Reciprocidad cuártica

Condiciones en la teoría de números

La reciprocidad cuártica o bicuadrática es una colección de teoremas en la teoría de números elemental y algebraica que establecen las condiciones bajo las cuales la congruencia x ⁴ ≡ p (mod q ) es resoluble; la palabra "reciprocidad" proviene de la forma de algunos de estos teoremas, en cuanto a que relacionan la solubilidad de la congruencia x ⁴ ≡ p (mod q ) con la de x ⁴ ≡ q (mod p ).

Historia

Euler formuló las primeras conjeturas sobre la reciprocidad bicuadrática. ^[1] Gauss publicó dos monografías sobre la reciprocidad bicuadrática. En la primera (1828) demostró la conjetura de Euler sobre el carácter bicuadrático de 2. En la segunda (1832) enunció la ley de reciprocidad bicuadrática para los números enteros de Gauss y demostró las fórmulas suplementarias. Dijo ^[2] que pronto se publicaría una tercera monografía con la demostración del teorema general, pero nunca apareció. Jacobi presentó demostraciones en sus conferencias de Königsberg de 1836-37. ^[3] Las primeras demostraciones publicadas fueron las de Eisenstein. ^{[4] [5] [6] [7]}

Desde entonces se han encontrado otras pruebas de la versión clásica (gaussiana), ^[8] así como afirmaciones alternativas. Lemmermeyer afirma que ha habido una explosión de interés en las leyes de reciprocidad racional desde la década de 1970. ^{[A] [9]}

Números enteros

Un residuo cuártico o bicuadrático (mod p ) es cualquier número congruente con la cuarta potencia de un entero (mod p ). Si x ⁴ ≡ a (mod p ) no tiene una solución entera, a es un residuo cuártico o bicuadrático no cuártico (mod p ). ^[10]

Como suele suceder en la teoría de números, lo más fácil es trabajar con números primos módulo, por lo que en esta sección se supone que todos los módulos p , q , etc., son primos positivos e impares. ^[10]

Gauss

Lo primero que hay que tener en cuenta cuando se trabaja dentro del anillo Z de los números enteros es que si el número primo q es ≡ 3 (mod 4), entonces un residuo r es un residuo cuadrático (mod q ) si y solo si es un residuo bicuadrático (mod q ). De hecho, el primer suplemento de reciprocidad cuadrática establece que −1 es un residuo cuadrático no existente (mod q ), de modo que para cualquier número entero x , uno de x y − x es un residuo cuadrático y el otro es un residuo no existente. Por lo tanto, si r ≡ a ² (mod q ) es un residuo cuadrático, entonces si a ≡ b ² es un residuo, r ≡ a ² ≡ b ⁴ (mod q ) es un residuo bicuadrático, y si a no es un residuo, − a es un residuo, − a ≡ b ² , y nuevamente, r ≡ (− a ) ² ≡ b ⁴ (mod q ) es un residuo bicuadrático. ^[11]

Por lo tanto, el único caso interesante es cuando el módulo p ≡ 1 (mod 4).

Gauss demostró ^[12] que si p ≡ 1 (mod 4) entonces las clases de residuos distintos de cero (mod p ) se pueden dividir en cuatro conjuntos, cada uno de los cuales contiene ( p −1)/4 números. Sea e un no residuo cuadrático. El primer conjunto son los residuos cuárticos; el segundo es e por los números del primer conjunto, el tercero es e ² por los números del primer conjunto y el cuarto es e ³ por los números del primer conjunto. Otra forma de describir esta división es dejar g como una raíz primitiva (mod p ); entonces el primer conjunto son todos los números cuyos índices con respecto a esta raíz son ≡ 0 (mod 4), el segundo conjunto son todos aquellos cuyos índices son ≡ 1 (mod 4), etc. ^[13] En el vocabulario de la teoría de grupos , el primer conjunto es un subgrupo de índice 4 (del grupo multiplicativo Z /p Z ^× ), y los otros tres son sus clases laterales.

