Álgebra exterior

Álgebra de productos exteriores/cuña

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n -dimensional (por ejemplo, n - paralelotopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por la de su límite dimensional ( n − 1) y de qué lado está el interior. ^{[1] [2]}

En matemáticas, el álgebra exterior o álgebra de Grassmann de un espacio vectorial es un álgebra asociativa que contiene cuál tiene un producto, llamado producto exterior o producto de cuña y denotado con , de modo que para cada vector en el álgebra exterior lleva el nombre de Hermann Grassmann , ^{[ 3]} y los nombres del producto provienen del símbolo "cuña" y del hecho de que el producto de dos elementos están "afuera" ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

El producto de cuña de vectores se llama cuchilla de grado o cuchilla . El producto cuña se introdujo originalmente como una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas , volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores: la magnitud de una hoja de 2 es el área del paralelogramo definida por y y, de manera más general, la magnitud de una hoja es el (hiper)volumen del paralelotopo definido por los vectores constituyentes. La propiedad alternante que implica una propiedad sesgada-simétrica que, y más en general, cualquier hoja cambia de signo cada vez que se intercambian dos de sus vectores constituyentes, correspondiente a un paralelotopo de orientación opuesta. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\wedge w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v,}$

El álgebra exterior completa contiene objetos que no son en sí mismos hojas, sino combinaciones lineales de hojas; una suma de láminas de grado homogéneo se denomina vector k , mientras que una suma más general de láminas de grado arbitrario se denomina multivector . ^[4] El tramo lineal de las -álabes se llama -ésima potencia exterior de El álgebra exterior es la suma directa de las -ésimas potencias exteriores de y esto hace que el álgebra exterior sea un álgebra graduada . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V,}$

El álgebra exterior es universal en el sentido de que toda ecuación que relaciona elementos de en el álgebra exterior también es válida en toda álgebra asociativa que contenga y en la que el cuadrado de cada elemento de sea cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

La definición del álgebra exterior se puede ampliar para espacios construidos a partir de espacios vectoriales, como campos vectoriales y funciones cuyo dominio es un espacio vectorial. Además, el campo de los escalares puede ser cualquier campo (sin embargo, para los campos de la característica dos, la condición anterior debe reemplazarse por la que sea equivalente en otras características). De manera más general, el álgebra exterior se puede definir para módulos sobre un anillo conmutativo . En particular, el álgebra de formas diferenciales en variables es un álgebra exterior sobre el anillo de funciones suaves en variables. ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v\wedge w+w\wedge v=0,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos motivadores

Áreas en el avión.

El área de un paralelogramo en términos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vértices.

El espacio vectorial euclidiano bidimensional es un espacio vectorial real equipado con una base que consta de un par de vectores unitarios ortogonales. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Suponer que

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}}$

son un par de vectores dados en , escritos en componentes. Existe un paralelogramo único que tiene y como dos de sus lados. El área de este paralelogramo viene dada por la fórmula determinante estándar : ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\text{Area}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

Consideremos ahora el producto exterior de y : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

donde el primer paso usa la ley distributiva para el producto exterior, y el último usa el hecho de que el producto exterior es un mapa alterno , y en particular (El hecho de que el producto exterior sea un mapa alterno también fuerza ) Tenga en cuenta que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz [ v w ] . El hecho de que esto pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que v y w pueden orientarse en sentido antihorario o horario como los vértices del paralelogramo que definen. Tal área se llama área con signo del paralelogramo: el valor absoluto del área con signo es el área ordinaria y el signo determina su orientación. ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$

El hecho de que este coeficiente sea el área firmada no es una coincidencia. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debe estar relacionado con el área firmada si se intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si A( v , w ) denota el área con signo del paralelogramo cuyo par de vectores v y w forman dos lados adyacentes, entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. A( r v , s w ) = rs A( v , w ) para cualquier número real r y s , ya que al reescalar cualquiera de los lados se reescala el área en la misma cantidad (y al invertir la dirección de uno de los lados se invierte la orientación del paralelogramo).
2. A( v , v ) = 0 , ya que el área del paralelogramo degenerado determinada por v (es decir, un segmento de línea ) es cero.
3. A( w , v ) = −A( v , w ) , ya que intercambiar los roles de v y w invierte la orientación del paralelogramo.
4. A( v + r w , w ) = A( v , w ) para cualquier número real r , ya que sumar un múltiplo de w a v no afecta ni la base ni la altura del paralelogramo y, en consecuencia, preserva su área.
5. A( e ₁ , e ₂ ) = 1 , ya que el área del cuadrado unitario es uno.

El producto cruz ( vector azul ) en relación con el producto exterior ( paralelogramo azul claro ). La longitud del producto vectorial es igual a la longitud del vector unitario paralelo ( rojo ), ya que el tamaño del producto exterior es igual al tamaño del paralelogramo de referencia ( rojo claro ).

Con excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el de lados e ₁ y e ₂ ). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación de área independiente de la base . ^[5]

Productos cruzados y triples.

Para los vectores en R ³ , el álgebra exterior está estrechamente relacionada con el producto cruzado y el producto triple . Usando la base estándar { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , el producto exterior de un par de vectores

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

y

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

es

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

donde { e ₁ ∧ e ₂ , e ₃ ∧ e _​​1 , e ₂ ∧ e ₃ } es la base del espacio tridimensional ⋀ ² ( R ³ ). Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del producto cruzado de vectores en tres dimensiones, la única diferencia es que el producto exterior no es un vector ordinario, sino un bivector .

Trayendo un tercer vector

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

el producto exterior de tres vectores es

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

donde e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ es el vector base para el espacio unidimensional ⋀ ³ ( R ³ ). El coeficiente escalar es el triple producto de los tres vectores.

El producto cruz y el producto triple en tres dimensiones admiten interpretaciones tanto geométricas como algebraicas. El producto vectorial u × v se puede interpretar como un vector que es perpendicular tanto a u como a v y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinada por los dos vectores. También se puede interpretar como el vector formado por los menores de la matriz con columnas u y v . El triple producto de u , v y w es geométricamente un volumen (con signo). Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas u , v y w . El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares. De hecho, en presencia de una base ortonormal orientada positivamente , el producto exterior generaliza estas nociones a dimensiones superiores.

