Forma cuadrática binaria

Polinomio cuadrático homogéneo en dos variables

En matemáticas , una forma cuadrática binaria es un polinomio cuadrático homogéneo en dos variables.

${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\,}$

donde a , b , c son los coeficientes . Cuando los coeficientes pueden ser números complejos arbitrarios , la mayoría de los resultados no son específicos del caso de dos variables, por lo que se describen en forma cuadrática . Una forma cuadrática con coeficientes enteros se denomina forma cuadrática binaria integral , a menudo abreviada como forma cuadrática binaria .

Este artículo está dedicado íntegramente a las formas cuadráticas binarias integrales. Esta elección está motivada por su condición de fuerza impulsora detrás del desarrollo de la teoría algebraica de números . Desde finales del siglo XIX, las formas cuadráticas binarias han cedido su preeminencia en la teoría algebraica de números a favor de los cuerpos numéricos cuadráticos y más generales , pero aún se producen avances específicos de las formas cuadráticas binarias en ocasiones.

Pierre Fermat afirmó que si p es un primo impar, entonces la ecuación tiene una solución si y solo si , e hizo una afirmación similar acerca de las ecuaciones , , y . y así sucesivamente son formas cuadráticas, y la teoría de formas cuadráticas proporciona una forma unificada de considerar y demostrar estos teoremas. ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}$ ${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}}$ ${\displaystyle p=x^{2}-2y^{2}}$ ${\displaystyle p=x^{2}-3y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2},x^{2}+2y^{2},x^{2}-3y^{2}}$

Otro ejemplo de formas cuadráticas es la ecuación de Pell . ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

Las formas cuadráticas binarias están estrechamente relacionadas con los ideales en cuerpos cuadráticos. Esto permite calcular el número de clase de un cuerpo cuadrático contando la cantidad de formas cuadráticas binarias reducidas de un discriminante dado.

La función theta clásica de 2 variables es , si es una forma cuadrática definida positiva entonces es una función theta. ${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{m^{2}+n^{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{f(m,n)}}$

Equivalencia

Dos formas f y g se denominan equivalentes si existen números enteros tales que se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,{\text{ and }}\delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)&=g(x,y),\\\alpha \delta -\beta \gamma &=1.\end{aligned}}}$

Por ejemplo, con y , , , y , encontramos que f es equivalente a , lo que se simplifica a . ${\displaystyle f=x^{2}+4xy+2y^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =-3}$ ${\displaystyle \beta =2}$ ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle \delta =-1}$ ${\displaystyle g=(-3x+2y)^{2}+4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^{2}}$ ${\displaystyle -x^{2}+4xy-2y^{2}}$

Las condiciones de equivalencia anteriores definen una relación de equivalencia en el conjunto de formas cuadráticas integrales. De ello se deduce que las formas cuadráticas se dividen en clases de equivalencia, llamadas clases de formas cuadráticas. Un invariante de clase puede significar una función definida en clases de equivalencia de formas o una propiedad compartida por todas las formas de la misma clase.

Lagrange utilizó una noción diferente de equivalencia, en la que la segunda condición se reemplaza por . Desde Gauss se ha reconocido que esta definición es inferior a la dada anteriormente. Si es necesario distinguir, a veces se dice que las formas son equivalentes de manera apropiada utilizando la definición anterior y equivalentes de manera incorrecta si son equivalentes en el sentido de Lagrange. ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$

En la terminología matricial , que se utiliza ocasionalmente a continuación, cuando

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

tiene entradas enteras y determinante 1, la función es una acción de grupo (derecha) sobre el conjunto de formas cuadráticas binarias. La relación de equivalencia anterior surge entonces de la teoría general de acciones de grupo. ${\displaystyle f(x,y)\mapsto f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Si , entonces los invariantes importantes incluyen ${\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

• El discriminante . ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$
• El contenido, igual al máximo común divisor de a , b y c .