El primer conjunto son los residuos bicuadráticos, el tercer conjunto son los residuos cuadráticos que no son residuos cuárticos, y el segundo y cuarto conjuntos son los residuos cuadráticos no cuárticos. Gauss demostró que −1 es un residuo bicuadrático si p ≡ 1 (mod 8) y un residuo cuadrático, pero no bicuadrático, cuando p ≡ 5 (mod 8). ^[14]

2 es un residuo cuadrático mod p si y solo si p ≡ ±1 (mod 8). Como p también es ≡ 1 (mod 4), esto significa que p ≡ 1 (mod 8). Cada uno de estos primos es la suma de un cuadrado y dos veces un cuadrado. ^[15]

Gauss demostró ^[14]

Sea q = a ² + 2 b ² ≡ 1 (mod 8) un número primo. Entonces

2 es un residuo bicuadrático (mod q ) si y solo si a ≡ ±1 (mod 8), y

2 es un residuo cuadrático, pero no bicuadrático (mod q ) si y solo si a ≡ ±3 (mod 8).

Todo primo p ≡ 1 (mod 4) es la suma de dos cuadrados. ^[16] Si p = a ² + b ² donde a es impar y b es par, Gauss demostró ^[17] que

2 pertenece a la primera (respectivamente segunda, tercera o cuarta) clase definida anteriormente si y solo si b ≡ 0 (resp. 2, 4 o 6) (mod 8). El primer caso de esto es una de las conjeturas de Euler:

2 es un residuo bicuadrático de un primo p ≡ 1 (mod 4) si y solo si p = a ² + 64 b ² .

Dirichlet

Para un número primo impar p y un residuo cuadrático a (mod p ), el criterio de Euler establece que si p ≡ 1 (mod 4), ${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}},}$ ${\displaystyle a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.}$

Defina el símbolo del residuo cuártico racional para el primo p ≡ 1 (mod 4) y el residuo cuadrático a (mod p ) como Es fácil demostrar que a es un residuo bicuadrático (mod p ) si y solo si ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.}$ ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=1.}$

Dirichlet ^[18] simplificó la prueba de Gauss del carácter bicuadrático de 2 (su prueba sólo requiere reciprocidad cuadrática para los números enteros) y puso el resultado en la siguiente forma:

Sea p = a ² + b ² ≡ 1 (mod 4) primo, y sea i ≡ b / a (mod p ). Entonces

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.}$     (Tenga en cuenta que i ² ≡ −1 (mod p ).)

De hecho, ^[19] sea p = a ² + b ² = c ² + 2 d ² = e ² − 2 f ² ≡ 1 (mod 8) primo, y supongamos que a es impar. Entonces

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg )}=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},}$   ¿Dónde está el símbolo ordinario de Legendre ? ${\displaystyle ({\tfrac {x}{q}})}$

Yendo más allá del carácter de 2, sea el primo p = a ² + b ² donde b es par, y sea q un primo tal que La reciprocidad cuadrática dice que donde Sea σ ² ≡ p (mod q ). Entonces ^[20] ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$ ${\displaystyle ({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,}$ ${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma )}{q}}{\Bigg )}.}$Esto implica ^[21] que

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ or }}\\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ and }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ or }}\\a\equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, and }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}}$

Los primeros ejemplos son: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({\frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}\;\;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}}$

Euler había conjeturado las reglas para 2, −3 y 5, pero no demostró ninguna de ellas.

Dirichlet ^[23] también demostró que si p ≡ 1 (mod 4) es primo y entonces ${\displaystyle ({\tfrac {17}{p}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}\end{cases}}}$

Brown y Lehmer ampliaron esta cifra de 17 a 17, 73, 97 y 193. ^[24]

Carga

Hay varias formas equivalentes de enunciar la ley de reciprocidad bicuadrática racional de Burde.