Definicion formal

El álgebra exterior de un espacio vectorial sobre un campo se define como el álgebra cociente del álgebra tensorial por el ideal bilateral generado por todos los elementos de la forma tal que . ^[6] Simbólicamente, ${\displaystyle \bigwedge (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\otimes x}$ ${\displaystyle x\in V}$

${\displaystyle \bigwedge (V):=T(V)/I.\,}$

El producto exterior de dos elementos de está definido por ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \bigwedge (V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.}$

Propiedades algebraicas

Producto alternativo

El producto exterior es por construcción alternada sobre elementos de , lo que significa que para todos por la construcción anterior. De ello se deduce que el producto también es anticonmutativo sobre elementos de , por suponer que , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\wedge x=0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,y\in V}$

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

por eso

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

De manera más general, si es una permutación de los números enteros , y , , ..., son elementos de , se deduce que ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [1,\dots ,k]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

¿Dónde está la firma de la permutación ? ^[7] ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

En particular, si para algunos , entonces también se cumple la siguiente generalización de la propiedad alternante: ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Junto con la propiedad distributiva del producto exterior, una generalización adicional es que una condición necesaria y suficiente para ser un conjunto de vectores linealmente dependiente es que ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

poder exterior

La k- ésima potencia exterior de , denotada , es el subespacio vectorial de abarcado por elementos de la forma ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

Si , entonces se dice que es un k -vector . Si, además, puede expresarse como producto exterior de elementos de , entonces se dice que es descomponible (o  simple , por algunos autores; o una  cuchilla , por otros). Aunque los -vectores son descomponibles , no todos los elementos de son descomponibles. Por ejemplo, dado con una base , el siguiente vector de 2 no es descomponible: ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

Base y dimensión

Si la dimensión de es y es una base para , entonces el conjunto ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

es una base para . La razón es la siguiente: dado cualquier producto exterior de la forma ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

cada vector se puede escribir como una combinación lineal de los vectores base ; utilizando la bilinealidad del producto exterior, esto se puede expandir a una combinación lineal de productos exteriores de esos vectores base. Cualquier producto exterior en el que el mismo vector base aparezca más de una vez es cero; cualquier producto exterior en el que los vectores base no aparezcan en el orden correcto se puede reordenar, cambiando el signo cada vez que dos vectores base cambian de lugar. En general, los coeficientes resultantes de los k -vectores de base se pueden calcular como los menores de la matriz que describe los vectores en términos de la base . ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Contando los elementos base, la dimensión de es igual a un coeficiente binomial : ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)={\binom {n}{k}},}$

donde es la dimensión de los vectores y es el número de vectores en el producto. El coeficiente binomial produce el resultado correcto, incluso en casos excepcionales; en particular, para . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=\{0\}}$ ${\displaystyle k>n}$

Cualquier elemento del álgebra exterior se puede escribir como una suma de k -vectores . Por tanto, como espacio vectorial el álgebra exterior es una suma directa

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

(donde, por convención, , el campo subyacente a , y ), y por lo tanto su dimensión es igual a la suma de los coeficientes binomiales, que es . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Rango de un k -vector

Si , entonces es posible expresar como una combinación lineal de k -vectores descomponibles : ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

donde cada uno es descomponible, digamos ${\displaystyle \alpha ^{(i)}}$

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

El rango del k -vector es el número mínimo de k -vectores descomponibles en tal expansión de . Esto es similar a la noción de rango tensorial . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

El rango es particularmente importante en el estudio de 2 vectores (Sternberg 1964, §III.6) (Bryant et al. 1991). El rango de un 2 vectores se puede identificar con la mitad del rango de la matriz de coeficientes de en una base. Por lo tanto, si es una base para , entonces puede expresarse únicamente como ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

donde (la matriz de coeficientes es asimétrica ). Por tanto , el rango de la matriz es par y es el doble del rango de la forma . ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \alpha }$

En la característica 0, el vector 2 tiene rango si y sólo si ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$y ${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Estructura graduada

El producto exterior de un k -vector con un p -vector es un -vector, invocando una vez más la bilinealidad. En consecuencia, la descomposición por suma directa del apartado anterior ${\displaystyle (k+p)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

le da al álgebra exterior la estructura adicional de un álgebra graduada , es decir

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).}$

Además, si K es el campo base, tenemos

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$y ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

El producto exterior se clasifica como anticonmutativo, lo que significa que si y , entonces ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior, Bourbaki (1989) estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como las del álgebra exterior de un módulo graduado (un módulo que ya lleva su propia gradación).

propiedad universal

Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. De manera informal, la multiplicación en se realiza manipulando símbolos e imponiendo una ley distributiva , una ley asociativa y usando la identidad para v ∈ V. Formalmente, es el álgebra "más general" en la que estas reglas se cumplen para la multiplicación, en el sentido de que cualquier K -álgebra asociativa unital que contenga V con multiplicación alterna en V debe contener una imagen homomórfica de . En otras palabras, el álgebra exterior tiene la siguiente propiedad universal : ^[8] ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Dada cualquier K -álgebra A asociativa unital y cualquier K - aplicación lineal tal que para cada v en V , entonces existe precisamente un homomorfismo de álgebra unital tal que j ( v ) = f ( i ( v )) para toda v en V ( aquí i es la inclusión natural de V en , ver arriba). ${\displaystyle j:V\to A}$ ${\displaystyle j(v)j(v)=0}$ ${\displaystyle f:{\textstyle \bigwedge }(V)\to A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Propiedad universal del álgebra exterior.

