La prueba de Wiles del último teorema de Fermat es una prueba realizada por el matemático británico Andrew Wiles de un caso especial del teorema de modularidad para curvas elípticas . Junto con el teorema de Ribet , proporciona una prueba del último teorema de Fermat . Casi todos los matemáticos contemporáneos creían que tanto el último teorema de Fermat como el teorema de modularidad eran imposibles de demostrar utilizando el conocimiento actual. [1] : 203–205, 223, 226
Wiles anunció por primera vez su prueba el 23 de junio de 1993 en una conferencia en Cambridge titulada "Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois". [2] Sin embargo, en septiembre de 1993 se descubrió que la prueba contenía un error. Un año después, el 19 de septiembre de 1994, en lo que llamaría "el momento más importante de [su] vida laboral", Wiles tropezó con una revelación que le permitió corregir la prueba a satisfacción de la comunidad matemática. La prueba corregida se publicó en 1995. [3]
La prueba de Wiles utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números , y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat. El método de prueba de identificación de un anillo de deformación con un álgebra de Hecke (ahora denominado teorema R=T ) para demostrar los teoremas de elevación de modularidad ha sido un desarrollo influyente en la teoría algebraica de números .
Juntos, los dos artículos que contienen la prueba tienen 129 páginas [4] [5] y consumieron más de siete años de investigación de Wiles. John Coates describió la prueba como uno de los mayores logros de la teoría de números, y John Conway la llamó "la prueba del siglo [XX]". [6] El camino de Wiles para demostrar el último teorema de Fermat, mediante la demostración del teorema de modularidad para el caso especial de curvas elípticas semiestables , estableció poderosas técnicas de levantamiento de modularidad y abrió enfoques completamente nuevos a muchos otros problemas. Por demostrar el último teorema de Fermat, fue nombrado caballero y recibió otros honores como el Premio Abel 2016 . Al anunciar que Wiles había ganado el Premio Abel, la Academia Noruega de Ciencias y Letras describió su logro como una "prueba sorprendente". [3]
El último teorema de Fermat , formulado en 1637, establece que no hay tres números enteros positivos a , b y c que puedan satisfacer la ecuación.
si n es un número entero mayor que dos ( n > 2).
Con el tiempo, esta simple afirmación se convirtió en una de las afirmaciones no demostradas más famosas en matemáticas. Entre su publicación y la solución final de Andrew Wiles, más de 350 años después, muchos matemáticos y aficionados intentaron probar esta afirmación, ya sea para todos los valores de n > 2 o para casos específicos. Estimuló el desarrollo de áreas completamente nuevas dentro de la teoría de números . Finalmente se encontraron pruebas para todos los valores de n hasta alrededor de 4 millones, primero a mano y luego por computadora. Sin embargo, no se encontró ninguna prueba general que fuera válida para todos los valores posibles de n , ni siquiera una pista de cómo podría llevarse a cabo dicha prueba.
Independientemente de todo lo relacionado con el último teorema de Fermat, en las décadas de 1950 y 1960 el matemático japonés Goro Shimura , basándose en ideas planteadas por Yutaka Taniyama , conjeturó que podría existir una conexión entre curvas elípticas y formas modulares . Se trataba de objetos matemáticos sin conexión conocida entre ellos. Taniyama y Shimura plantearon la cuestión de si, sin que los matemáticos lo supieran, los dos tipos de objetos eran en realidad objetos matemáticos idénticos, sólo que vistos de diferentes maneras.
Conjeturaron que toda curva elíptica racional también es modular . Esto se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura. En Occidente, esta conjetura se hizo muy conocida gracias a un artículo de 1967 de André Weil , quien proporcionó evidencia conceptual de ella; por eso, a veces se la denomina conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.
Alrededor de 1980, se había acumulado mucha evidencia para formar conjeturas sobre curvas elípticas, y se habían escrito muchos artículos que examinaban las consecuencias si la conjetura fuera cierta, pero la conjetura en sí no estaba probada y generalmente se consideraba inaccesible, lo que significaba que los matemáticos creían en una prueba. La conclusión de la conjetura era probablemente imposible utilizando los conocimientos actuales.
Durante décadas, la conjetura siguió siendo un problema importante pero sin resolver en matemáticas. Alrededor de 50 años después de haber sido propuesta por primera vez, la conjetura finalmente fue probada y rebautizada como teorema de modularidad , en gran parte como resultado del trabajo de Andrew Wiles que se describe a continuación.