Todos suponen que p = a ² + b ² y q = c ² + d ² son primos donde b y d son pares, y que ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$

La versión de Gosset es ^[9]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.}$

Si i ² ≡ −1 (mod p ) y j ² ≡ −1 (mod q ), la ley de Frölich es ^[25]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.}$

Burde lo expresó en la forma: ^{[26] [27] [28]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.}$

Téngase en cuenta que ^[29]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.}$

Miscelánea

Sean p ≡ q ≡ 1 (mod 4) números primos y supongamos que . Entonces e ² = pf ² + qg ² tiene soluciones enteras no triviales y ^[30] ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).}$

Sean p ≡ q ≡ 1 (mod 4) números primos y supongamos que p = r ² + qs ² . Entonces ^[31]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.}$

Sea p = 1 + 4 x ² primo, sea a cualquier número impar que divida a x , y sea Entonces ^[32] a ^* es un residuo bicuadrático (mod p ). ${\displaystyle a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.}$

Sea p = a ² + 4 b ² = c ² + 2 d ² ≡ 1 (mod 8) primo. Entonces ^[33] todos los divisores de c ⁴ − pa ² son residuos bicuadráticos (mod p ). Lo mismo es cierto para todos los divisores de d ⁴ − pb ² .

Números enteros gaussianos

Fondo

En su segunda monografía sobre la reciprocidad bicuadrática, Gauss muestra algunos ejemplos y formula conjeturas que implican los teoremas enumerados anteriormente para el carácter bicuadrático de los primos pequeños. Hace algunas observaciones generales y admite que no existe una regla general obvia en juego. Continúa diciendo:

Los teoremas sobre residuos bicuadráticos brillan con la mayor simplicidad y genuina belleza sólo cuando el campo de la aritmética se extiende a los números imaginarios , de modo que sin restricción, los números de la forma a + bi constituyen el objeto de estudio... llamamos a tales números números complejos integrales . ^[34] [negrita en el original]

Estos números ahora se denominan anillo de números enteros gaussianos , denotado por Z [ i ]. Nótese que i es una raíz cuarta de 1.

En una nota a pie de página añade:

La teoría de residuos cúbicos debe basarse de manera similar en una consideración de números de la forma a + bh donde h es una raíz imaginaria de la ecuación h ³ = 1 ... y de manera similar la teoría de residuos de potencias superiores conduce a la introducción de otras cantidades imaginarias. ^[35]

Los números que se construyen a partir de una raíz cúbica de la unidad se denominan ahora anillo de números enteros de Eisenstein . Las "otras magnitudes imaginarias" necesarias para la "teoría de residuos de potencias superiores" son los anillos de números enteros de los cuerpos de números ciclotómicos ; los números enteros de Gauss y de Eisenstein son los ejemplos más simples de éstos.

Datos y terminología

Gauss desarrolla la teoría aritmética de los "números complejos integrales" y demuestra que es bastante similar a la aritmética de los números enteros ordinarios. ^[36] Aquí es donde se introdujeron en las matemáticas los términos unidad, asociado, norma y primario.

Las unidades son los números que dividen a 1. ^[37] Son 1, i , −1 y − i . Son similares a 1 y −1 en los números enteros ordinarios, en el sentido de que dividen a todos los números. Las unidades son las potencias de i .

Dado un número λ = a + bi , su conjugado es a − bi y sus asociados son los cuatro números ^[37]

   λ = + a + bi

  yo λ = − b + ai

 −λ = − a − bi

− i λ = + b − ai

Si λ = a + bi , la norma de λ, escrita Nλ, es el número a ² + b ² . Si λ y μ son dos enteros gaussianos, Nλμ = Nλ Nμ; en otras palabras, la norma es multiplicativa. ^[37] La ​​norma de cero es cero, la norma de cualquier otro número es un entero positivo. ε es una unidad si y solo si Nε = 1. La raíz cuadrada de la norma de λ, un número real no negativo que no puede ser un entero gaussiano, es el valor absoluto de lambda.

Gauss demuestra que Z [ i ] es un dominio de factorización único y muestra que los primos se dividen en tres clases: ^[38]

• 2 es un caso especial: 2 = i ³ (1 + i ) ² . Es el único primo en Z divisible por el cuadrado de un primo en Z [ i ]. En la teoría de números algebraicos, se dice que 2 se ramifica en Z [ i ].
• Los primos positivos en Z ≡ 3 (mod 4) también son primos en Z [ i ]. En la teoría de números algebraicos, se dice que estos primos permanecen inertes en Z [ i ].
• Los primos positivos en Z ≡ 1 (mod 4) son el producto de dos primos conjugados en Z [ i ]. En la teoría de números algebraicos, se dice que estos primos se descomponen en Z [ i ].