Para construir el álgebra más general que contiene V y cuya multiplicación es alterna en V , es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contiene V , el álgebra tensorial T ( V ) , y luego hacer cumplir la propiedad alterna tomando una adecuada cociente . Por tanto, tomamos el ideal bilateral I en T ( V ) generado por todos los elementos de la forma v ⊗ v para v en V , y lo definimos como el cociente ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)\,/\,I}$

(y use ∧ como símbolo para la multiplicación en ). Entonces es sencillo demostrar que contiene V y satisface la propiedad universal anterior. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Como consecuencia de esta construcción, la operación de asignar a un espacio vectorial V su álgebra exterior es un funtor de la categoría de espacios vectoriales a la categoría de álgebras. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

En lugar de definir primero y luego identificar las potencias exteriores como ciertos subespacios, alternativamente se pueden definir los espacios primero y luego combinarlos para formar el álgebra . Este enfoque se utiliza a menudo en geometría diferencial y se describe en la siguiente sección. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Generalizaciones

Dado un anillo conmutativo y un módulo , podemos definir el álgebra exterior tal como se indicó anteriormente, como un cociente adecuado del álgebra tensorial . Satisfará la propiedad universal análoga. Muchas de las propiedades de también requieren que sea un módulo proyectivo . Cuando se utiliza dimensionalidad finita, las propiedades requieren además que sean finitamente generadas y proyectivas. En Bourbaki (1989) se pueden encontrar generalizaciones a las situaciones más comunes. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Las álgebras exteriores de haces de vectores se consideran con frecuencia en geometría y topología. No existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del álgebra exterior de haces de vectores de dimensión finita y las del álgebra exterior de módulos proyectivos generados finitamente, según el teorema de Serre-Swan . Se pueden definir álgebras exteriores más generales para haces de módulos.

Álgebra de tensores alternos

Para un campo de característica no 2, ^[9] el álgebra exterior de un espacio vectorial puede identificarse canónicamente con el subespacio vectorial de que consta de tensores antisimétricos . Para la característica 0 (o superior a ), el espacio vectorial de tensores antisimétricos lineales es transversal al ideal , por lo que es una buena opción para representar el cociente. Pero para una característica distinta de cero, el espacio vectorial de los tensores antisimétricos lineales podría no ser transversal al ideal (en realidad, para , el espacio vectorial de los tensores antisimétricos lineales está contenido en ); sin embargo, transversal o no, se puede definir un producto en este espacio de manera que el álgebra resultante sea isomorfa al álgebra exterior: en el primer caso la elección natural para el producto es simplemente el producto cociente (usando la proyección disponible), en el En el segundo caso, este producto debe modificarse ligeramente como se indica a continuación (según la configuración de Arnold), pero de manera que el álgebra permanezca isomorfa con el álgebra exterior, es decir, el cociente de por el ideal generado por los elementos de la forma . Por supuesto, para característica (o mayor que la dimensión del espacio vectorial), se podría usar una u otra definición del producto, ya que las dos álgebras son isomorfas (ver VI Arnold o Kobayashi-Nomizu). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \dim V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\geq \operatorname {char} K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\otimes x}$ ${\displaystyle 0}$

Sea el espacio de tensores de grado homogéneos . Esto está abarcado por tensores descomponibles. ${\displaystyle \mathrm {T} ^{r}(V)}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

La antisimetrización (o, a veces, la simetrización sesgada ) de un tensor descomponible se define por

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

y, cuando (para un campo característico distinto de cero podría ser 0): ${\displaystyle r!\neq 0}$ ${\displaystyle r!}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})}$

donde la suma se toma sobre el grupo simétrico de permutaciones de los símbolos . Esto se extiende por linealidad y homogeneidad a una operación, también denotada por y , en el álgebra tensorial completa . ${\displaystyle \{1,\dots ,r\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} =r!\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} .}$

Tal que, cuando se define, es la proyección del álgebra exterior (cociente) sobre el subespacio tensorial alterno homogéneo r. Por otro lado, la imagen es siempre el subespacio graduado del tensor alterno (aún no es un álgebra, ya que el producto aún no está definido), denotado . Este es un subespacio vectorial de y hereda la estructura de un espacio vectorial graduado a partir de ese momento . Además, el núcleo de es precisamente el subconjunto homogéneo del ideal , o el núcleo de es . Cuando está definido, lleva un producto graduado asociativo definido por (igual que el producto cuña) ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathrm {T} (V))}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(r)}}$ ${\displaystyle I^{(r)}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

${\displaystyle t\wedge s=t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

Suponiendo que tiene la característica 0, como es un suplemento de in , con el producto dado anteriormente, existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

Cuando la característica del campo es distinta de cero, hará lo que hizo antes, pero el producto no se puede definir como se indicó anteriormente. En tal caso, el isomorfismo aún se mantiene, a pesar de no ser un complemento del ideal , pero entonces, el producto debe modificarse como se indica a continuación ( producto, configuración de Arnold). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dot {\wedge }}}$

Finalmente, siempre obtenemos isomórfico con , pero el producto podría (o debería) elegirse de dos maneras (o sólo una). En realidad, el producto podría elegirse de muchas maneras, reescalándolo en espacios homogéneos como para una secuencia arbitraria en el campo, siempre que la división tenga sentido (esto es tal que el producto redefinido también sea asociativo, es decir, defina un álgebra sobre ) . También tenga en cuenta que la definición del producto interior debe cambiarse en consecuencia para mantener su propiedad de derivación sesgada. ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle c(r+p)/c(r)c(p)}$ ${\displaystyle c(r)}$ ${\displaystyle A(V)}$

Notación de índice

Supongamos que V tiene dimensión finita n y que se da una base e ₁ , ..., e _n de V. Entonces cualquier tensor alterno t ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V ) se puede escribir en notación de índice con la convención de suma de Einstein como

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

donde t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r} es completamente antisimétrico en sus índices.

El producto exterior de dos tensores alternos t y s de rangos r y p viene dado por

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Los componentes de este tensor son precisamente la parte sesgada de los componentes del producto tensorial s ⊗ t , denotada por corchetes en los índices:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

El producto interior también puede describirse en notación de índice de la siguiente manera. Sea un tensor de rango antisimétrico . Entonces, para α ∈ V ^∗ , es un tensor alterno de rango , dado por ${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$ ${\displaystyle r-1}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

donde n es la dimensión de V .