Ha surgido una terminología para clasificar las clases y sus formas en términos de sus invariantes. Una forma de discriminante es definida si , degenerada si es un cuadrado perfecto e indefinida en caso contrario. Una forma es primitiva si su contenido es 1, es decir, si sus coeficientes son coprimos. Si el discriminante de una forma es un discriminante fundamental , entonces la forma es primitiva. ^[1] Los discriminantes satisfacen ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta <0}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \equiv 0,1{\pmod {4}}.}$

Automorfismos

Si f es una forma cuadrática, una matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

in es un automorfismo de f si . Por ejemplo, la matriz ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

es un automorfismo de la forma . Los automorfismos de una forma son un subgrupo de . Cuando f es definido, el grupo es finito, y cuando f es indefinido, es infinito y cíclico . ${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Representación

Una forma cuadrática binaria representa un número entero si es posible encontrar números enteros que satisfagan la ecuación. Tal ecuación es una representación de n por q . ${\displaystyle q(x,y)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n=q(x,y).}$

Ejemplos

Diofanto consideró si, para un entero impar , es posible encontrar números enteros y para los cuales . ^[2] Cuando , tenemos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle n=65}$

${\displaystyle {\begin{aligned}65&=1^{2}+8^{2},\\65&=4^{2}+7^{2},\end{aligned}}}$

Así que encontramos pares que funcionan. Obtenemos más pares que funcionan cambiando los valores de y y/o cambiando el signo de uno o ambos de y . En total, hay dieciséis pares de soluciones diferentes. Por otro lado, cuando , la ecuación ${\displaystyle (x,y)=(1,8){\text{ and }}(4,7)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$

no tiene soluciones enteras. Para ver por qué, notamos que a menos que o . Por lo tanto, excederá 3 a menos que sea uno de los nueve pares con y cada uno igual a o 1. Podemos verificar estos nueve pares directamente para ver que ninguno de ellos satisface , por lo que la ecuación no tiene soluciones enteras. ${\displaystyle x^{2}\geq 4}$ ${\displaystyle x=-1,0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -1,0}$ ${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$

Un argumento similar muestra que para cada , la ecuación solo puede tener un número finito de soluciones ya que excederá a menos que los valores absolutos y sean ambos menores que . Solo hay un número finito de pares que satisfacen esta restricción. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Otro problema antiguo que involucra formas cuadráticas nos pide resolver la ecuación de Pell . Por ejemplo, podemos buscar números enteros x e y de modo que . Cambiar los signos de x e y en una solución da otra solución, por lo que es suficiente buscar solo soluciones en números enteros positivos. Una solución es , es decir, hay una igualdad . Si es cualquier solución para , entonces es otro par de este tipo. Por ejemplo, a partir del par , calculamos ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)=(3,2)}$ ${\displaystyle 1=3^{2}-2\cdot 2^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$ ${\displaystyle (3x+4y,2x+3y)}$ ${\displaystyle (3,2)}$

${\displaystyle (3\cdot 3+4\cdot 2,2\cdot 3+3\cdot 2)=(17,12)}$,

y podemos comprobar que esto satisface . Iterando este proceso, encontramos más pares con : ${\displaystyle 1=17^{2}-2\cdot 12^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(3\cdot 17+4\cdot 12,2\cdot 17+3\cdot 12)&=(99,70),\\(3\cdot 99+4\cdot 70,2\cdot 99+3\cdot 70)&=(577,408),\\&\vdots \end{aligned}}}$

Estos valores seguirán aumentando de tamaño, por lo que vemos que hay infinitas maneras de representar 1 con la forma . Esta descripción recursiva se analizó en el comentario de Teón de Esmirna sobre los Elementos de Euclides . ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$

El problema de la representación

El problema más antiguo en la teoría de las formas cuadráticas binarias es el problema de representación : describir las representaciones de un número dado mediante una forma cuadrática dada f . "Describir" puede significar varias cosas: dar un algoritmo para generar todas las representaciones, una fórmula cerrada para el número de representaciones o incluso simplemente determinar si existen representaciones. ${\displaystyle n}$

