tenemos ante nosotros involucra el problema fundamental de una lógica racional o teoría del conocimiento; a saber, cómo podemos ascender desde verdades particulares a verdades más generales. Si , , , denotan números enteros, de los cuales es menor que y menor que , entonces .
En primer lugar, se ve que las restricciones anteriores pueden eliminarse y, aun así, la ecuación anterior se mantiene. Pero el antecedente es todavía demasiado estrecho; el verdadero problema científico consiste en especificar el significado de los símbolos que, y sólo ellos, admitirán que las formas sean iguales. No se trata de encontrar "algunos significados", sino el "significado más general", que permita que la equivalencia sea verdadera. Examinemos algunos otros casos; encontraremos que el principio de Peacock no es una solución a la dificultad; el gran proceso lógico de generalización no puede reducirse a un procedimiento tan fácil y arbitrario. Cuando , , denotan números enteros, se puede demostrar que .
Según Peacock, la forma de la izquierda siempre debe ser igual a la forma de la derecha, y los significados de , , se encuentran por interpretación. Supongamos que toma la forma de la cantidad inconmensurable , la base del sistema natural de logaritmos . Un número es una forma degradada de una cantidad compleja y una cantidad compleja es una forma degradada de un cuaternión ; en consecuencia, un significado que puede asignarse a y es el de cuaternión. El principio de Peacock nos llevaría a suponer que , y denotan cuaterniones; pero eso es precisamente lo que niega William Rowan Hamilton , el inventor de la generalización de los cuaterniones. Hay razones para creer que estaba equivocado y que las formas siguen siendo equivalentes incluso bajo esa generalización extrema de y ; pero el punto es este: no es una cuestión de definición convencional y verdad formal; es una cuestión de definición objetiva y verdad real. Dejemos que los símbolos tengan el significado prescrito, ¿se mantiene o no la equivalencia? Y si no es así, ¿cuál es la forma superior o más compleja que asume la equivalencia? ¿O acaso existe tal forma de equivalencia?
Políticamente, George Peacock era un Whig . [10] Se casó con Frances Elizabeth, la hija de William Selwyn . No tuvieron hijos.
Su último acto público fue asistir a una reunión de la comisión de reforma universitaria. Murió en Ely el 8 de noviembre de 1858, a los 68 años de edad, y fue enterrado en el cementerio de Ely.