Dualidad

Operadores alternos

Dados dos espacios vectoriales V y X y un número natural k , un operador alterno de V ^k a X es un mapa multilineal

${\displaystyle f:V^{k}\to X}$

tal que siempre que v ₁ , ..., v _k sean vectores linealmente dependientes en V , entonces

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

El mapa

${\displaystyle w:V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V),}$

que asocia a vectores a partir de su producto exterior, es decir, su correspondiente -vector, también es alterno. De hecho, este mapa es el operador alterno "más general" definido, dado que cualquier otro operador alterno existe un mapa lineal único con esta propiedad universal caracteriza el espacio y puede servir como su definición. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V^{k};}$ ${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X,}$ ${\displaystyle \phi :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow X}$ ${\displaystyle f=\phi \circ w.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

Formas multilineales alternas

Interpretación geométrica para el producto exterior de n 1-formas ( ε , η , ω ) para obtener una n -forma ("malla" de superficies de coordenadas , aquí planos), ^[1] para n = 1, 2, 3 . Las "circulaciones" muestran orientación . ^{[10] [11]}

La discusión anterior se especializa en el caso en que , el campo base. En este caso una función multilineal alterna ${\displaystyle X=K}$

${\displaystyle f:V^{k}\to K}$

se llama forma multilineal alterna . El conjunto de todas las formas multilineales alternas es un espacio vectorial, ya que la suma de dos de esas aplicaciones, o el producto de dicha aplicación por un escalar, vuelve a ser alterna. Por la propiedad universal de la potencia exterior, el espacio de formas alternas de grado es naturalmente isomorfo con el espacio vectorial dual . Si es de dimensión finita, entonces este último es naturalmente isomorfo ^{[ se necesita aclaración ]} para . En particular, si es -dimensional, la dimensión del espacio de aplicaciones alternas desde a es el coeficiente binomial . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}\left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{k}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

Bajo tal identificación, el producto exterior toma una forma concreta: produce un nuevo mapa antisimétrico a partir de dos dados. Supongamos que ω  : V ^k → K y η  : V ^m → K son dos aplicaciones antisimétricas. Como en el caso de los productos tensoriales de aplicaciones multilineales, el número de variables de su producto exterior es la suma de los números de sus variables. Dependiendo de la elección de identificación de elementos de poder exterior con formas multilineales, el producto exterior se define como

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

o como

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

donde, si la característica del campo base es 0, la alternancia Alt de un mapa multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por signos sobre todas las permutaciones de sus variables: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Cuando el campo tiene característica finita , una versión equivalente de la segunda expresión sin factoriales ni constantes está bien definida: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

donde aquí Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} es el subconjunto de ( k , m ) barajados : permutaciones σ del conjunto {1, 2, ..., k + m } tales que σ (1) < σ (2 ) < ⋯ < σ ( k ) , y σ ( k + 1 ) < σ ( k + 2 ) < ... < σ ( k + m ) . Como esto puede parecer muy específico y afinado, una versión sin formato equivalente consiste en sumar en la fórmula anterior las permutaciones en clases laterales izquierdas de S _{k + m} / ( S _k × S _m ) .

Producto interior

Supongamos que es de dimensión finita. Si denota el espacio dual al espacio vectorial , entonces, para cada uno , es posible definir una antiderivación en el álgebra , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

Esta derivación se denomina producto interior con , o a veces operador de inserción , o contracción por . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Suponer que . Entonces es una aplicación multilineal de a , por lo que se define por sus valores en el producto cartesiano k veces mayor . Si u ₁ , u ₂ , ..., u _{k −1} son elementos de , entonces defina ${\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

Además, let always es un escalar puro (es decir, perteneciente a ). ${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)}$

Caracterización axiomática y propiedades.

El producto interior satisface las siguientes propiedades:

1. Para todos y cada uno (donde por convención ), ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{-1}(V)=\{0\}}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

2. Si es un elemento de ( ), entonces es el emparejamiento dual entre elementos de y elementos de . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }v=\alpha (v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
3. Para cada uno , hay una derivación graduada de grado −1: ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }(a\wedge b)=(\iota _{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (\iota _{\alpha }b).}$

Estas tres propiedades son suficientes para caracterizar el producto interior así como para definirlo en el caso general de dimensión infinita.

Otras propiedades del producto interior incluyen:

• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=-\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

Dualidad de Hodge

Supongamos que tiene dimensión finita . Entonces el producto interior induce un isomorfismo canónico de espacios vectoriales ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V)}$

por la definición recursiva

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

En el entorno geométrico, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior (que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina forma de volumen (o forma de orientación , aunque este término a veces puede generar ambigüedad). El nombre de forma de orientación proviene del hecho de que la elección del elemento superior preferido determina la orientación de todo el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida , el isomorfismo viene dado explícitamente por ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V):\alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

Si, además de una forma de volumen, el espacio vectorial V está equipado con un producto interno que se identifica con , entonces el isomorfismo resultante se llama operador estrella de Hodge , que asigna un elemento a su dual de Hodge : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V).}$

La composición de consigo mismo se mapea y es siempre un múltiplo escalar del mapa de identidad. En la mayoría de las aplicaciones, la forma del volumen es compatible con el producto interior en el sentido de que es un producto exterior de base ortonormal de . En este caso, ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

donde id es el mapeo de identidad y el producto interno tiene una firma métrica ( p , q ) - p más y q menos.