En otra rama separada del desarrollo, a finales de la década de 1960, Yves Hellegouarch tuvo la idea de asociar soluciones hipotéticas ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. [7] La curva consta de todos los puntos del plano cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen la relación
Una curva elíptica de este tipo disfrutaría de propiedades muy especiales debido a la aparición de altas potencias de números enteros en su ecuación y al hecho de que an + b n = c n sería también una n -ésima potencia.
En 1982-1985, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de esta misma curva, ahora llamada curva de Frey . Demostró que era probable que la curva pudiera vincular a Fermat y Taniyama, ya que cualquier contraejemplo del último teorema de Fermat probablemente también implicaría que existía una curva elíptica que no era modular . Frey demostró que había buenas razones para creer que cualquier conjunto de números ( a , b , c , n ) capaz de refutar el último teorema de Fermat probablemente también podría usarse para refutar la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Por lo tanto, si la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil fuera cierta, no podría existir ningún conjunto de números capaz de refutar a Fermat, por lo que el último teorema de Fermat también tendría que ser verdadero.
Matemáticamente, la conjetura dice que cada curva elíptica con coeficientes racionales se puede construir de una manera completamente diferente, no dando su ecuación sino usando funciones modulares para parametrizar las coordenadas xey de los puntos en ella. Por lo tanto, según la conjetura, cualquier curva elíptica sobre Q tendría que ser una curva elíptica modular , sin embargo, si existiera una solución a la ecuación de Fermat con a , b , c y n distintos de cero mayores que 2, la curva correspondiente no sería modular, lo que resulta en una contradicción. Si el vínculo identificado por Frey pudiera probarse, entonces, a su vez, significaría que una refutación del último teorema de Fermat refutaría la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil o, por contraposición, una prueba de esta última también probaría la primera. [8]
Para completar este vínculo, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que una curva de Frey, si existiera, no podía ser modular. En 1985, Jean-Pierre Serre demostró parcialmente que una curva de Frey no podía ser modular. Serre no proporcionó una prueba completa de su propuesta; la parte faltante (que Serre había notado desde el principio [9] : 1 ) pasó a ser conocida como la conjetura épsilon (a veces escrita conjetura ε; ahora conocida como teorema de Ribet ). El principal interés de Serre estaba en una conjetura aún más ambiciosa, la conjetura de Serre sobre las representaciones modulares de Galois , que implicaría la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Sin embargo, su prueba parcial estuvo cerca de confirmar el vínculo entre Fermat y Taniyama.
En el verano de 1986, Ken Ribet logró demostrar la conjetura épsilon, ahora conocida como teorema de Ribet . Su artículo se publicó en 1990. Al hacerlo, Ribet finalmente demostró el vínculo entre los dos teoremas al confirmar, como había sugerido Frey, que una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para los tipos de curvas elípticas que Frey había identificado, junto con con el teorema de Ribet, también demostraría el último teorema de Fermat.
En términos matemáticos, el teorema de Ribet demostró que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades (que tiene la curva de Frey), entonces esa curva no puede ser modular, en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma Representación de Galois. [10]
Siguiendo los desarrollos relacionados con la curva de Frey y su vínculo tanto con Fermat como con Taniyama, una prueba del último teorema de Fermat se derivaría de una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, o al menos una prueba de la conjetura para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables ).
Sin embargo, a pesar de los avances realizados por Serre y Ribet, este enfoque de Fermat también se consideró inutilizable, ya que casi todos los matemáticos vieron la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil como completamente inaccesible a la prueba con el conocimiento actual. [1] : 203–205, 223, 226 Por ejemplo, el ex supervisor de Wiles, John Coates, afirmó que parecía "imposible probarlo realmente", [1] : 226 y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de personas que creía [que] era completamente inaccesible". [1] : 223
Al enterarse de la prueba de Ribet de la conjetura épsilon en 1986, el matemático inglés Andrew Wiles, que había estudiado curvas elípticas y tenía una fascinación infantil con Fermat, decidió comenzar a trabajar en secreto para lograr una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ya que ahora era profesionalmente justificable, [11] así como por el atractivo objetivo de demostrar un problema de larga data.
Ribet comentó más tarde que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente puedes ir y demostrarlo". [1] : 223
Wiles presentó inicialmente su prueba en 1993. Finalmente fue aceptada como correcta y publicada en 1995, tras la corrección de un error sutil en una parte de su artículo original. Su trabajo fue ampliado hasta una demostración completa del teorema de modularidad durante los siguientes seis años por otros, que se basaron en el trabajo de Wiles.