Por lo tanto, los primos inertes son 3, 7, 11, 19, ... y una factorización de los primos partidos es

 5 = (2 + i ) × (2 − i ),

13 = (2 + 3 i ) × (2 − 3 i ),

17 = (4 + i ) × (4 − i ),

29 = (2 + 5 i ) × (2 − 5 i ), ...

Los asociados y conjugados de un primo también son primos.

Nótese que la norma de un primo inerte q es N q = q ² ≡ 1 (mod 4); por lo tanto, la norma de todos los primos distintos de 1 + i y sus asociados es ≡ 1 (mod 4).

Gauss llama a un número en Z [ i ] impar si su norma es un entero impar. ^[39] Por lo tanto, todos los primos excepto 1 + i y sus asociados son impares. El producto de dos números impares es impar y el conjugado y los asociados de un número impar son impares.

Para enunciar el teorema de factorización única, es necesario tener una forma de distinguir uno de los asociados de un número. Gauss define ^[40] un número impar como primario si es ≡ 1 (mod (1 + i ) ³ ). Es sencillo demostrar que cada número impar tiene exactamente un asociado primario. Un número impar λ = a + bi es primario si a + b ≡ a − b ≡ 1 (mod 4); es decir, a ≡ 1 y b ≡ 0, o a ≡ 3 y b ≡ 2 (mod 4). ^[41] El producto de dos números primarios es primario y el conjugado de un número primario también es primario.

El teorema de factorización única ^[42] para Z [ i ] es: si λ ≠ 0, entonces

${\displaystyle \lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

donde 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, los π _son primos primarios y los α _≥ 1, y esta representación es única, hasta el orden de los factores.

Las nociones de congruencia ^[43] y máximo común divisor ^[44] se definen de la misma manera en Z [ i ] que para los números enteros ordinarios Z . Debido a que las unidades dividen todos los números, una congruencia (mod λ) también es verdadera módulo cualquier asociado de λ, y cualquier asociado de un MCD también es un MCD.

Carácter de residuo cuártico

Gauss demuestra el análogo del teorema de Fermat : si α no es divisible por un primo impar π, entonces ^[45]

${\displaystyle \alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}}$

Dado que Nπ ≡ 1 (mod 4), tiene sentido, y para una unidad única i ^k . ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}}$ ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}}$

Esta unidad se denomina residuo cuártico o bicuadrático de α (mod π) y se denota por ^{[46] [47]}

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {\pi }}.}$

Tiene propiedades formales similares a las del símbolo de Legendre . ^[48]

La congruencia       es solucionable en Z [ i ] si y sólo si    ^[49] ${\displaystyle x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.}$

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

${\displaystyle {\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}}$     donde la barra denota conjugación compleja .

Si π y θ son asociados,    ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}}$

si α ≡ β (mod π),    ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

El carácter bicuadrático se puede extender a números compuestos impares en el "denominador" de la misma manera que el símbolo de Legendre se generaliza en el símbolo de Jacobi . En ese caso, si el "denominador" es compuesto, el símbolo puede ser igual a uno sin que la congruencia sea solucionable:

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right]^{\alpha _{2}}\dots }$   dónde    ${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

Si a y b son números enteros ordinarios, a ≠ 0, | b | > 1, mcd( a , b ) = 1, entonces ^[50]    ${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]=1.}$

Enunciados del teorema

Gauss enunció la ley de reciprocidad bicuadrática de esta forma: ^{[2] [51]}

Sean π y θ primos primarios distintos de Z [ i ]. Entonces

si π o θ o ambos son ≡ 1 (mod 4), entonces pero ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],}$

Si tanto π como θ son ≡ 3 + 2 i (mod 4), entonces ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right].}$

Así como la ley de reciprocidad cuadrática para el símbolo de Legendre también es cierta para el símbolo de Jacobi, no es necesario el requisito de que los números sean primos; basta con que sean números no unitarios primos entre sí impares. ^[52] Probablemente la afirmación más conocida es:

Sean π y θ números primos entre sí no unitarios. Entonces ^[53]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

Existen teoremas suplementarios ^{[54] [55]} para las unidades y el primo semipar 1 + i .