Producto Interno

Para un espacio de dimensión finita, un producto interno (o un producto interno pseudoeuclidiano ) define un isomorfismo de con , y por lo tanto también un isomorfismo de con . El emparejamiento entre estos dos espacios también toma la forma de un producto interior. En vectores descomponibles, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V{\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

el determinante de la matriz de productos internos. En el caso especial v _i = w _i , el producto interno es la norma cuadrada del k -vector, dada por el determinante de la matriz de Gramian (⟨ v _i , v _j ⟩) . Esto luego se extiende bilinealmente (o sesquilinealmente en el caso complejo) a un producto interno no degenerado en Si e _i , i = 1, 2, ..., n , forman una base ortonormal de , entonces los vectores de la forma ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V).}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

constituyen una base ortonormal para , un enunciado equivalente a la fórmula de Cauchy-Binet . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

Con respecto al producto interior, la multiplicación exterior y el producto interior son mutuamente contiguos. Específicamente, para , y , ${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle x\in V}$

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

donde x ^♭ ∈ V ^∗ es el isomorfismo musical , el funcional lineal definido por

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

para todos . Esta propiedad caracteriza completamente el producto interior en el álgebra exterior. ${\displaystyle y\in V}$

De hecho, de manera más general para , y , la iteración de las propiedades adjuntas anteriores da ${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-l}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

donde ahora está el vector dual definido por ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}\left(V^{*}\right)\simeq {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

para todos . ${\displaystyle \mathbf {y} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$

Estructura biálgebra

Existe una correspondencia entre el dual graduado del álgebra graduada y las formas multilineales alternas en . El álgebra exterior (así como el álgebra simétrica ) hereda una estructura biálgebra, y, de hecho, una estructura de álgebra de Hopf , del álgebra tensorial . Consulte el artículo sobre álgebras tensoriales para obtener un tratamiento detallado del tema. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$

El producto exterior de las formas multilineales definidas anteriormente es dual a un coproducto definido en , dando la estructura de una coalgebra . El coproducto es una función lineal , que viene dada por ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

sobre elementos . El símbolo representa el elemento unitario del campo . Recuerde esto , para que lo anterior realmente se encuentre en . Esta definición del coproducto se eleva al espacio completo mediante homomorfismo (lineal). La forma correcta de este homomorfismo no es la que uno podría escribir ingenuamente, sino que debe ser la que se define cuidadosamente en el artículo de coalgebra . En este caso se obtiene ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\simeq {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\subseteq {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

Ampliando esto en detalle, se obtiene la siguiente expresión sobre elementos descomponibles:

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

donde la segunda suma se toma sobre todos los ( p , k − p ) -shuffles . Por convención, se toma que Sh( k, 0) y Sh(0, k ) son iguales a {id: {1, ..., k } → {1, ..., k }}. También es conveniente tomar los productos de cuña puros e igualarlos a 1 para p = 0 y p = k , respectivamente (el producto vacío en ). La mezcla se deriva directamente del primer axioma de una coálgebra: el orden relativo de los elementos se conserva en la mezcla aleatoria: la mezcla aleatoria simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha. . ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (p)}}$ ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (k)}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle x_{k}}$

Observe que el coproducto conserva la calificación del álgebra. Extendiéndose al espacio completo que uno tiene. ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(V),}$

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

El símbolo tensorial ⊗ utilizado en esta sección debe entenderse con cierta precaución: no es el mismo símbolo tensor que el que se utiliza en la definición del producto alterno. Intuitivamente, tal vez sea más fácil pensar que es simplemente otro producto tensorial, pero diferente: sigue siendo (bi)lineal, como deberían ser los productos tensoriales, pero es el producto apropiado para la definición de biálgebra, el que es decir, para crear el objeto . Cualquier duda persistente puede disiparse reflexionando sobre las igualdades (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) y ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w , que se derivan de la definición de la coalgebra, a diferencia de manipulaciones ingenuas que involucran los símbolos del tensor y la cuña. Esta distinción se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre álgebras tensoriales . Aquí el problema es mucho menor, ya que el producto alterno corresponde claramente a la multiplicación en el álgebra exterior, dejando el símbolo libre para su uso en la definición de la biálgebra. En la práctica, esto no presenta ningún problema particular, siempre y cuando se evite la trampa fatal de reemplazar sumas alternas de por el símbolo de la cuña, con una excepción. Se puede construir un producto alterno a partir de , en el entendido de que funciona en un espacio diferente. Inmediatamente a continuación se da un ejemplo: el producto alterno para el espacio dual se puede dar en términos del coproducto. La construcción de la bialgebra aquí es casi exactamente paralela a la construcción del artículo de álgebra tensorial , excepto por la necesidad de seguir correctamente los signos alternos del álgebra exterior. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$

En términos del coproducto, el producto exterior en el espacio dual es simplemente el dual graduado del coproducto:

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

donde el producto tensor en el lado derecho es de aplicaciones lineales multilineales (extendidas por cero en elementos de grado homogéneo incompatible: más precisamente, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , donde está la unidad, como se define ahora). ${\displaystyle \varepsilon }$

La unidad es el homomorfismo que devuelve el componente de grado 0 de su argumento. El coproducto y la unidad, junto con el producto exterior, definen la estructura de una biálgebra sobre el álgebra exterior. ${\displaystyle \varepsilon :{\textstyle \bigwedge }(V)\to K}$

Con una antípoda definida sobre elementos homogéneos por , el álgebra exterior es además un álgebra de Hopf . ^[12] ${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$

Funcionalidad

Supongamos que y son un par de espacios vectoriales y es un mapa lineal . Entonces, por la propiedad universal, existe un homomorfismo único de álgebras graduadas ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

tal que

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(W).}$

En particular, conserva un grado homogéneo. Los k -componentes graduados de están dados en elementos descomponibles por ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)}$ ${\textstyle \bigwedge \left(f\right)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

Dejar

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W).}$

Los componentes de la transformación relativos a una base de y es la matriz de menores de . En particular, si y es de dimensión finita , entonces es una aplicación de un espacio vectorial unidimensional a sí mismo y, por lo tanto, está dada por un escalar: el determinante de . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(f)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle f}$

Exactitud

Si es una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales, entonces ${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

es una secuencia exacta de espacios vectoriales graduados, ^[13] tal como está

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[14]

sumas directas

En particular, el álgebra exterior de una suma directa es isomorfa al producto tensorial de las álgebras exteriores:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

Este es un isomorfismo graduado; es decir,

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!q}(W).}$

En mayor general, para una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales existe una filtración natural ${\textstyle 0\to U\mathrel {\overset {f}{\to }} V\mathrel {\overset {g}{\to }} W\to 0,}$

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

donde for está abarcado por elementos de la forma for y Los cocientes correspondientes admiten un isomorfismo natural ${\displaystyle F^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k+1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}}$ ${\displaystyle u_{i}\in U}$ ${\displaystyle v_{i}\in V.}$

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{\!k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(W)}$dada por ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p}).}$