Del 21 al 23 de junio de 1993, Wiles anunció y presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables y, por tanto, del último teorema de Fermat, en el transcurso de tres conferencias pronunciadas en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge, Inglaterra. . [2] Después hubo una cantidad relativamente grande de cobertura de prensa. [12]
Después del anuncio, Nick Katz fue designado como uno de los árbitros para revisar el manuscrito de Wiles. En el curso de su revisión, le hizo a Wiles una serie de preguntas aclaratorias que lo llevaron a reconocer que la prueba contenía un vacío. Hubo un error en una parte crítica de la prueba que daba un límite para el orden de un grupo particular: el sistema de Euler utilizado para ampliar el método de Kolyvagin y Flach estaba incompleto. El error no habría hecho que su trabajo fuera inútil: cada parte del trabajo de Wiles era muy significativa e innovadora en sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y sólo una parte se vio afectada. [1] : 289, 296–297 Sin embargo, sin esta parte demostrada, no había una prueba real del último teorema de Fermat.
Wiles pasó casi un año intentando reparar su prueba, inicialmente solo y luego en colaboración con su antiguo alumno Richard Taylor , sin éxito. [13] [14] [15] A finales de 1993, se habían difundido rumores de que, bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía en qué medida. Los matemáticos estaban empezando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, estuviera completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y utilizar todo lo que había logrado lograr. En lugar de solucionarse, el problema, que originalmente parecía menor, ahora parecía muy importante, mucho más grave y menos fácil de resolver. [dieciséis]
Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994 estaba a punto de darse por vencido y casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran desarrollarlo y encontrar el error. Afirma que estaba realizando una última mirada para tratar de comprender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando de repente tuvo la idea de que la razón específica por la cual el enfoque Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente también significaba que su El intento original de utilizar la teoría de Iwasawa podría funcionar si la fortaleciera utilizando la experiencia adquirida desde entonces con el enfoque de Kolyvagin-Flach. Cada uno de ellos era inadecuado por sí solo, pero solucionar un enfoque con herramientas del otro resolvería el problema y produciría una fórmula de número de clase (CNF) válida para todos los casos que aún no estuvieran probados en su artículo arbitrado: [13] [17]
Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podía hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podía explicar por qué no funcionó. De repente tuve esta increíble revelación. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para hacer funcionar mi teoría original de Iwasawa de tres años antes. Así, de las cenizas de Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema. Era tan indescriptiblemente hermoso; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo me lo había perdido y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminaba por el departamento y volvía una y otra vez a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No pude contenerme, estaba muy emocionada. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer significará tanto.
— Andrew Wiles, citado por Simon Singh [18]
El 6 de octubre, Wiles pidió a tres colegas (incluido Gerd Faltings ) que revisaran su nueva prueba, [19] y el 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" [4] y "Propiedades teóricas de anillos de ciertos Hecke algebras", [5] la segunda de las cuales Wiles había escrito con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones necesarias para justificar el paso corregido en el artículo principal.
Los dos artículos fueron examinados y finalmente publicados en su totalidad en la edición de mayo de 1995 de Annals of Mathematics . La nueva prueba fue ampliamente analizada y fue aceptada como probablemente correcta en sus componentes principales. [6] [10] [11] Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de que fuera conjeturado.
Fermat afirmó "... haber descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de ello, que este margen es demasiado estrecho para contener". [20] [21] La prueba de Wiles es muy compleja e incorpora el trabajo de tantos otros especialistas que en 1994 se sugirió que solo un pequeño número de personas eran capaces de comprender completamente en ese momento todos los detalles de lo que había hecho. . [2] [22] La complejidad de la prueba de Wiles motivó una conferencia de 10 días en la Universidad de Boston ; El libro resultante de actas de conferencias tenía como objetivo hacer accesible a los estudiantes graduados en teoría de números toda la gama de temas requeridos. [9]
Como se señaló anteriormente, Wiles demostró la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para el caso especial de curvas elípticas semiestables, en lugar de para todas las curvas elípticas. Durante los años siguientes, Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor (a veces abreviado como "BCDT") llevaron el trabajo más allá y finalmente demostraron la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para todas las curvas elípticas en un artículo de 2001. [23] Una vez probada, la conjetura pasó a ser conocida como teorema de modularidad .