Los ejemplos anteriores analizan el problema de representación de los números 3 y 65 con la forma y del número 1 con la forma . Vemos que 65 se representa con de dieciséis formas diferentes, mientras que 1 se representa con de infinitas formas y 3 no se representa con en absoluto. En el primer caso, las dieciséis representaciones se describieron explícitamente. También se demostró que el número de representaciones de un entero con es siempre finito. La función suma de cuadrados da el número de representaciones de n con en función de n . Existe una fórmula cerrada ^[3] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle r_{2}(n)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n)),}$

donde es el número de divisores de n que son congruentes a 1 módulo 4 y es el número de divisores de n que son congruentes a 3 módulo 4. ${\displaystyle d_{1}(n)}$ ${\displaystyle d_{3}(n)}$

Hay varias invariantes de clase relevantes para el problema de representación:

• El conjunto de números enteros representados por una clase. Si un número entero n está representado por una forma en una clase, entonces está representado por todas las demás formas en una clase.
• El valor absoluto mínimo representado por una clase. Es el valor no negativo más pequeño del conjunto de números enteros representados por una clase.
• Las clases de congruencia módulo el discriminante de una clase representada por la clase.

El valor absoluto mínimo representado por una clase es cero para las clases degeneradas y positivo para las definidas e indefinidas. Todos los números representados por una forma definida tienen el mismo signo: positivo si y negativo si . Por esta razón, las primeras se denominan formas definidas positivas y las segundas definidas negativas . ${\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

El número de representaciones de un entero n mediante una forma f es finito si f es definido e infinito si f es indefinido. Vimos ejemplos de esto en los ejemplos anteriores: es positivo definido y es indefinido. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$

Representaciones equivalentes

La noción de equivalencia de formas se puede extender a representaciones equivalentes . Las representaciones y son equivalentes si existe una matriz ${\displaystyle m=f(x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle n=g(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

con entradas enteras y determinante 1 de modo que y ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=g(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

Las condiciones anteriores dan una acción (correcta) del grupo sobre el conjunto de representaciones de números enteros mediante formas cuadráticas binarias. De ello se deduce que la equivalencia así definida es una relación de equivalencia y, en particular, que las formas en representaciones equivalentes son formas equivalentes. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Como ejemplo, supongamos que y consideramos una representación . Dicha representación es una solución a la ecuación de Pell descrita en los ejemplos anteriores. La matriz ${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$ ${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

tiene determinante 1 y es un automorfismo de f . Al actuar sobre la representación por esta matriz se obtiene la representación equivalente . Este es el paso de recursión en el proceso descrito anteriormente para generar infinitas soluciones para . Al iterar esta acción matricial, encontramos que el conjunto infinito de representaciones de 1 por f que se determinaron anteriormente son todas equivalentes. ${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle 1=f(3x_{1}+4y_{1},2x_{1}+3y_{1})}$ ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$

En general, hay un número finito de clases de equivalencia de representaciones de un entero n mediante formas de un discriminante distinto de cero dado . Se puede dar un conjunto completo de representantes para estas clases en términos de formas reducidas definidas en la sección siguiente. Cuando , cada representación es equivalente a una representación única mediante una forma reducida, por lo que un conjunto completo de representantes está dado por las finitas representaciones de n mediante formas reducidas de discriminante . Cuando , Zagier demostró que cada representación de un entero positivo n mediante una forma de discriminante es equivalente a una representación única en la que f se reduce en el sentido de Zagier y , . ^[4] El conjunto de todas esas representaciones constituye un conjunto completo de representantes para clases de equivalencia de representaciones. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta <0}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta >0}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n=f(x,y)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle y\geq 0}$

Reducción y números de clase

Lagrange demostró que para cada valor D , sólo hay un número finito de clases de formas cuadráticas binarias con discriminante D . Su número es elnúmero de clase del discriminanteD.Describió un algoritmo, llamadoreducción, para construir un representante canónico en cada clase, laforma reducida, cuyos coeficientes son los más pequeños en un sentido adecuado.