En particular, si U es unidimensional, entonces

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W)\to 0}$

es exacta, y si W es unidimensional entonces

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(U)\otimes W\to 0}$

es exacto. ^[15]

Aplicaciones

Volumen orientado en espacio afín

El entorno natural para el volumen (orientado) -dimensional y el álgebra exterior es el espacio afín . Ésta es también la conexión íntima entre el álgebra exterior y las formas diferenciales , ya que para integrar necesitamos un objeto 'diferencial' para medir el volumen infinitesimal. Si es un espacio afín sobre el espacio vectorial y una colección ( simplex ) de puntos ordenados , podemos definir su volumen dimensional orientado como el producto exterior de vectores (usando concatenación para referirse al vector de desplazamiento de un punto a ); si se cambia el orden de los puntos, el volumen orientado cambia en un signo, según la paridad de la permutación. En el espacio -dimensional, el volumen de cualquier simplex -dimensional es un múltiplo escalar de cualquier otro. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{0}A_{1}\wedge A_{0}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{0}A_{k}={}}$ ${\displaystyle (-1)^{j}A_{j}A_{0}\wedge A_{j}A_{1}\wedge A_{j}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{j}A_{k}}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La suma de las áreas orientadas en dimensiones de los símplex límite de un símplex de dimensiones es cero, como ocurre con la suma de los vectores alrededor de un triángulo o los triángulos orientados que delimitan el tetraedro en la sección anterior. ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$

La estructura del espacio vectorial generaliza la suma de vectores en : tenemos y de manera similar una k -blade es lineal en cada factor. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\wedge v=u_{1}\wedge v+u_{2}\wedge v}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{k}}$

Álgebra lineal

En aplicaciones al álgebra lineal , el producto exterior proporciona una manera algebraica abstracta para describir el determinante y los menores de una matriz . Por ejemplo, es bien sabido que el determinante de una matriz cuadrada es igual al volumen del paralelotopo cuyos lados son las columnas de la matriz (con un signo para seguir la orientación). Esto sugiere que el determinante puede definirse en términos del producto exterior de los vectores columna. Asimismo, los k × k menores de una matriz se pueden definir observando los productos exteriores de los vectores columna elegidos k a la vez. Estas ideas pueden extenderse no sólo a matrices sino también a transformaciones lineales : el determinante de una transformación lineal es el factor por el cual escala el volumen orientado de cualquier paralelotopo de referencia dado. Entonces, el determinante de una transformación lineal se puede definir en términos de lo que la transformación le hace a la potencia exterior superior. La acción de una transformación sobre los poderes exteriores menores proporciona una base independiente para hablar de los poderes menores de la transformación.

Física

En física, muchas cantidades se representan naturalmente mediante operadores alternos. Por ejemplo, si el movimiento de una partícula cargada se describe mediante vectores de velocidad y aceleración en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, entonces la normalización del vector de velocidad requiere que la fuerza electromagnética sea un operador alterno en la velocidad. Sus seis grados de libertad se identifican con los campos eléctrico y magnético.

Campo electromagnetico

En las teorías de la relatividad de Einstein , el campo electromagnético generalmente se da como una forma diferencial de 2 en un espacio de 4 o como el campo tensor alterno equivalente, el tensor electromagnético . Entonces o la identidad de Bianchi equivalente . Nada de esto requiere una métrica. ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle F_{ij}=A_{[i,j]}=A_{[i;j]},}$ ${\displaystyle dF=ddA=0}$ ${\displaystyle F_{[ij,k]}=F_{[ij;k]}=0.}$

Agregar la métrica de Lorentz y una orientación proporciona el operador estrella de Hodge y, por lo tanto, permite definir la divergencia tensorial equivalente donde ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle J={\star }d{\star }F}$ ${\displaystyle J^{i}=F_{,j}^{ij}=F_{;j}^{ij}}$ ${\displaystyle F^{ij}=g^{ik}g^{jl}F_{kl}.}$

Geometría lineal

Los k -vectores descomponibles tienen interpretaciones geométricas: el bivector representa el plano abarcado por los vectores, "ponderado" con un número, dado por el área del paralelogramo orientado con lados y . De manera análoga, el vector 3 representa el espacio 3 extendido ponderado por el volumen del paralelepípedo orientado con bordes , y . ${\displaystyle u\wedge v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\wedge v\wedge w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Geometría proyectiva

Los k -vectores descomponibles corresponden a subespacios lineales k -dimensionales ponderados de . En particular, el Grassmanniano de subespacios k -dimensionales de , denotado , puede identificarse naturalmente con una subvariedad algebraica del espacio proyectivo . Esto se llama incrustación de Plücker , y la imagen de la incrustación puede caracterizarse por las relaciones de Plücker . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ ${\textstyle \mathbf {P} {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}}$

Geometría diferencial

El álgebra exterior tiene aplicaciones notables en geometría diferencial , donde se utiliza para definir formas diferenciales . ^[16] Las formas diferenciales son objetos matemáticos que evalúan la longitud de vectores, áreas de paralelogramos y volúmenes de cuerpos de dimensiones superiores , por lo que pueden integrarse sobre curvas, superficies y variedades de dimensiones superiores de una manera que generalice las integrales de línea y de superficie. Integrales del cálculo. Una forma diferencial en un punto de una variedad diferenciable es una forma multilineal alterna en el espacio tangente en el punto. De manera equivalente, una forma diferencial de grado k es un funcional lineal en la k -ésima potencia exterior del espacio tangente. Como consecuencia, el producto exterior de formas multilineales define un producto exterior natural de formas diferenciales. Las formas diferenciales juegan un papel importante en diversas áreas de la geometría diferencial.

Un enfoque alternativo define formas diferenciales en términos de gérmenes de funciones .

En particular, la derivada exterior le da al álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad la estructura de un álgebra graduada diferencial . La derivada exterior conmuta con retroceso a lo largo de asignaciones suaves entre variedades y, por lo tanto, es un operador diferencial natural . El álgebra exterior de formas diferenciales, equipada con la derivada exterior, es un complejo de cocadenas cuya cohomología se llama cohomología de De Rham de la variedad subyacente y juega un papel vital en la topología algebraica de variedades diferenciables.