En 2005, el informático holandés Jan Bergstra planteó el problema de formalizar la prueba de Wiles de tal manera que pudiera verificarse por computadora . [24]
Wiles demostró el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, del cual se deriva el último teorema de Fermat mediante prueba por contradicción . En este método de prueba, se supone lo contrario de lo que se va a demostrar y se demuestra que si eso fuera cierto, se crearía una contradicción. La contradicción muestra que la suposición (que la conclusión es incorrecta) debe haber sido incorrecta, lo que requiere que la conclusión se mantenga.
La prueba se divide aproximadamente en dos partes: en la primera parte, Wiles demuestra un resultado general sobre los " ascensos ", conocido como "teorema de elevación de la modularidad". Esta primera parte le permite probar resultados sobre curvas elípticas convirtiéndolos en problemas sobre representaciones de Galois de curvas elípticas. Luego utiliza este resultado para demostrar que todas las curvas semiestables son modulares, demostrando que las representaciones de Galois de estas curvas son modulares.
Wiles optó por intentar hacer coincidir curvas elípticas con un conjunto contable de formas modulares. Descubrió que este enfoque directo no funcionaba, por lo que transformó el problema haciendo coincidir las representaciones de Galois de las curvas elípticas con formas modulares. Wiles denota esta coincidencia (o mapeo) que, más específicamente, es un homomorfismo de anillo :
es un anillo de deformación y es un anillo de Hecke .
Wiles tuvo la idea de que en muchos casos este homomorfismo de anillo podría ser un isomorfismo de anillo (Conjetura 2.16 en el Capítulo 2, §3 del artículo de 1995 [4] ). Se dio cuenta de que el mapa entre y es un isomorfismo si y sólo si dos grupos abelianos que aparecen en la teoría son finitos y tienen la misma cardinalidad . A esto a veces se le denomina "criterio numérico". Dado este resultado, el último teorema de Fermat se reduce a la afirmación de que dos grupos tienen el mismo orden. Gran parte del texto de la prueba aborda temas y teoremas relacionados con la teoría de anillos y la teoría de la conmutación . El objetivo de Wiles era verificar que el mapa es un isomorfismo y, en última instancia, eso . Al tratar las deformaciones, Wiles definió cuatro casos, y el caso de la deformación plana requirió más esfuerzo para probarlo y se trató en un artículo separado en el mismo volumen titulado "Propiedades de la teoría de anillos de ciertas álgebras de Hecke".
Gerd Faltings , en su boletín, da el siguiente diagrama conmutativo (p. 745):
o en última instancia eso , indicando una intersección completa . Como Wiles no pudo demostrarlo directamente, lo hizo a través de ascensores .
Para realizar esta comparación, Wiles tuvo que crear una fórmula de número de clase (CNF). Primero intentó utilizar la teoría horizontal de Iwasawa , pero esa parte de su trabajo tenía un problema sin resolver tal que no podía crear un CNF. A finales del verano de 1991, se enteró de un sistema de Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida" para la parte inductiva de su demostración, y que podía usarse para crear un CNF, por lo que Wiles estableció Dejó a un lado su trabajo de Iwasawa y comenzó a trabajar para ampliar el trabajo de Kolyvagin y Flach, con el fin de crear el CNF que requeriría su prueba. [25] En la primavera de 1993, su trabajo había cubierto todas menos unas pocas familias de curvas elípticas, y a principios de 1993, Wiles estaba lo suficientemente seguro de su próximo éxito como para dejarle saber su secreto a un colega de confianza. Dado que su trabajo se basó en gran medida en el uso del enfoque Kolyvagin-Flach, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, y que también había ampliado, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz , que lo ayudara a revisar su trabajo en busca de errores sutiles. . Su conclusión en ese momento fue que las técnicas utilizadas por Wiles parecían funcionar correctamente. [1] : 261–265 [26]
Más tarde se descubriría que el uso de Kolyvagin-Flach por parte de Wiles fue el punto de falla en la presentación de la prueba original, y finalmente tuvo que volver a la teoría de Iwasawa y una colaboración con Richard Taylor para solucionarlo. En mayo de 1993, mientras leía un artículo de Mazur, Wiles tuvo la idea de que el interruptor 3/5 resolvería los problemas finales y luego cubriría todas las curvas elípticas.
