Principio de permanencia

En la historia de las matemáticas , el principio de permanencia , o ley de la permanencia de las formas equivalentes , fue la idea de que las operaciones algebraicas como la suma y la multiplicación deberían comportarse de manera consistente en todos los sistemas numéricos , especialmente al desarrollar extensiones a sistemas numéricos establecidos . ^{[1] [2]}

Antes de la llegada de las matemáticas modernas y su énfasis en el método axiomático , el principio de permanencia se consideraba una herramienta importante en los argumentos matemáticos. En las matemáticas modernas, los argumentos han sido reemplazados por pruebas rigurosas construidas sobre axiomas, y el principio se utiliza en cambio como una heurística para descubrir nuevas estructuras algebraicas . ^[3] Además, el principio se ha formalizado en una clase de teoremas llamados principios de transferencia , ^[3] que establecen que todas las afirmaciones de algún lenguaje que son verdaderas para alguna estructura son verdaderas para otra estructura.

Historia

El principio fue descrito por George Peacock en su libro Tratado de Álgebra (énfasis en el original): ^[4]

132. Volvamos de nuevo a este principio o ley de la permanencia de las formas equivalentes , y considerémoslo cuando se enuncia en forma de proporción directa e inversa .

" Cualquier forma que sea algebraicamente equivalente a otra, cuando se expresa en símbolos generales, debe ser verdadera, independientemente de lo que esos símbolos denoten " .

Por el contrario, si descubrimos una forma equivalente en el Álgebra Aritmética o en cualquier otra ciencia subordinada, cuando los símbolos son generales en su forma aunque específicos en su naturaleza, la misma debe ser una forma equivalente, cuando los símbolos son generales en su naturaleza así como en su forma.

El principio fue revisado posteriormente por Hermann Hankel ^{[5] [6]} y adoptado por Giuseppe Peano , Ernst Mach , Hermann Schubert , Alfred Pringsheim y otros. ^[7]

Casi en la misma época que Tratado de álgebra , Augustin-Louis Cauchy publicó Cours d'Analyse , que utilizó el término " generalidad del álgebra " ^{[8] [ página necesaria ]} para describir (y criticar) un método de argumentación utilizado por matemáticos del siglo XVIII como Euler y Lagrange que era similar al Principio de Permanencia.

Aplicaciones

Uno de los principales usos del principio de permanencia es demostrar que una ecuación funcional que es válida para los números reales también es válida para los números complejos. ^[9]

Por ejemplo, la ecuación es válida para todos los números reales s , t . Por el principio de permanencia para funciones de dos variables, esto sugiere que también es válida para todos los números complejos. ^[10] ${\displaystyle e^{s+t}-e^{s}e^{t}=0}$

Para un contraejemplo, considere las siguientes propiedades

• conmutatividad de la adición: para todo , ${\displaystyle x+y=y+x}$ ${\displaystyle x,y}$
• propiedad cancelativa por la izquierda de la adición: si , entonces , para todo . ${\displaystyle x+y=x+z}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle x,y,z}$

Ambas propiedades son válidas para todos los números naturales , enteros , racionales , reales y complejos . Sin embargo, si se siguen las extensiones de los números naturales más allá del infinito de Georg Cantor , ninguna de ellas satisface ambas propiedades simultáneamente.

• En aritmética ordinal , la suma es cancelativa por la izquierda, pero ya no es conmutativa. Por ejemplo, . ${\displaystyle 3+\omega =\omega \neq \omega +3}$
• En aritmética cardinal , la adición es conmutativa, pero ya no cancelativa por la izquierda, ya que siempre que o es infinito. Por ejemplo, , pero . ^[11] ${\displaystyle x+y=max\{x,y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}=\aleph _{0}+2}$ ${\displaystyle 1\neq 2}$

Por lo tanto, ambos, los primeros sistemas rigurosos de números infinitos, violan el principio de permanencia.

Referencias

1. Wolfram, Stephen. "Capítulo 12, Sección 9, Nota al pie: Generalización en matemáticas". Un nuevo tipo de ciencia. pág. 1168.
2. Toader, Iulian D. (2021), "La permanencia como principio de práctica", Historia Mathematica , 54 : 77–94, arXiv : 2408.08547 , doi : 10.1016/j.hm.2020.08.001
3. "Principio de permanencia". Historia de la ciencia y las matemáticas Stack Exchange .
4. Tratado sobre álgebra (J. y JJ Deighton, 1830). — Tratado sobre álgebra (2.ª ed., Scripta Mathematica): vol. 1 Álgebra aritmética (1842), vol. 2 Sobre álgebra simbólica y sus aplicaciones a la geometría de la posición (1845). Cita de la edición de 1830, pág. 104.
5. Wolfram, Stephen. "Capítulo 12, Sección 9, Nota al pie: Generalización en matemáticas". Un nuevo tipo de ciencia. pág. 1168.
6. "Hankel, Hermann | Enciclopedia.com". www.enciclopedia.com .
7. Toader, Iulian D. (2021), "La permanencia como principio de práctica", Historia Mathematica , 54 : 77–94, arXiv : 2408.08547 , doi : 10.1016/j.hm.2020.08.001
8. Cauchy, Augustin-Louis (1821). "Analizar Algébrique". Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica . vol. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi . Consultado el 7 de noviembre de 2015 .* Versión gratuita en archive.org
9. Dauben, Joseph W. (1979), Georg Cantor: sus matemáticas y filosofía del infinito , Boston: Harvard University Press , ISBN 978-0-691-02447-9.
10. Gamelin, T. Análisis complejo , Serie UTM, Springer-Verlag, 2001c
11. El número infinito más pequeño se denota por y en aritmética ordinal y cardinal, respectivamente. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$