David Hilbert

Matemático alemán (1862-1943)

David Hilbert ( / ˈh ɪ l b ər t / ; ^[3] alemán: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943) fue un matemático y filósofo de las matemáticas alemán y uno de los matemáticos más influyentes de su tiempo.

Hilbert descubrió y desarrolló una amplia gama de ideas fundamentales , entre ellas la teoría de invariantes , el cálculo de variaciones , el álgebra conmutativa , la teoría algebraica de números , los fundamentos de la geometría , la teoría espectral de operadores y su aplicación a ecuaciones integrales , la física matemática y los fundamentos de las matemáticas (en particular, la teoría de la demostración ). Adoptó y defendió la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Georg Cantor . En 1900, presentó una colección de problemas que marcaron el rumbo de la investigación matemática del siglo XX. ^{[4] [5]}

Hilbert y sus estudiantes contribuyeron a establecer el rigor y desarrollaron herramientas importantes que se utilizan en la física matemática moderna. Fue cofundador de la teoría de la demostración y la lógica matemática . ^[6]

Vida

Vida temprana y educación

Hilbert, el primero de dos hijos y único varón de Otto, un juez de condado, y Maria Therese Hilbert ( de soltera Erdtmann), hija de un comerciante, nació en la provincia de Prusia , Reino de Prusia , ya sea en Königsberg (según la propia declaración de Hilbert) o en Wehlau (conocida desde 1946 como Znamensk ) cerca de Königsberg, donde su padre trabajaba en el momento de su nacimiento. Su abuelo paterno fue David Hilbert, juez y Geheimrat . Su madre Maria tenía interés en la filosofía, la astronomía y los números primos , mientras que su padre Otto le enseñó las virtudes prusianas . Después de que su padre se convirtiera en juez de la ciudad, la familia se mudó a Königsberg. La hermana de David, Elise, nació cuando tenía seis años. Comenzó su escolarización a los ocho años, dos años más tarde de la edad de inicio habitual. ^[7]

A finales de 1872, Hilbert entró en el Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , la misma escuela a la que había asistido Immanuel Kant 140 años antes); pero, después de un período infeliz, se trasladó (a finales de 1879) y se graduó (principios de 1880) en el Wilhelm Gymnasium , más orientado a la ciencia . ^[8] Tras su graduación, en otoño de 1880, Hilbert se matriculó en la Universidad de Königsberg , la "Albertina". A principios de 1882, Hermann Minkowski (dos años más joven que Hilbert y también nativo de Königsberg, pero que había ido a Berlín durante tres semestres), ^[9] regresó a Königsberg y entró en la universidad. Hilbert desarrolló una amistad de por vida con el tímido y talentoso Minkowski. ^{[10] [11]}

Carrera

En 1884, Adolf Hurwitz llegó de Gotinga como Extraordinarius (es decir, profesor asociado). Se inició un intenso y fructífero intercambio científico entre los tres, y Minkowski y Hilbert especialmente ejercerían una influencia recíproca entre sí en varios momentos de sus carreras científicas. Hilbert obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo la dirección de Ferdinand von Lindemann , ^[2] titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre las propiedades invariantes de las formas binarias especiales , en particular las funciones armónicas esféricas" ).

Hilbert permaneció en la Universidad de Königsberg como Privatdozent ( profesor titular ) desde 1886 hasta 1895. En 1895, como resultado de la intervención en su nombre por Felix Klein , obtuvo el puesto de profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen . Durante los años de Klein y Hilbert, Göttingen se convirtió en la institución preeminente en el mundo matemático. ^[12] Permaneció allí por el resto de su vida.

El Instituto de Matemáticas de Gotinga. Su nuevo edificio, construido con fondos de la Fundación Rockefeller , fue inaugurado por Hilbert y Courant en 1930.

Escuela de Göttingen

Entre los alumnos de Hilbert se encontraban Hermann Weyl , el campeón de ajedrez Emanuel Lasker , Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel . John von Neumann fue su asistente. En la Universidad de Gotinga , Hilbert estuvo rodeado por un círculo social de algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church .

