En matemáticas , una prueba elemental es una prueba matemática que sólo utiliza técnicas básicas. Más específicamente, el término se utiliza en teoría de números para referirse a pruebas que no utilizan análisis complejos . Históricamente, alguna vez se pensó que ciertos teoremas , como el teorema de los números primos , sólo podían demostrarse invocando teoremas o técnicas matemáticas "superiores". Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, muchos de estos resultados también han sido refutados posteriormente utilizando sólo técnicas elementales.
Si bien generalmente no hay consenso sobre lo que se considera elemental, el término es, no obstante, una parte común de la jerga matemática . Una prueba elemental no es necesariamente simple, en el sentido de que sea fácil de entender o trivial. De hecho, algunas demostraciones elementales pueden ser bastante complicadas, y esto es especialmente cierto cuando se trata de una afirmación de notable importancia. [1]
La distinción entre pruebas elementales y no elementales se ha considerado especialmente importante con respecto al teorema de los números primos . Este teorema fue demostrado por primera vez en 1896 por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin mediante análisis complejos. [2] Muchos matemáticos intentaron entonces construir demostraciones elementales del teorema, sin éxito. GH Hardy expresó fuertes reservas; consideró que la esencial " profundidad " del resultado descartaba pruebas elementales:
No se conoce ninguna prueba elemental del teorema de los números primos y cabe preguntarse si es razonable esperarla. Ahora sabemos que el teorema es aproximadamente equivalente a un teorema sobre una función analítica , el teorema de que la función zeta de Riemann no tiene raíces en una determinada recta . Una demostración de tal teorema, que no depende fundamentalmente de la teoría de funciones, me parece extraordinariamente improbable. Es temerario afirmar que un teorema matemático no puede demostrarse de una manera determinada; pero una cosa parece bastante clara. Tenemos ciertos puntos de vista sobre la lógica de la teoría; Pensamos que algunos teoremas, como decimos, "se encuentran en lo profundo" y otros más cerca de la superficie. Si alguien presenta una demostración elemental del teorema de los números primos, demostrará que estos puntos de vista están equivocados, que el tema no encaja en la forma que suponíamos y que es hora de dejar de lado los libros y de Teoría a reescribir.
—GH Hardy (1921). Conferencia en la Sociedad Matemática de Copenhague. Citado en Goldfeld (2003), p. 3 [3]
Sin embargo, en 1948, Atle Selberg desarrolló nuevos métodos que lo llevaron a él y a Paul Erdős a encontrar demostraciones elementales del teorema de los números primos. [3]
Harvey Friedman conjeturó : "Cada teorema publicado en Annals of Mathematics cuyo enunciado involucra sólo objetos matemáticos finitos (es decir, lo que los lógicos llaman un enunciado aritmético) puede demostrarse en aritmética elemental". [4] La forma de aritmética elemental a la que se hace referencia en esta conjetura puede formalizarse mediante un pequeño conjunto de axiomas relacionados con la aritmética de enteros y la inducción matemática . Por ejemplo, según esta conjetura, el último teorema de Fermat debería tener una demostración elemental; La demostración de Wiles del último teorema de Fermat no es elemental. Sin embargo, hay otras afirmaciones simples sobre la aritmética, como la existencia de funciones exponenciales iteradas , que no pueden probarse en esta teoría.