Gauss presentó un algoritmo de reducción superior en Disquisitiones Arithmeticae , que desde entonces ha sido el algoritmo de reducción más comúnmente utilizado en los libros de texto. En 1981, Zagier publicó un algoritmo de reducción alternativo que ha encontrado varios usos como alternativa al de Gauss. ^[5]

Composición

La composición se refiere más comúnmente a una operación binaria sobre clases de equivalencia primitivas de formas del mismo discriminante, uno de los descubrimientos más profundos de Gauss, que convierte este conjunto en un grupo abeliano finito llamado grupo de clases de forma (o simplemente grupo de clases) del discriminante . Los grupos de clases se han convertido desde entonces en una de las ideas centrales de la teoría de números algebraicos. Desde una perspectiva moderna, el grupo de clases de un discriminante fundamental es isomorfo al grupo de clases estrecho del cuerpo cuadrático del discriminante . ^[6] Para negativo , el grupo de clases estrecho es el mismo que el grupo de clases ideal , pero para positivo puede ser el doble de grande. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

"Composición" también se refiere, a grandes rasgos, a una operación binaria sobre formas cuadráticas binarias. La palabra "a grandes rasgos" indica dos advertencias: solo se pueden componer ciertos pares de formas cuadráticas binarias y la forma resultante no está bien definida (aunque su clase de equivalencia sí lo está). La operación de composición sobre clases de equivalencia se define primero definiendo la composición de formas y luego mostrando que esto induce una operación bien definida sobre clases.

"Composición" también puede referirse a una operación binaria sobre representaciones de números enteros mediante formas. Esta operación es sustancialmente más complicada ^{[ cita requerida ]} que la composición de formas, pero surgió primero históricamente. Analizaremos dichas operaciones en una sección separada a continuación.

Composición significa tomar dos formas cuadráticas del mismo discriminante y combinarlas para crear una forma cuadrática del mismo discriminante, como se desprende de la identidad de Brahmagupta .

Composición de formularios y clases

Se han dado diversas definiciones de composición de formas, a menudo en un intento de simplificar la definición extremadamente técnica y general de Gauss. Presentamos aquí el método de Arndt, porque sigue siendo bastante general y, al mismo tiempo, lo suficientemente simple como para que se pueda calcular a mano. En Cubos de Bhargava se describe una definición alternativa .

Supongamos que queremos componer las formas y , cada una primitiva y del mismo discriminante . Realizamos los siguientes pasos: ${\displaystyle f_{1}=A_{1}x^{2}+B_{1}xy+C_{1}y^{2}}$ ${\displaystyle f_{2}=A_{2}x^{2}+B_{2}xy+C_{2}y^{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$

1. Calcular y , y ${\displaystyle B_{\mu }={\tfrac {B_{1}+B_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle e=\gcd(A_{1},A_{2},B_{\mu })}$ ${\displaystyle A={\tfrac {A_{1}A_{2}}{e^{2}}}}$
2. Resolver el sistema de congruencias

   ${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv B_{1}{\pmod {2{\tfrac {A_{1}}{e}}}}\\x&\equiv B_{2}{\pmod {2{\tfrac {A_{2}}{e}}}}\\{\tfrac {B_{\mu }}{e}}x&\equiv {\tfrac {\Delta +B_{1}B_{2}}{2e}}{\pmod {2A}}\end{aligned}}}$

   Se puede demostrar que este sistema siempre tiene una solución entera única módulo . Elegimos arbitrariamente dicha solución y la llamamos B . ${\displaystyle 2A}$
3. Calcular C tal que . Se puede demostrar que C es un entero. ${\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}$

La forma es "la" composición de y . Vemos que su primer coeficiente está bien definido, pero los otros dos dependen de la elección de B y C . Una forma de hacer que esta sea una operación bien definida es hacer una convención arbitraria sobre cómo elegir B ​​—por ejemplo, elegir B ​​como la solución positiva más pequeña para el sistema de congruencias anterior. Alternativamente, podemos ver el resultado de la composición, no como una forma, sino como una clase de equivalencia de formas módulo la acción del grupo de matrices de la forma ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}}$,

donde n es un entero. Si consideramos la clase de bajo esta acción, los coeficientes medios de las formas en la clase forman una clase de congruencia de enteros módulo 2 A . Por lo tanto, la composición da una función bien definida a partir de pares de formas cuadráticas binarias para tales clases. ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$