Entre sus 69 estudiantes de doctorado en Gotinga se encontraban muchos que más tarde se convertirían en matemáticos famosos, entre ellos (con fecha de tesis): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) y Wilhelm Ackermann (1925). ^[13] Entre 1902 y 1939, Hilbert fue editor de Mathematische Annalen , la revista matemática más importante de la época. Fue elegido miembro internacional de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos en 1907. ^[14]

Vida personal

Käthe Hilbert con Constantin Carathéodory , antes de 1932

En 1892, Hilbert se casó con Käthe Jerosch (1864-1945), hija de un comerciante de Königsberg, "una joven franca con una independencia de espíritu que coincidía con la de Hilbert". ^[15] Mientras estaban en Königsberg tuvieron su único hijo, Franz Hilbert (1893-1969). Franz sufrió toda su vida de una enfermedad mental y, después de ser internado en una clínica psiquiátrica, Hilbert dijo: "De ahora en adelante, debo considerarme como si no tuviera un hijo". Su actitud hacia Franz le causó a Käthe un gran pesar. ^[16]

Hilbert consideraba al matemático Hermann Minkowski su «mejor y más verdadero amigo». ^[17]

Hilbert fue bautizado y criado como calvinista en la Iglesia Evangélica Prusiana . ^[a] Más tarde abandonó la Iglesia y se convirtió en agnóstico . ^[b] También argumentó que la verdad matemática era independiente de la existencia de Dios u otras suposiciones a priori ^{. [c] [d]} Cuando Galileo Galilei fue criticado por no defender sus convicciones sobre la teoría heliocéntrica , Hilbert objetó: "Pero [Galileo] no era un idiota. Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se prueban a su debido tiempo". ^[e]

Años posteriores

Al igual que Albert Einstein , Hilbert tenía contactos más estrechos con el Grupo de Berlín, cuyos principales fundadores habían estudiado con Hilbert en Gotinga ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach y Walter Dubislav ). ^[18]

Alrededor de 1925, Hilbert desarrolló anemia perniciosa , una deficiencia vitamínica entonces intratable cuyo síntoma principal es el agotamiento; su asistente Eugene Wigner lo describió como sujeto a una "enorme fatiga" y cómo "parecía bastante viejo", y que incluso después de ser finalmente diagnosticado y tratado, "no era un científico después de 1925, y ciertamente no un Hilbert". ^[19]

Hilbert fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica Americana en 1932. ^[20]

Hilbert vivió para ver cómo los nazis purgaban a muchos de los profesores destacados de la Universidad de Göttingen en 1933. ^[21] Entre los que se vieron obligados a abandonar el cargo se encontraban Hermann Weyl (que había ocupado la cátedra de Hilbert cuando se jubiló en 1930), Emmy Noether y Edmund Landau . Uno de los que tuvo que abandonar Alemania, Paul Bernays , había colaborado con Hilbert en lógica matemática y fue coautor con él del importante libro Grundlagen der Mathematik ^[22] (que finalmente apareció en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Esta fue una secuela del libro de Hilbert- Ackermann Principles of Mathematical Logic de 1928. El sucesor de Hermann Weyl fue Helmut Hasse .

Un año después, Hilbert asistió a un banquete y se sentó junto al nuevo ministro de Educación, Bernhard Rust . Rust preguntó si "el Instituto de Matemáticas realmente sufrió tanto por la partida de los judíos". Hilbert respondió: "¿Sufrió? Ya no existe, ¿verdad?" ^{[23] [24]}

Muerte

La tumba de Hilbert:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Cuando Hilbert murió en 1943, los nazis habían repuesto casi por completo la universidad, ya que muchos de los antiguos profesores eran judíos o estaban casados ​​con judíos. Al funeral de Hilbert asistieron menos de una docena de personas, de las cuales solo dos eran colegas académicos, entre ellos Arnold Sommerfeld , un físico teórico y también nativo de Königsberg. ^[25] La noticia de su muerte solo se conoció al resto del mundo varios meses después de su muerte. ^[26]

El epitafio de su lápida en Gotinga contiene las famosas líneas que pronunció al final de su discurso de despedida ante la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes el 8 de septiembre de 1930. Las palabras fueron pronunciadas en respuesta a la máxima latina: " Ignoramus et ignorabimus " o "No sabemos y no sabremos": ^[27]

El día antes de que Hilbert pronunciara estas frases en la reunión anual de 1930 de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, Kurt Gödel —en una mesa redonda durante la Conferencia sobre Epistemología celebrada conjuntamente con las reuniones de la Sociedad— anunció tentativamente la primera expresión de su teorema de incompletitud. ^[f] Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que incluso los sistemas axiomáticos elementales como la aritmética de Peano son contradictorios o contienen proposiciones lógicas que son imposibles de probar o refutar dentro de ese sistema.

