Variedad abeliana semiestable

En geometría algebraica , una variedad abeliana semiestable es una variedad abeliana definida sobre un campo global o local , que se caracteriza por cómo se reduce en los primos del campo.

Para una variedad abeliana definida sobre un campo con anillo de números enteros , considere el modelo de Néron de , que es el "mejor modelo posible" de definido sobre . Este modelo puede representarse como un esquema sobre (cf. espectro de un anillo ) para el cual la fibra genérica construida mediante el morfismo devuelve . El modelo de Néron es un esquema de grupo suave , por lo que podemos considerar el componente conectado del modelo de Néron que contiene la identidad de la ley del grupo. Este es un esquema de subgrupo abierto del modelo de Néron. Para un campo residual , es una variedad de grupo sobre , por lo tanto, una extensión de una variedad abeliana por un grupo lineal. Si este grupo lineal es un toro algebraico , entonces es una variedad semibeliana , entonces tiene reducción semiestable en el primo correspondiente a . Si es un campo global , entonces es semiestable si tiene una reducción buena o semiestable en todos los primos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} (F)\to \mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{k}^{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{k}^{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

El teorema fundamental de reducción semiestable de Alexander Grothendieck establece que una variedad abeliana adquiere reducción semiestable en una extensión finita de . ^[1] ${\displaystyle F}$

Curva elíptica semiestable

Una curva elíptica semiestable puede describirse más concretamente como una curva elíptica que tiene mala reducción sólo de tipo multiplicativo. ^[2] Supongamos que E es una curva elíptica definida sobre el campo de números racionales . Se sabe que existe un conjunto finito y no vacío S de números primos p para el cual E tiene un módulo de reducción malo p . Esto último significa que la curva obtenida por reducción de E al campo primo con p elementos tiene un punto singular . A grandes rasgos, la condición de reducción multiplicativa equivale a decir que el punto singular es un punto doble , en lugar de una cúspide . ^[3] Decidir si esta condición se cumple es efectivamente computable mediante el algoritmo de Tate . ^{[4] [5]} Por lo tanto, en un caso dado es decidible si la reducción es semiestable o no, es decir, reducción multiplicativa en el peor de los casos. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E_{p}}$

El teorema de reducción semiestable para E también puede hacerse explícito: E adquiere una reducción semiestable sobre la extensión de F generada por las coordenadas de los puntos de orden 12. ^{[6] [5]}

Referencias

1. Grothendieck (1972) Théorème 3.6, pág. 351
2. Husemöller (1987) págs.116-117
3. Husemoller (1987) págs.116-117
4. Husemöller (1987) págs.266-269
5. Tate, John (1975), "Algoritmo para determinar el tipo de fibra singular en un lápiz elíptico", en Birch, BJ ; Kuyk, W. (eds.), Funciones modulares de una variable IV , Lecture Notes in Mathematics, vol. 476, Berlín / Heidelberg: Springer, págs. 33–52, doi :10.1007/BFb0097582, ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN  1617-9692, SEÑOR  0393039, Zbl  1214.14020
6. Esto está implícito en Husemöller (1987) págs.117-118.

• Grothendieck, Alejandro (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1967-69 - Groupes de monodromie en géométrie algébrique - (SGA 7) - vol. 1 . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 288. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . viii+523. doi :10.1007/BFb0068688. ISBN 978-3-540-05987-5. SEÑOR  0354656.
• Husemöller, Dale H. (1987). Curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 111. Con apéndice de Ruth Lawrence . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Zbl  0605.14032.
• Lang, Serge (1997). Estudio de la geometría diofántica . Springer-Verlag . pag. 70.ISBN​ 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.