Dada una curva elíptica sobre el campo de los números racionales , para cada potencia prima , existe un homomorfismo del grupo absoluto de Galois
a
el grupo de matrices invertibles de 2 por 2 cuyas entradas son números enteros módulo . Esto se debe a que , los puntos de encima , forman un grupo abeliano sobre el que actúa; el subgrupo de elementos tal que es justo , y un automorfismo de este grupo es una matriz del tipo descrito.
Menos obvio es que dada una forma modular de cierto tipo especial, una forma propia de Hecke con valores propios en , también se obtiene un homomorfismo
Esto se remonta a Eichler y Shimura. La idea es que el grupo de Galois actúa primero sobre la curva modular en la que se define la forma modular, de allí sobre la variedad jacobiana de la curva y finalmente sobre los puntos de orden de potencia en ese jacobiano. La representación resultante no suele ser bidimensional, pero los operadores de Hecke cortaron una pieza bidimensional. Es fácil demostrar que estas representaciones provienen de alguna curva elíptica, pero lo contrario es la parte difícil de demostrar.
En lugar de intentar pasar directamente de la curva elíptica a la forma modular, primero se puede pasar a la representación de some y , y de ahí a la forma modular. En el caso de y , los resultados del teorema de Langlands-Tunnell muestran que la representación de cualquier curva elíptica proviene de una forma modular. La estrategia básica es utilizar la inducción para demostrar que esto es cierto para y cualquiera , que en última instancia existe una forma modular única que funciona para todos los n . Para hacer esto, se utiliza un argumento de conteo, comparando el número de formas en que se puede elevar una representación de Galois a uno y el número de formas en que se puede elevar una forma modular. Un punto esencial es imponer un conjunto suficiente de condiciones a la representación de Galois; de lo contrario, habrá demasiados ascensores y la mayoría no serán modulares. Estas condiciones deben cumplirse para las representaciones provenientes de formas modulares y las provenientes de curvas elípticas.
Si la representación original tiene una imagen demasiado pequeña, uno tiene problemas con el argumento del levantamiento y, en este caso, hay un truco final que desde entonces se ha estudiado con mayor generalidad en el trabajo posterior sobre la conjetura de modularidad de Serre . La idea implica la interacción entre las representaciones y . En particular, si la representación de Galois mod-5 asociada a una curva elíptica semiestable E sobre Q es irreducible, entonces hay otra curva elíptica semiestable E' sobre Q tal que su representación de Galois mod-5 asociada es isomorfa y tal que su representación de Galois mod-5 asociada es isomorfa y tal que su representación de Galois mod-5 asociada es irreducible. La representación mod-3 de Galois es irreducible (y por lo tanto modular según Langlands-Tunnell). [27]
En su artículo de 108 páginas publicado en 1995, Wiles divide el tema en los siguientes capítulos (precedidos aquí por números de página):
Posteriormente , Gerd Faltings proporcionó algunas simplificaciones a la demostración de 1995, principalmente cambiando de construcciones geométricas a construcciones algebraicas bastante más simples. [19] [28] El libro de la conferencia de Cornell también contenía simplificaciones de la prueba original. [9]
El artículo de Wiles tiene más de 100 páginas y a menudo utiliza símbolos y notaciones especializados de la teoría de grupos , la geometría algebraica , el álgebra conmutativa y la teoría de Galois . Los matemáticos que ayudaron a sentar las bases de Wiles a menudo crearon nuevos conceptos especializados y jerga técnica .
Entre las presentaciones introductorias se encuentran un correo electrónico que Ribet envió en 1993; [29] [30] La revisión rápida de Hesselink de cuestiones de alto nivel, que proporciona solo el álgebra elemental y evita el álgebra abstracta; [24] o la página web de Daney, que proporciona un conjunto de sus propias notas y enumera los libros actuales disponibles sobre el tema. Weston intenta proporcionar un mapa útil de algunas de las relaciones entre los sujetos. [31] El artículo de FQ Gouvêa de 1994 "A Marvelous Proof", que revisa algunos de los temas requeridos, ganó un premio Lester R. Ford de la Asociación Matemática de América . [32] [33] El boletín técnico de cinco páginas de Faltings sobre el tema es una revisión rápida y técnica de la prueba para los no especialistas. [34] Para aquellos que buscan un libro disponible comercialmente para guiarse, recomendó que aquellos familiarizados con el álgebra abstracta lean Hellegouarch, luego lean el libro de Cornell, [9] que se afirma que es accesible para "un estudiante graduado en teoría de números". ". El libro de Cornell no cubre la totalidad de la prueba de Wiles. [12]