Contribuciones a las matemáticas y la física

Solución del problema de Gordan

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes lo llevó a la demostración en 1888 de su famoso teorema de finitud . Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de los generadores para formas binarias utilizando un enfoque computacional complejo. Los intentos de generalizar su método a funciones con más de dos variables fracasaron debido a la enorme dificultad de los cálculos involucrados. Para resolver lo que se había conocido en algunos círculos como el Problema de Gordan , Hilbert se dio cuenta de que era necesario tomar un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema de la base de Hilbert , mostrando la existencia de un conjunto finito de generadores, para los invariantes de los cuantos en cualquier número de variables, pero en una forma abstracta. Es decir, aunque demostraba la existencia de tal conjunto, no era una prueba constructiva —no mostraba "un objeto"— sino más bien, era una prueba de existencia ^[28] y se basaba en el uso de la ley del medio excluido en una extensión infinita.

Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen . Gordan, el experto en teoría de invariantes de la casa de los Mathematische Annalen , no pudo apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque no era lo suficientemente completa. Su comentario fue:

Klein , por su parte, reconoció la importancia del trabajo y garantizó que se publicaría sin modificaciones. Animado por Klein, Hilbert amplió su método en un segundo artículo, aportando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen . Tras haber leído el manuscrito, Klein le escribió diciendo:

Sin duda, este es el trabajo más importante sobre álgebra general que los Annalen hayan publicado jamás. ^[30]

Más tarde, cuando la utilidad del método de Hilbert fue universalmente reconocida, el propio Gordan diría:

Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos. ^[31]

A pesar de todos sus éxitos, la naturaleza de su prueba creó más problemas de los que Hilbert podría haber imaginado. Aunque Kronecker había admitido, Hilbert respondería más tarde a críticas similares de otros de que "muchas construcciones diferentes se subsumen bajo una idea fundamental"; en otras palabras (para citar a Reid): "Mediante una prueba de existencia, Hilbert había podido obtener una construcción"; "la prueba" (es decir, los símbolos en la página) era "el objeto". ^[31] No todos estaban convencidos. Aunque Kronecker moriría poco después, su filosofía constructivista continuaría con el joven Brouwer y su "escuela" intuicionista en desarrollo , para gran tormento de Hilbert en sus últimos años. ^[32] De hecho, Hilbert perdería a su "alumno talentoso" Weyl a manos del intuicionismo: "Hilbert estaba perturbado por la fascinación de su antiguo estudiante por las ideas de Brouwer, lo que despertó en Hilbert el recuerdo de Kronecker". ^[33] Brouwer, el intuicionista, en particular, se opuso al uso de la Ley del Medio Excluido sobre conjuntos infinitos (tal como la había utilizado Hilbert). Hilbert respondió:

Quitarle al matemático el principio del tercero excluido... es lo mismo que... prohibirle al boxeador el uso de sus puños. ^[34]

Sentencia nula

En el campo del álgebra , un cuerpo se llama algebraicamente cerrado si y solo si cada polinomio sobre él tiene una raíz en él. Bajo esta condición, Hilbert dio un criterio para cuando una colección de polinomios de variables tiene una raíz común : Este es el caso si y solo si no existen polinomios e índices tales que ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})}$.

Este resultado se conoce como el teorema de la raíz de Hilbert , o "Hilberts Nullstellensatz" en alemán. También demostró que la correspondencia entre ideales evanescentes y sus conjuntos evanescentes es biyectiva entre variedades afines e ideales radicales en . ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Curva

Las reglas de reemplazo

En 1890, Giuseppe Peano había publicado un artículo en los Anales matemáticos en el que describía la primera curva que llenaba el espacio . En respuesta, Hilbert diseñó su propia construcción de dicha curva, que ahora se llama curva de Hilbert . Las aproximaciones a esta curva se construyen de forma iterativa según las reglas de reemplazo de la primera imagen de esta sección. La curva en sí misma es entonces el límite puntual.

Las primeras seis aproximaciones a la curva de Hilbert

Axiomatización de la geometría

El texto Grundlagen der Geometrie (tr.: Fundamentos de la geometría ) publicado por Hilbert en 1899 propone un conjunto formal, llamado axiomas de Hilbert, que sustituye a los axiomas tradicionales de Euclides . Evitan las debilidades identificadas en los de Euclides , cuyos trabajos en ese momento todavía se usaban como libros de texto. Es difícil especificar los axiomas utilizados por Hilbert sin hacer referencia al historial de publicación de los Grundlagen, ya que Hilbert los cambió y modificó varias veces. La monografía original fue seguida rápidamente por una traducción al francés, en la que Hilbert agregó V.2, el axioma de completitud. Una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, fue realizada por EJ Townsend y registrada con derechos de autor en 1902. ^{[35] [36]} Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la 2.ª edición. Hilbert continuó realizando cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última que apareció en vida de Hilbert. A la séptima le siguieron nuevas ediciones, pero el texto principal no fue revisado en esencia. ^[g]

El enfoque de Hilbert marcó el cambio hacia el método axiomático moderno . En esto, Hilbert fue anticipado por el trabajo de Moritz Pasch de 1882. Los axiomas no se toman como verdades evidentes por sí mismas. La geometría puede tratar cosas , sobre las cuales tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar ningún significado explícito a los conceptos no definidos. Los elementos, como punto , línea , plano y otros, podrían ser sustituidos, como se informa que Hilbert dijo a Schoenflies y Kötter , por mesas, sillas, vasos de cerveza y otros objetos similares. ^[37] Son sus relaciones definidas las que se discuten.