Si π = a + bi es un primo primario, entonces

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {a-b-1-b^{2}}{4}},}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.}$

Además, si π = a + bi es un primo primario, y b ≠ 0 entonces ^[56]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}}$   (si b = 0 el símbolo es 0).

Jacobi definió que π = a + bi es primaria si a ≡ 1 (mod 4). Con esta normalización, la ley toma la forma ^[57]

Sea α = a + bi y β = c + di donde a ≡ c ≡ 1 (mod 4) y b y d son pares primos entre sí no unidades. Entonces

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}}$

La siguiente versión fue encontrada en los manuscritos inéditos de Gauss. ^[58]

Sea α = a + 2 bi y β = c + 2 di donde a y c son primos impares y no unidades. Entonces

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i}{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}}$

La ley puede enunciarse sin utilizar el concepto de primario:

Si λ es impar, sea ε(λ) la única unidad congruente con λ (mod (1 + i ) ³ ); es decir, ε(λ) = i ^k ≡ λ (mod 2 + 2 i ), donde 0 ≤ k ≤ 3. Entonces ^[59] para α y β impares y relativamente primos, ninguno de los cuales es una unidad,

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta )^{\frac {N\alpha -1}{4}}}$

Para λ impar, sea Entonces, si λ y μ son unidades relativamente primos, Eisenstein demostró ^[60] ${\displaystyle \lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.}$

Véase también

• Reciprocidad cuadrática
• Reciprocidad cúbica
• Reciprocidad óctica
• Reciprocidad de Eisenstein
• Reciprocidad de Artin

Notas

• A. ^ Aquí, "racional" significa leyes que se establecen en términos de números enteros ordinarios en lugar de en términos de números enteros de algún campo de números algebraicos .

Referencias

1. Euler, Tractatus , § 456
2. Gauss, BQ, § 67
3. Lemmermeyer, pág. 200
4. Eisenstein, Lois de reciprocidad
5. Eisenstein, Einfacher Beweis ...
6. Eisenstein, Aplicación del álgebro ...
7. Eisenstein, Beitrage zur Theorie der elliptischen ...
8. Lemmermeyer, págs. 199-202
9. Lemmermeyer, pág. 172
10. Gauss, BQ § 2
11. Gauss, BQ § 3
12. Gauss, BQ §§ 4–7
13. Gauss, BQ § 8
14. Gauss, BQ § 10
15. Gauss, DA Art. 182
16. Gauss, DA, Artículo 182
17. Gauss BQ §§ 14–21
18. Dirichlet, Demostración...
19. Lemmermeyer, Proposición 5.4
20. Lemmermeyer, Proposición 5.5
21. Lemmermeyer, Ejemplo 5.6
22. Lemmmermeyer, págs. 159, 190
23. Dirichlet, Untersuchungen ...
24. Lemmermeyer, Ejemplo 5.19
25. Lemmermeyer, pág. 173
26. Lemmermeyer, pág. 167
27. Irlanda y Rosen, págs. 128-130
28. Burde, K. (1969). "Ein racionales biquadratisches Reziprozitätsgesetz". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 235 : 175–184. Zbl  0169.36902.
29. Lemmermeyer, Ejemplo 5.13
30. Lemmermeyer, Ejemplo 5.5
31. Lemmermeyer, Ex. 5.6, atribuido a Brown
32. Lemmermeyer, Ex. 6.5, atribuido a Sharifi
33. Lemmermeyer, Ex. 6.11, atribuido a E. Lehmer
34. Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 83
35. Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 84
36. Gauss, BQ, §§ 30–55
37. Gauss, BQ, § 31
38. Gauss, BQ, §§ 33-34
39. Gauss, BQ, § 35. Define los números "sempares" como aquellos divisibles por 1 + i pero no por 2, y los números "pares" como aquellos divisibles por 2.
40. Gauss, BQ, § 36
41. Irlanda y Rosen, cap. 9.7
42. Gauss, BQ, § 37
43. Gauss, BQ, §§ 38–45
44. Gauss, BQ, §§ 46-47
45. Gauss, BQ, § 51
46. Gauss definió el carácter como el exponente k en lugar de la unidad i ^k ; además, no tenía ningún símbolo para el carácter.
47. No existe una notación estándar para los caracteres de residuos superiores en diferentes dominios (véase Lemmermeyer, pág. xiv); este artículo sigue a Lemmermeyer, caps. 5-6
48. Irlanda y Rosen, Proposición 9.8.3
49. Gauss, BQ, § 61
50. Irlanda y Rosen, Proposición 9.8.3, Lemmermeyer, Proposición 6.8
51. Las pruebas están en Lemmermeyer, caps. 6 y 8, Ireland & Rosen, cap. 9.7–9.10
52. Lemmermeyer, Tesis 69.
53. Lemmermeyer, cap. 6, Irlanda y Rosen cap. 9,7–9,10
54. Lemmermeyer, Th. 6,9; Irlanda y Rosen, ex. 9,32–9,37
55. Gauss demuestra la ley para 1 + i en BQ, §§ 68–76
56. Ireland & Rosen, Ex. 9.30; Lemmermeyer, Ex. 6.6, donde se le atribuye el mérito a Jacobi
57. Lemmermeyer, Tesis 6.9
58. Lemmermeyer, Ejemplo 6.17
59. Lemmermeyer, Ejemplo 6.18 y pág. 275
60. Lemmermeyer, cap. 8.4, ejemplo 8.19