Se puede demostrar que si y son equivalentes a y respectivamente, entonces la composición de y es equivalente a la composición de y . De ello se deduce que la composición induce una operación bien definida sobre las clases primitivas del discriminante , y como se mencionó anteriormente, Gauss demostró que estas clases forman un grupo abeliano finito. La clase identidad en el grupo es la clase única que contiene todas las formas , es decir, con el primer coeficiente 1. (Se puede demostrar que todas esas formas se encuentran en una sola clase, y la restricción implica que existe una forma así de cada discriminante). Para invertir una clase, tomamos un representante y formamos la clase de . Alternativamente, podemos formar la clase de ya que este y son equivalentes. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x^{2}+Bxy+Cy^{2}}$ ${\displaystyle \Delta \equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$ ${\displaystyle Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}}$ ${\displaystyle Cx^{2}+Bxy+Ay^{2}}$ ${\displaystyle Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}}$

Géneros de formas cuadráticas binarias

Gauss también consideró una noción más burda de equivalencia, en la que cada clase burda se denomina género de formas. Cada género es la unión de un número finito de clases de equivalencia del mismo discriminante, y el número de clases depende únicamente del discriminante. En el contexto de las formas cuadráticas binarias, los géneros se pueden definir a través de clases de congruencia de números representados por formas o por caracteres de género definidos en el conjunto de formas. Una tercera definición es un caso especial del género de una forma cuadrática en n variables. Esta establece que las formas están en el mismo género si son localmente equivalentes en todos los primos racionales (incluido el lugar de Arquímedes ).

Historia

Hay evidencia circunstancial de conocimiento protohistórico de identidades algebraicas que involucran formas cuadráticas binarias. ^[7] El primer problema relacionado con las formas cuadráticas binarias pregunta por la existencia o construcción de representaciones de números enteros mediante formas cuadráticas binarias particulares. Los principales ejemplos son la solución de la ecuación de Pell y la representación de números enteros como sumas de dos cuadrados. La ecuación de Pell ya fue considerada por el matemático indio Brahmagupta en el siglo VII d.C. Varios siglos después, sus ideas se extendieron a una solución completa de la ecuación de Pell conocida como el método chakravala , atribuido a los matemáticos indios Jayadeva o Bhāskara II . ^[8] El problema de representar números enteros mediante sumas de dos cuadrados fue considerado en el siglo III por Diofanto . ^[9] En el siglo XVII, inspirado mientras leía la Aritmética de Diofanto , Fermat hizo varias observaciones sobre representaciones por formas cuadráticas específicas, incluyendo lo que ahora se conoce como el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados . ^[10] Euler proporcionó las primeras pruebas de las observaciones de Fermat y agregó algunas nuevas conjeturas sobre representaciones por formas específicas, sin prueba. ^[11]

La teoría general de las formas cuadráticas fue iniciada por Lagrange en 1775 en sus Recherches d'Arithmétique . Lagrange fue el primero en darse cuenta de que "una teoría general coherente requería la consideración simultánea de todas las formas". ^[12] Fue el primero en reconocer la importancia del discriminante y en definir las nociones esenciales de equivalencia y reducción, que, según Weil, han "dominado todo el tema de las formas cuadráticas desde entonces". ^[13] Lagrange demostró que hay un número finito de clases de equivalencia de un discriminante dado, definiendo así por primera vez un número de clase aritmética . Su introducción de la reducción permitió la enumeración rápida de las clases de un discriminante dado y prefiguró el desarrollo final de la infraestructura . En 1798, Legendre publicó Essai sur la théorie des nombres , que resumía el trabajo de Euler y Lagrange y añadía algunas de sus propias contribuciones, incluido el primer atisbo de una operación de composición sobre formas.