Hilbert enumera en primer lugar los conceptos indefinidos: punto, línea, plano, posición (relación entre puntos y líneas, puntos y planos, y líneas y planos), intermediación, congruencia de pares de puntos ( segmentos de línea ) y congruencia de ángulos . Los axiomas unifican tanto la geometría plana como la geometría sólida de Euclides en un único sistema.

23 problemas

En el Congreso Internacional de Matemáticos de París de 1900 , Hilbert presentó una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver. Se considera generalmente que se trata de la compilación de problemas abiertos más exitosa y profundamente meditada jamás realizada por un matemático individual. ^{[ ¿Por quién? ]}

Después de reelaborar los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podría haberlos extrapolado al resto de las matemáticas. Su enfoque difería del "fundacionalista" posterior Russell-Whitehead o del "enciclopedista" Nicolas Bourbaki , y de su contemporáneo Giuseppe Peano . La comunidad matemática en su conjunto podría abordar problemas que él había identificado como aspectos cruciales de áreas importantes de las matemáticas.

El conjunto de problemas se presentó como una charla, "Los problemas de las matemáticas", presentada durante el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. La introducción de la charla que dio Hilbert decía:

¿Quién de nosotros no estaría feliz de levantar el velo tras el cual se esconde el futuro, de contemplar los próximos desarrollos de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos venideros? ¿Cuáles serán los fines hacia los que tenderá el espíritu de las futuras generaciones de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático? ^[38]

En el Congreso presentó menos de la mitad de los problemas, que fueron publicados en las actas del mismo. En una publicación posterior, amplió el panorama y llegó a la formulación de los 23 problemas de Hilbert, que ahora son canónicos. Véase también el vigésimo cuarto problema de Hilbert . El texto completo es importante, ya que la exégesis de las cuestiones todavía puede ser un tema de debate inevitable, siempre que se pregunte cuántas se han resuelto.

Algunos de estos problemas se resolvieron en poco tiempo, otros se han debatido a lo largo del siglo XX y algunos se consideran ahora demasiado abiertos para llegar a una solución, y algunos siguen siendo desafíos.

Los siguientes son los encabezados de los 23 problemas de Hilbert tal como aparecieron en la traducción de 1902 en el Boletín de la Sociedad Matemática Americana .

1. Problema de Cantor del número cardinal del continuo.

2. La compatibilidad de los axiomas aritméticos.

3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de bases iguales y alturas iguales.

4. Problema de la recta como distancia más corta entre dos puntos.

5. Concepto de Lie de un grupo continuo de transformaciones sin el supuesto de la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.

6. Tratamiento matemático de los axiomas de la física.

7. Irracionalidad y trascendencia de ciertos números.

8. Problemas de números primos (La "Hipótesis de Riemann").

9. Prueba de la ley de reciprocidad más general en cualquier cuerpo de números.

10. Determinación de la solubilidad de una ecuación diofántica.

11. Formas cuadráticas con cualquier coeficiente numérico algebraico

12. Extensiones del teorema de Kronecker sobre campos abelianos a cualquier ámbito algebraico de racionalidad

13. Imposibilidad de la solución de la ecuación general de 7º grado mediante funciones de sólo dos argumentos.

14. Prueba de la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.

15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert.

16. Problema de la topología de curvas y superficies algebraicas.

17. Expresión de formas definidas mediante cuadrados.

18. Construcción del espacio a partir de poliedros congruentes.

19. ¿Las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre necesariamente analíticas?

20. El problema general de los valores en la frontera (Problemas de valores en la frontera en EDP).

21. Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo de monodromía prescrito.

22. Uniformización de relaciones analíticas mediante funciones automórficas.

23. Desarrollo ulterior de los métodos de cálculo de variaciones.

Formalismo

En una explicación que se había convertido en estándar a mediados de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert también fue una especie de manifiesto que abrió el camino para el desarrollo de la escuela formalista , una de las tres principales escuelas de matemáticas del siglo XX. Según el formalista, las matemáticas son la manipulación de símbolos de acuerdo con reglas formales acordadas. Es, por lo tanto, una actividad autónoma del pensamiento.