Literatura

Las referencias a los artículos originales de Euler, Dirichlet y Eisenstein se copiaron de las bibliografías de Lemmermeyer y Cox y no se utilizaron en la preparación de este artículo.

Euler

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt , Comentario. Aritmética. 2

En realidad, esto fue escrito entre 1748 y 1750, pero sólo se publicó póstumamente; está en el vol. V, págs. 182-283 de

• Euler, Leonhard (1911-1944), Opera Omnia, Serie prima, Vols I-V , Leipzig y Berlín: Teubner

Gauss

Las dos monografías que Gauss publicó sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene los §§ 1–23 y la segunda los §§ 24–76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos tienen la forma "Gauss, BQ, § n ". Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 7

Estos se encuentran en Gauss's Werke , Vol II, págs. 65-92 y 93-148.

Las traducciones al alemán se encuentran en las páginas 511–533 y 534–586 del siguiente libro, que también contiene las Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos de Gauss sobre teoría de números.

• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (Segunda edición) , traducido por Maser, H., Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

Eisenstein

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), "Lois de réciprocité", Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) , 1844 (28), J. Reine Angew. Matemáticas. 28, págs. 53–67 (Diario de Crelle): 53–67, doi :10.1515/crll.1844.28.53, S2CID  120713971

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste , J. Reine Angew. Matemáticas. 28 págs. 223–245 (Diario de Crelle)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Aplicación de l'algèbre à l'arithmétique trascendentante , J. Reine Angew. Matemáticas. 29 págs. 177–184 (Diario de Crelle)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsformeln , J. Reine Angew. Matemáticas. 30 págs. 185-210 (Diario de Crelle)

Todos estos artículos se encuentran en el Volumen I de sus Obras .

Dirichlet

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques , J. Reine Angew. Matemáticas. 9 págs. 379–389 (Diario de Crelle)

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen , Abh. Königl. Preuss. Akád. Wiss. págs. 101-121

Ambos se encuentran en el Volumen I de sus Obras .

Autores modernos

• Cox, David A. (1989), Primos de la forma x ² + ny ² , Nueva York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Una introducción clásica a la teoría de números moderna (segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X

• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Monografías de Springer en Matemáticas, Berlín: Springer, doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de reciprocidad bicuadrática". MathWorld .

Estos dos artículos de Franz Lemmermeyer contienen pruebas de la ley de Burde y resultados relacionados:

• Reciprocidad cuártica racional
• Reciprocidad cuártica racional II