Teoría de la representación

En teoría de la representación , el álgebra exterior es uno de los dos functores de Schur fundamentales en la categoría de espacios vectoriales, siendo el otro el álgebra simétrica . Juntas, estas construcciones se utilizan para generar las representaciones irreducibles del grupo lineal general (ver Representación fundamental ).

superespacio

El álgebra exterior sobre los números complejos es el ejemplo arquetípico de superálgebra , que juega un papel fundamental en las teorías físicas relativas a los fermiones y la supersimetría . Un solo elemento del álgebra exterior se llama supernúmero ^[17] o número de Grassmann . El álgebra exterior en sí es entonces sólo un superespacio unidimensional : es sólo el conjunto de todos los puntos del álgebra exterior. La topología en este espacio es esencialmente la topología débil , siendo los conjuntos abiertos los conjuntos de cilindros . Un superespacio de n dimensiones es simplemente el producto de álgebras exteriores. ${\displaystyle n}$

Homología del álgebra de mentiras

Sea un álgebra de Lie sobre un campo , entonces es posible definir la estructura de un complejo de cadenas en el álgebra exterior de . Este es un mapeo lineal ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{\!p+1}(L)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(L)}$

definido en elementos descomponibles por

${\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}$

La identidad de Jacobi se cumple si y sólo si , por lo que ésta es una condición necesaria y suficiente para que un álgebra no asociativa anticonmutativa sea un álgebra de Lie. Además, en ese caso es una cadena compleja con operador de frontera . La homología asociada a este complejo es la homología del álgebra de Lie . ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(L)}$ ${\displaystyle \partial }$

Álgebra homológica

El álgebra exterior es el ingrediente principal en la construcción del complejo de Koszul , objeto fundamental en el álgebra homológica .

Historia

El álgebra exterior fue introducido por primera vez por Hermann Grassmann en 1844 bajo el término general de Ausdehnungslehre , o Teoría de la Extensión . ^[18] Esto se refería más generalmente a una teoría algebraica (o axiomática) de cantidades extendidas y fue uno de los primeros precursores de la noción moderna de espacio vectorial . Saint-Venant también publicó ideas similares de cálculo exterior por las que reivindicaba prioridad sobre Grassmann. ^[19]

El álgebra en sí se construyó a partir de un conjunto de reglas, o axiomas, que capturan los aspectos formales de la teoría de los multivectores de Cayley y Sylvester. Era, pues, un cálculo muy parecido al cálculo proposicional , excepto que se centraba exclusivamente en la tarea de razonamiento formal en términos geométricos. ^[20] En particular, este nuevo desarrollo permitió una caracterización axiomática de la dimensión, una propiedad que anteriormente solo había sido examinada desde el punto de vista de las coordenadas.

La importancia de esta nueva teoría de vectores y multivectores se perdió para los matemáticos de mediados del siglo XIX, ^{[21] hasta que} Giuseppe Peano la examinó minuciosamente en 1888. El trabajo de Peano también permaneció algo oscuro hasta principios de siglo, cuando el tema fue unificado por miembros de la escuela de geometría francesa (notablemente Henri Poincaré , Élie Cartan y Gaston Darboux ) que aplicaron las ideas de Grassmann al cálculo de formas diferenciales .

Poco tiempo después, Alfred North Whitehead , tomando prestadas las ideas de Peano y Grassmann, introdujo su álgebra universal . Esto luego allanó el camino para los desarrollos del álgebra abstracta en el siglo XX al colocar la noción axiomática de un sistema algebraico sobre una base lógica firme.

Ver también

• Álgebra alterna
• Identidades de cálculo exterior
• Álgebra de Clifford , una generalización del álgebra exterior a una forma cuadrática distinta de cero
• álgebra geométrica
• complejo koszul
• Álgebra multilineal
• Álgebra simétrica , el análogo simétrico
• Álgebra tensorial
• Álgebra de Weyl , una deformación cuántica del álgebra simétrica por una forma simpléctica

Notas

1. Penrose, R. (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
2. Wheeler, Misner y Thorne 1973, pág. 83
3. Grassmann (1844) las introdujo como álgebras extendidas (cf. Clifford 1878).
4. El término k-vector no es equivalente ni debe confundirse con términos similares como 4-vector , que en un contexto diferente podría significar un elemento de un espacio vectorial de 4 dimensiones. Una minoría de autores utiliza el término -multivector en lugar de -vector, lo que evita esta confusión. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
5. Esta axiomatización de áreas se debe a Leopold Kronecker y Karl Weierstrass ; véase Bourbaki (1989b, Nota histórica). Para un tratamiento moderno, véase Mac Lane y Birkhoff (1999, Teorema IX.2.2). Para un tratamiento elemental, véase Strang (1993, capítulo 5).
6. Esta definición es estándar. Véase, por ejemplo, Mac Lane y Birkhoff (1999).
7. Una prueba de esto se puede encontrar de manera más general en Bourbaki (1989).
8. Véase Bourbaki (1989, §III.7.1) y Mac Lane & Birkhoff (1999, Teorema XVI.6.8). Se pueden encontrar más detalles sobre las propiedades universales en general en Mac Lane y Birkhoff (1999, Capítulo VI), y en todas las obras de Bourbaki.
9. Véase Bourbaki (1989, §III.7.5) para generalizaciones.
10. Nota : Las orientaciones que se muestran aquí no son correctas; el diagrama simplemente da la sensación de que se define una orientación para cada k -forma.
11. Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 58–60, 83, 100–9, 115–9. ISBN 0-7167-0344-0.
12. De hecho, el álgebra exterior de es el álgebra envolvente de la estructura de superálgebra abeliana de Lie en . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
13. Esta parte de la declaración también es válida con mayor generalidad si y son módulos sobre un anillo conmutativo: eso convierte epimorfismos en epimorfismos. Véase Bourbaki (1989, Proposición 3, §III.7.2). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$
14. Esta afirmación se generaliza sólo al caso en el que V y W son módulos proyectivos sobre un anillo conmutativo. De lo contrario, generalmente no se da el caso de convertir monomorfismos en monomorfismos. Véase Bourbaki (1989, Corolario de la Proposición 12, §III.7.9). ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$
15. Esta filtración también es válida para haces de vectores y módulos proyectivos sobre un anillo conmutativo. Por lo tanto, esto es más general que el resultado citado anteriormente para sumas directas, ya que no toda secuencia corta exacta se divide en otras categorías abelianas .
16. James, AT (1983). "Sobre el producto cuña". En Karlín, Samuel; Amemiya, Takeshi; Goodman, Leo A. (eds.). Estudios en Econometría, Series Temporales y Estadística Multivariada . Prensa académica. págs. 455–464. ISBN 0-12-398750-4.
17. DeWitt, Bryce (1984). "Capítulo 1". Supermanifolds . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 1.ISBN​ 0-521-42377-5.
18. Kannenberg (2000) publicó una traducción del trabajo de Grassmann al inglés; tradujo Ausdehnungslehre como Teoría de la extensión .
19. J Itard, Biografía en Diccionario de biografía científica (Nueva York 1970-1990).
20. En el pasado, los autores se han referido a este cálculo de diversas formas como cálculo de extensión (Whitehead 1898; Forder 1941), o álgebra extensiva (Clifford 1878), y recientemente como álgebra vectorial extendida (Browne 2007).
21. Bourbaki 1989, pag. 661.