Programa

En 1920, Hilbert propuso un proyecto de investigación en metamatemáticas que se conocería como el programa de Hilbert. Quería que las matemáticas se formularan sobre una base lógica sólida y completa. Creía que, en principio, esto se podía lograr demostrando que:

1. Todas las matemáticas se derivan de un sistema finito de axiomas elegido correctamente ; y
2. que algún sistema de axiomas es demostrablemente consistente a través de algunos medios tales como el cálculo épsilon .

Parece haber tenido razones tanto técnicas como filosóficas para formular esta propuesta. Afirmaba su desagrado por lo que se había dado en llamar el ignorabimus , todavía un tema activo en su época en el pensamiento alemán, y se remontaba en esa formulación a Emil du Bois-Reymond . ^[39]

Este programa todavía es reconocible en la filosofía de las matemáticas más popular , donde se lo suele llamar formalismo . Por ejemplo, el grupo de Bourbaki adoptó una versión diluida y selectiva del mismo como adecuada a los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir obras enciclopédicas fundamentales y (b) apoyar el método axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha sido exitoso e influyente en relación con el trabajo de Hilbert en álgebra y análisis funcional, pero no ha logrado involucrarse de la misma manera con sus intereses en física y lógica.

Hilbert escribió en 1919:

No se trata aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no son como un juego cuyas tareas están determinadas por reglas arbitrarias, sino que son un sistema conceptual que posee una necesidad interna que sólo puede ser así y de ninguna otra manera. ^[40]

Hilbert publicó sus opiniones sobre los fundamentos de las matemáticas en la obra de dos volúmenes, Grundlagen der Mathematik .

La obra de Gödel

Hilbert y los matemáticos que trabajaron con él en su empresa se comprometieron con el proyecto. Su intento de respaldar las matemáticas axiomatizadas con principios definitivos, que pudieran desterrar las incertidumbres teóricas, terminó en fracaso.

Gödel demostró que cualquier sistema formal no contradictorio, que fuera lo suficientemente completo como para incluir al menos la aritmética, no puede demostrar su completitud mediante sus propios axiomas. En 1931, su teorema de incompletitud demostró que el gran plan de Hilbert era imposible tal como estaba enunciado. El segundo punto no puede combinarse de ninguna manera razonable con el primero, siempre que el sistema de axiomas sea genuinamente finitario .

Sin embargo, los logros posteriores de la teoría de la prueba al menos aclararon la coherencia en lo que se refiere a teorías de interés central para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había iniciado la lógica en este camino de clarificación; la necesidad de comprender el trabajo de Gödel condujo entonces al desarrollo de la teoría de la recursión y luego a la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930. La base para la posterior ciencia informática teórica , en el trabajo de Alonzo Church y Alan Turing , también surgió directamente de este "debate". ^[41]

Análisis funcional

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e integrales ; su trabajo tuvo consecuencias directas para partes importantes del análisis funcional moderno. Para llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de un espacio euclidiano de dimensión infinita , posteriormente llamado espacio de Hilbert . Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base para importantes contribuciones a las matemáticas de la física en las siguientes dos décadas, aunque desde una dirección imprevista. Más tarde, Stefan Banach amplió el concepto, definiendo los espacios de Banach . Los espacios de Hilbert son una clase importante de objetos en el área del análisis funcional , particularmente de la teoría espectral de operadores lineales autoadjuntos, que creció en torno a ella durante el siglo XX.

Física

Hasta 1912, Hilbert se dedicó casi exclusivamente a las matemáticas . Cuando planeaba una visita desde Bonn, donde estaba inmerso en el estudio de la física, su colega matemático y amigo Hermann Minkowski bromeó diciendo que tuvo que pasar diez días en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. De hecho, Minkowski parece ser el responsable de la mayoría de las investigaciones de física de Hilbert anteriores a 1912, incluido el seminario conjunto que ambos celebraron sobre el tema en 1905.

En 1912, tres años después de la muerte de su amigo, Hilbert se dedicó casi exclusivamente a esta materia. Se las arregló para tener un "tutor de física" para sí mismo. ^[42] Comenzó a estudiar la teoría cinética de los gases y luego pasó a la teoría elemental de la radiación y la teoría molecular de la materia. Incluso después de que comenzara la guerra en 1914, continuó con seminarios y clases en las que se seguían de cerca los trabajos de Albert Einstein y otros.