La teoría fue ampliada y refinada ampliamente por Gauss en la Sección V de Disquisitiones Arithmeticae . Gauss introdujo una versión muy general de un operador de composición que permite componer formas pares de diferentes discriminantes y formas imprimitivas. Reemplazó la equivalencia de Lagrange con la noción más precisa de equivalencia propia, y esto le permitió demostrar que las clases primitivas de un discriminante dado forman un grupo bajo la operación de composición. Introdujo la teoría de géneros, que proporciona una forma poderosa de entender el cociente del grupo de clases por el subgrupo de cuadrados. (Gauss y muchos autores posteriores escribieron 2 b en lugar de b ; la convención moderna que permite que el coeficiente de xy sea impar se debe a Eisenstein ).

Estas investigaciones de Gauss influyeron fuertemente tanto en la teoría aritmética de las formas cuadráticas en más de dos variables como en el desarrollo posterior de la teoría algebraica de números, donde los cuerpos cuadráticos son reemplazados por cuerpos numéricos más generales . Pero el impacto no fue inmediato. La Sección V de Disquisitiones contiene ideas verdaderamente revolucionarias e involucra cálculos muy complicados, a veces dejados al lector. Combinadas, la novedad y la complejidad hicieron que la Sección V fuera notoriamente difícil. Dirichlet publicó simplificaciones de la teoría que la hicieron accesible a un público más amplio. La culminación de este trabajo es su texto Vorlesungen über Zahlentheorie . La tercera edición de esta obra incluye dos suplementos de Dedekind . El suplemento XI introduce la teoría de anillos , y a partir de entonces, especialmente después de la publicación en 1897 del Zahlbericht de Hilbert , la teoría de las formas cuadráticas binarias perdió su posición preeminente en la teoría algebraica de números y quedó eclipsada por la teoría más general de los cuerpos numéricos algebraicos .

Aun así, el trabajo sobre formas cuadráticas binarias con coeficientes enteros continúa hasta el presente. Esto incluye numerosos resultados sobre cuerpos numéricos cuadráticos, que a menudo se pueden traducir al lenguaje de las formas cuadráticas binarias, pero también incluye desarrollos sobre las formas mismas o que se originaron al pensar en las formas, incluida la infraestructura de Shanks , el algoritmo de reducción de Zagier , los topógrafos de Conway y la reinterpretación de la composición de Bhargava a través de los cubos de Bhargava .

Véase también

• Cubo de Bhargava
• Teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados
• Símbolo de Legendre
• La identidad de Brahmagupta

Notas

1. Cohen 1993, §5.2
2. Weil 2001, pág. 30
3. Hardy y Wright 2008, Tesis 278
4. Zagier 1981
5. Zagier 1981
6. Fröhlich y Taylor 1993, teorema 58
7. Weil 2001, Capítulo I §§VI, VIII
8. Weil 2001, Cap. I § IX
9. Weil 2001, Cap. I § IX
10. Weil 2001, Capítulo II §§VIII-XI
11. Weil 2001, Capítulo III §§VII-IX
12. Weil 2001, pág. 318
13. Weil 2001, pág. 317

Referencias

• Johannes Buchmann, Ulrich Vollmer: formas cuadráticas binarias , Springer, Berlín 2007, ISBN  3-540-46367-4
• Duncan A. Buell: Formas cuadráticas binarias , Springer, Nueva York 1989
• David A Cox, Primos de la forma , Fermat, teoría de campos de clases y multiplicación compleja ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$
• Cohen, Henri (1993), Un curso de teoría algebraica computacional de números , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 138, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, Sr.  1228206
• Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1993), Teoría algebraica de números , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, Sr.  1215934
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938], Introducción a la teoría de números , Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR  2445243, Zbl  1159.11001
• Weil, André (2001), Teoría de números: una aproximación a la historia desde Hammurabi hasta Legendre , Birkhäuser Boston
• Zagier, Don (1981), Zetafunktionen und quadratische Körper: eine Einführung in die höhere Zahlentheorie , Springer

Enlaces externos

• Peter Luschny, Números positivos representados por una forma cuadrática binaria
• AV Malyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática binaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press