Referencias

Referencias matemáticas

• Obispo, R .; Goldberg, SI (1980), Análisis tensorial en variedades , Dover, ISBN 0-486-64039-6

  Incluye un tratamiento de tensores alternos y formas alternas, así como una discusión detallada de la dualidad de Hodge desde la perspectiva adoptada en este artículo.

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

  Esta es la principal referencia matemática del artículo. Introduce el álgebra exterior de un módulo sobre un anillo conmutativo (aunque este artículo se especializa principalmente en el caso en el que el anillo es un campo), incluida una discusión sobre la propiedad universal, la funtorialidad, la dualidad y la estructura biálgebra. Véanse §III.7 y §III.11.

• Bryant, RL ; Chern, SS ; Gardner, RB; Goldschmidt, HL; Griffiths, PA (1991), Sistemas diferenciales exteriores , Springer-Verlag

  Este libro contiene aplicaciones de álgebras exteriores a problemas de ecuaciones diferenciales parciales . El rango y los conceptos relacionados se desarrollan en los primeros capítulos.

• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999), Álgebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2

  Las secciones 6 a 10 del capítulo XVI dan una explicación más elemental del álgebra exterior, incluida la dualidad, los determinantes y los menores, y las formas alternas.

• Sternberg, Shlomo (1964), Conferencias sobre geometría diferencial , Prentice Hall

  Contiene un tratamiento clásico del álgebra exterior como tensores alternos y aplicaciones a la geometría diferencial.

Referencias históricas

• Bourbaki (1989, Nota histórica sobre los capítulos II y III)
• Clifford, W. (1878), "Aplicaciones del álgebra extensiva de Grassmann", American Journal of Mathematics , 1 (4), The Johns Hopkins University Press: 350–358, doi :10.2307/2369379, JSTOR  2369379
• Forder, HG (1941), El cálculo de la extensión, Internet Archive
• Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik (en alemán)(La teoría de la extensión lineal: una nueva rama de las matemáticas) referencia alternativa
• Kannenberg, Lloyd (2000), Teoría de la extensión (traducción de Ausdehnungslehre de Grassmann ) , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-2031-1
• Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geométrico segundo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva; Kannenberg, Lloyd (1999), Cálculo geométrico: según el Ausdehnungslehre de H. Grassmann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4126-9.
• Whitehead, Alfred North (1898), "Un tratado sobre álgebra universal, con aplicaciones", Nature , 58 (1504), Cambridge: 385, Bibcode :1898Natur..58..385G, doi :10.1038/058385a0, S2CID  3985954

Otras referencias y lecturas adicionales

• Browne, JM (2007), Álgebra de Grassmann: exploración de aplicaciones de álgebra vectorial extendida con Mathematica, archivado desde el original el 19 de febrero de 2009 , consultado el 9 de mayo de 2007

  Una introducción al álgebra exterior y al álgebra geométrica , con especial atención a las aplicaciones. También incluye una sección de historia y bibliografía.

• Spivak, Michael (1965), Cálculo de variedades , Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-9021-6

  Incluye aplicaciones del álgebra exterior a formas diferenciales, específicamente centradas en la integración y el teorema de Stokes . La notación en este texto se utiliza para referirse al espacio de k -formas alternas en V ; es decir, para Spivak es lo que este artículo llamaría. Spivak analiza esto en el Anexo 4. ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V^{*}.}$

• Strang, G. (1993), Introducción al álgebra lineal , Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5

  Incluye un tratamiento elemental de la axiomatización de determinantes como áreas, volúmenes y volúmenes de dimensiones superiores con signo.

• Onishchik, AL (2001) [1994], "Álgebra exterior", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Wendell, Fleming (2012) [1977], "7. Álgebra exterior y cálculo diferencial", Funciones de varias variables (2ª ed.), Springer, págs. 275–320, ISBN 978-1-4684-9461-7

  Este libro de texto de cálculo multivariado introduce hábilmente el álgebra exterior de formas diferenciales en la secuencia de cálculo para las universidades.

• Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012). Álgebra lineal y geometría. Saltador . ISBN 978-3-642-30993-9.

  Capítulo 10: El producto exterior y las álgebras exteriores

• "El método Grassmann en geometría proyectiva" Una recopilación de traducciones al inglés de tres notas de Cesare Burali-Forti sobre la aplicación del álgebra exterior a la geometría proyectiva.
• C. Burali-Forti, "Introducción a la geometría diferencial, siguiendo el método de H. Grassmann" Una traducción al inglés de uno de los primeros libros sobre las aplicaciones geométricas de álgebras exteriores
• "La mecánica, según los principios de la teoría de la extensión" Una traducción al inglés de un artículo de Grassmann sobre las aplicaciones del álgebra exterior.