En 1907, Einstein había formulado los fundamentos de la teoría de la gravedad , pero luego luchó durante casi 8 años para darle a la teoría su forma final . ^[43] A principios del verano de 1915, el interés de Hilbert por la física se había centrado en la relatividad general , e invitó a Einstein a Gotinga para dar una semana de conferencias sobre el tema. ^[44] Einstein recibió una recepción entusiasta en Gotinga. ^[45] Durante el verano, Einstein se enteró de que Hilbert también estaba trabajando en las ecuaciones de campo y redobló sus propios esfuerzos. Durante noviembre de 1915, Einstein publicó varios artículos que culminaron en Las ecuaciones de campo de la gravitación (ver Ecuaciones de campo de Einstein ). ^[h] Casi simultáneamente, Hilbert publicó "Los fundamentos de la física", una derivación axiomática de las ecuaciones de campo (ver Acción de Einstein-Hilbert ). Hilbert reconoció plenamente a Einstein como el creador de la teoría y nunca surgió ninguna disputa pública de prioridad sobre las ecuaciones de campo entre los dos hombres durante sus vidas. ^[i] Ver más en priority .

Además, el trabajo de Hilbert anticipó y ayudó a varios avances en la formulación matemática de la mecánica cuántica . Su trabajo fue un aspecto clave del trabajo de Hermann Weyl y John von Neumann sobre la equivalencia matemática de la mecánica matricial de Werner Heisenberg y la ecuación de onda de Erwin Schrödinger , y su homónimo, el espacio de Hilbert, juega un papel importante en la teoría cuántica. En 1926, von Neumann demostró que, si los estados cuánticos se entendían como vectores en el espacio de Hilbert, corresponderían tanto con la teoría de la función de onda de Schrödinger como con las matrices de Heisenberg. ^[j]

Durante esta inmersión en la física, Hilbert trabajó para darle rigor a las matemáticas de la física. Si bien dependían en gran medida de las matemáticas superiores, los físicos tendían a ser "descuidados" con ellas. Para un matemático puro como Hilbert, esto era feo y difícil de entender. A medida que comenzó a comprender la física y cómo los físicos usaban las matemáticas, desarrolló una teoría matemática coherente para lo que encontró, sobre todo en el área de las ecuaciones integrales . Cuando su colega Richard Courant escribió el ahora clásico Methoden der mathematischen Physik ( Métodos de la física matemática ) que incluía algunas de las ideas de Hilbert, agregó el nombre de Hilbert como autor, aunque Hilbert no había contribuido directamente a la redacción. Hilbert dijo "La física es demasiado difícil para los físicos", lo que implicaba que las matemáticas necesarias generalmente estaban más allá de ellos; el libro de Courant-Hilbert les facilitó las cosas.

Teoría de números

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente "informe sobre números"). También resolvió un importante problema de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud, utilizó una prueba de existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. ^[46] Entonces tenía poco más que publicar sobre el tema; pero la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre está aún más vinculado a un área importante.

Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría de campos de clases . Los conceptos fueron muy influyentes y su propia contribución sigue viva en los nombres de campo de clases de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría de campos de clases locales . Los resultados fueron demostrados en su mayoría en 1930, después del trabajo de Teiji Takagi . ^[k]

Hilbert no trabajó en las áreas centrales de la teoría analítica de números , pero su nombre se hizo conocido por la conjetura de Hilbert-Pólya , por razones que son anecdóticas. Ernst Hellinger , un estudiante de Hilbert, le dijo una vez a André Weil que Hilbert había anunciado en su seminario a principios de la década de 1900 que esperaba que la prueba de la hipótesis de Riemann fuera una consecuencia del trabajo de Fredholm sobre ecuaciones integrales con un núcleo simétrico. ^[47]

Obras

Sus obras completas ( Gesammelte Abhandlungen ) han sido publicadas varias veces. Las versiones originales de sus artículos contenían "muchos errores técnicos de diversos grados"; ^[48] cuando la colección fue publicada por primera vez, los errores fueron corregidos y se encontró que esto podía hacerse sin cambios importantes en los enunciados de los teoremas, con una excepción: una supuesta prueba de la hipótesis del continuo . ^{[49] [50] Los errores eran, no obstante, tan numerosos y significativos que} Olga Taussky-Todd tardó tres años en hacer las correcciones. ^[50]

Véase también

• Portal de biografías
• Portal de filosofía

Conceptos

• Lista de cosas que llevan el nombre de David Hilbert
• Fundamentos de geometría
• Módulo C* de Hilbert
• Cubo de Hilbert
• Curva de Hilbert
• Matriz de Hilbert
• Métrica de Hilbert
• Criterio de Hilbert-Mumford
• Número de Hilbert
• Anillo de Hilbert
• Serie de Hilbert-Poincaré
• Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert
• Espacio de Hilbert
• Espectro de Hilbert
• Sistema de Hilbert
• Transformada de Hilbert
• La aritmética de los fines de Hilbert
• La paradoja de Hilbert del Grand Hotel
• Operador de Hilbert-Schmidt
• Conjetura de Hilbert-Smith

Teoremas

• Teorema de Hilbert-Burch
• Teorema de irreducibilidad de Hilbert
• El cálculo de ceros de Hilbert
• Teorema de Hilbert (geometría diferencial)
• Teorema 90 de Hilbert
• Teorema de sicigia de Hilbert
• Teorema de Hilbert-Speiser

Otro

• La controversia entre Brouwer y Hilbert
• Método directo en el cálculo de variaciones
• Problema de resolución de problemas
• La geometría y la imaginación
• Disputa de prioridad en la relatividad general

Notas al pie

1. Para entonces, los Hilbert ya habían abandonado la iglesia protestante calvinista en la que habían sido bautizados y se habían casado. – Reid 1996, p.91
2. David Hilbert parecía ser agnóstico y no tenía nada que ver con la teología propiamente dicha ni siquiera con la religión. Constance Reid cuenta una historia sobre el tema:

   En esa época [hacia 1902] los Hilbert habían abandonado la Iglesia protestante reformada en la que habían sido bautizados y casados. En Gotinga se dice que cuando Franz [el hijo de David Hilbert] empezó a ir a la escuela no supo responder a la pregunta: "¿De qué religión eres?" (1970, pág. 91).

   En el discurso de Hamburgo de 1927, Hilbert afirmó: "las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones (die Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft)" y "para fundarla no necesito un buen Dios ([z]u ihrer Begründung brauche ich weder den lieben Gott )" (1928, pág. 85; van Heijenoort, 1967, pág. 479). Sin embargo, desde Mathematische Probleme (1900) hasta Naturerkennen und Logik (1930), depositó su fe casi religiosa en el espíritu humano y en el poder del pensamiento puro con su amado hijo: las matemáticas. Estaba profundamente convencido de que todo problema matemático podía resolverse mediante la razón pura: tanto en matemáticas como en cualquier parte de las ciencias naturales (a través de las matemáticas) no había "ignorabimus" (Hilbert, 1900, pág. 262; 1930, pág. 963; Ewald , 1996, pp. 1102, 1165). Por eso, encontrar una base interna absoluta para las matemáticas se convirtió en la obra de toda la vida de Hilbert. Nunca abandonó esta posición, y es simbólico que sus palabras "debemos saber, sabremos" En su lápida se grabaron las palabras ("debemos saber, sabremos") de su discurso de Königsberg de 1930. Aquí nos encontramos con un fantasma de la teología fallecida (para modificar las palabras de George Berkeley), ya que absolutizar el conocimiento humano significa identificarlo tácitamente con Uno divino. — Shaposhnikov, Vladislav (2016). "Fundamentos teológicos de la filosofía moderna de las matemáticas. Parte II: La búsqueda de fundamentos autónomos". Estudios en lógica, gramática y retórica . 44 (1): 147–168. doi : 10.1515/slgr-2016-0009 .
3. "Las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones. Para fundamentarlas no necesito a Dios, como hace Kronecker, ni la suposición de una facultad especial de nuestro entendimiento en sintonía con el principio de inducción matemática, como hace Poincaré, ni la intuición primordial de Brouwer, ni, finalmente, como hacen Russell y Whitehead, axiomas de infinitud, reducibilidad o completitud, que de hecho son suposiciones reales y de contenido que no pueden ser compensadas por pruebas de consistencia". David Hilbert, Die Grundlagen der Mathematik , Programa de Hilbert, 22C:096, Universidad de Iowa.
4. Michael R. Matthews (2009). Ciencia, cosmovisiones y educación . Springer. pág. 129. ISBN. 978-90-481-2779-5Como es bien sabido , Hilbert rechazó el Dios de Leopold Kronecker para la solución del problema de los fundamentos de las matemáticas.
5. Constance Reid; Hermann Weyl (1970). Hilbert . Springer-Verlag. pág. 92. ISBN 978-0-387-04999-1Tal vez los invitados estarían discutiendo el juicio de Galileo y alguien culparía a Galileo por no defender sus convicciones. "Pero él no era un idiota", objetaría Hilbert. "Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se demuestran a su debido tiempo".
6. "La Conferencia sobre Epistemología de las Ciencias Exactas se desarrolló durante tres días, del 5 al 7 de septiembre" (Dawson 1997:68). "Se celebró ... en conjunción con y justo antes de la nonagésima primera reunión anual de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes ... y la sexta Asamblea de Físicos y Matemáticos Alemanes.... La charla aportada por Gödel tuvo lugar el sábado 6 de septiembre [1930], desde las 3 hasta las 3:20 de la tarde, y el domingo la reunión concluyó con una mesa redonda de discusión de las ponencias del primer día. Durante el último evento, sin previo aviso y casi despreocupadamente, Gödel anunció tranquilamente que "uno puede incluso dar ejemplos de proposiciones (y de hecho de aquellas del tipo de Goldbach o Fermat ) que, aunque sean verdaderas en contenido, son indemostrables en el sistema formal de las matemáticas clásicas [153]" (Dawson:69) "... Como sucedió, el propio Hilbert estuvo presente en Königsberg, aunque aparentemente no en la Conferencia sobre Epistemología. Al día siguiente de la mesa redonda, pronunció el discurso inaugural ante la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes: su famosa conferencia Naturerkennen und Logik (Lógica y conocimiento de la naturaleza), al final de la cual declaró: 'Para el matemático no existe el Ignorabimus y, en mi opinión, tampoco para las ciencias naturales. ... La verdadera razón por la que [nadie] ha tenido éxito en encontrar un problema irresoluble es, en mi opinión, que no existe ningún problema irresoluble. En contraste con el necio Ignorabimus, nuestro credo afirma: Debemos saber, sabremos [159]" (Dawson:71). El artículo de Gödel fue recibido el 17 de noviembre de 1930 (cf Reid p. 197, van Heijenoort 1976:592) y publicado el 25 de marzo de 1931 (Dawson 1997:74). Pero Gödel había dado una charla al respecto de antemano... " Hans Hahn había presentado un resumen en octubre de 1930 en la Academia de Ciencias de Viena " (van Heijenoort:592); tanto este resumen como el artículo completo aparecen en van Heijenoort:583ff.
7. De manera independiente y contemporánea, un estudiante estadounidense de 19 años llamado Robert Lee Moore publicó un conjunto equivalente de axiomas. Algunos de los axiomas coinciden, mientras que algunos de los axiomas del sistema de Moore son teoremas del de Hilbert y viceversa. ^{[ cita requerida ]}
8. Con el tiempo, la asociación de las ecuaciones del campo gravitatorio con el nombre de Hilbert se hizo cada vez menos común. Una notable excepción es P. Jordan (Schwerkraft und Weltall, Braunschweig, Vieweg, 1952), quien llamó a las ecuaciones de la gravitación en el vacío ecuaciones de Einstein-Hilbert. ( Leo Corry, David Hilbert and the Axiomatization of Physics , p. 437)
9. Desde 1971 se han producido algunas discusiones animadas y académicas sobre cuál de los dos hombres presentó por primera vez la forma ahora aceptada de las ecuaciones de campo. "Hilbert admitió libremente, y afirmó con frecuencia en sus conferencias, que la gran idea fue de Einstein: "Cada niño de las calles de Gotinga entiende más sobre geometría de cuatro dimensiones que Einstein", comentó una vez. "Sin embargo, a pesar de eso, Einstein hizo el trabajo y no los matemáticos". (Reid 1996, pp. 141-142, también Isaacson 2007:222 citando a Thorne p. 119).
10. En 1926, un año después de que Max Born y Werner Heisenberg formularan la teoría cuántica a partir de la mecánica matricial , el matemático John von Neumann se convirtió en asistente de Hilbert en Gotinga. Cuando von Neumann se fue en 1932, el libro de von Neumann sobre los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, basado en las matemáticas de Hilbert, se publicó con el título Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Véase: Norman Macrae (1999) John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More (reimpreso por la American Mathematical Society) y Reid (1996).
11. Este trabajo estableció a Takagi como el primer matemático japonés de talla internacional.

Citas

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Enlaces externos

• Proyecto Hilbert Bernays
• Los 23 problemas de Hilbert
• ICMM 2014 dedicado a la memoria de D. Hilbert
• Obras de David Hilbert en el Proyecto Gutenberg
• Obras de David Hilbert o sobre él en Internet Archive
• Obras de David Hilbert en LibriVox (audiolibros de dominio público)
• Discurso radiofónico de Hilbert grabado en Königsberg en 1930 (en alemán) Archivado el 14 de febrero de 2006 en Wayback Machine , con traducción al inglés Archivado el 12 de noviembre de 2020 en Wayback Machine
• Wolfram MathWorld – La constante de Hilbert
• David Hilbert en el Proyecto de Genealogía Matemática
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "David Hilbert", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
• 'De los problemas de Hilbert al futuro', conferencia del profesor Robin Wilson, Gresham College , 27 de febrero de 2008 (disponible en formato de texto, audio y vídeo).
• Recortes de prensa sobre David Hilbert en el Archivo de Prensa del Siglo XX de la ZBW