En matemáticas , un módulo de Galois es un módulo G , siendo G el grupo de Galois de alguna extensión de campos . El término representación de Galois se usa con frecuencia cuando el módulo G es un espacio vectorial sobre un campo o un módulo libre sobre un anillo en la teoría de la representación , pero también puede usarse como sinónimo de módulo G. El estudio de los módulos de Galois para extensiones de campos locales o globales y su cohomología de grupo es una herramienta importante en la teoría de números .
Sea K un campo valorado (con valoración denotada v ) y sea L / K una extensión finita de Galois con grupo de Galois G . Para una extensión w de v a L , sea I w su grupo de inercia . Se dice que un módulo de Galois ρ : G → Aut( V ) no está ramificado si ρ( I w ) = {1}.
En la teoría algebraica de números clásica , sea L una extensión de Galois de un campo K y sea G el grupo de Galois correspondiente. Entonces, el anillo O L de enteros algebraicos de L puede considerarse como un módulo O K [ G ], y uno puede preguntarse cuál es su estructura. Esta es una cuestión aritmética, en la que según el teorema de la base normal se sabe que L es un módulo K [ G ] libre de rango 1. Si lo mismo es cierto para los números enteros, eso equivale a la existencia de una base integral normal. , es decir, de α en O L tal que sus elementos conjugados bajo G dan una base libre para O L sobre O K . Esta es una pregunta interesante incluso (quizás especialmente) cuando K es el campo de números racionales Q.
Por ejemplo, si L = Q ( √ −3 ), ¿existe una base integral normal? La respuesta es sí, como se ve al identificarlo con Q ( ζ ) donde
De hecho, todos los subcampos de los campos ciclotómicos para p -ésimas raíces de la unidad para p un número primo tienen bases integrales normales (sobre Z ), como se puede deducir de la teoría de los períodos gaussianos (el teorema de Hilbert-Speiser ). En cambio, el campo gaussiano no. Este es un ejemplo de una condición necesaria encontrada por Emmy Noether ( ¿quizás conocida antes? ). Lo que importa aquí es la ramificación mansa . En términos del discriminante D de L , y tomando todavía K = Q , ningún primo p debe dividir D elevado a p . Entonces, el teorema de Noether establece que la ramificación moderada es necesaria y suficiente para que O L sea un módulo proyectivo sobre Z [ G ]. Por tanto, es ciertamente necesario que sea un módulo gratuito . Deja abierta la cuestión de la brecha entre lo libre y lo proyectivo, para la cual ahora se ha elaborado una amplia teoría.
Un resultado clásico, basado en un resultado de David Hilbert , es que un campo numérico abeliano mansamente ramificado tiene una base integral normal. Esto puede verse utilizando el teorema de Kronecker-Weber para incorporar el campo abeliano en un campo ciclotómico. [1]
Muchos objetos que surgen en la teoría de números son, naturalmente, representaciones de Galois. Por ejemplo, si L es una extensión de Galois de un campo numérico K , el anillo de números enteros O L de L es un módulo de Galois sobre O K para el grupo de Galois de L / K (ver teorema de Hilbert-Speiser). Si K es un campo local, el grupo multiplicativo de su cierre separable es un módulo para el grupo absoluto de Galois de K y su estudio conduce a la teoría de campos de clases locales . Para la teoría de campos de clases globales , en su lugar se utiliza la unión de los grupos de clases ideales de todas las extensiones finitas separables de K.
También existen representaciones de Galois que surgen a partir de objetos auxiliares y que pueden usarse para estudiar grupos de Galois. Una familia importante de ejemplos son los módulos Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas .
Sea K un campo numérico. Emil Artin introdujo una clase de representaciones de Galois del grupo absoluto de Galois G K de K , ahora llamadas representaciones de Artin . Estas son las representaciones lineales continuas de dimensión finita de G K en espacios vectoriales complejos . El estudio de Artin de estas representaciones lo llevó a formular la ley de reciprocidad de Artin y a conjeturar lo que ahora se llama la conjetura de Artin sobre la holomorfía de las funciones L de Artin .
Debido a la incompatibilidad de la topología profinita en G K y la topología habitual (euclidiana) en espacios vectoriales complejos, la imagen de una representación de Artin es siempre finita.
Sea ℓ un número primo . Una representación ℓ-ádica de G K es un homomorfismo de grupo continuo ρ : G K → Aut( M ) donde M es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Q ℓ (el cierre algebraico de los números ℓ-ádicos Q ℓ ) o un módulo Z ℓ finitamente generado (donde Z ℓ es el cierre integral de Z ℓ en Q ℓ ). Los primeros ejemplos que surgieron fueron el carácter ciclotómico ℓ-ádico y los módulos Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas sobre K. Otros ejemplos provienen de las representaciones de Galois de formas modulares y formas automórficas, y las representaciones de Galois en grupos de cohomología ádica de variedades algebraicas.
A diferencia de las representaciones de Artin, las representaciones ℓ-ádicas pueden tener una imagen infinita. Por ejemplo, la imagen de G Q bajo el carácter ciclotómico ℓ-ádico es . Las representaciones ℓ-ádicas con imagen finita a menudo se denominan representaciones de Artin. A través de un isomorfismo de Q ℓ con C, se pueden identificar con representaciones genuinas de Artin.
Estas son representaciones sobre un campo finito de característica ℓ. A menudo surgen como el mod de reducción ℓ de una representación ℓ-ádica.
Existen numerosas condiciones sobre representaciones dadas por alguna propiedad de la representación restringida a un grupo de descomposición de algún primo. La terminología para estas condiciones es algo caótica, con diferentes autores inventando diferentes nombres para la misma condición y usando el mismo nombre con diferentes significados. Algunas de estas condiciones incluyen:
Si K es un campo local o global, la teoría de la formación de clases atribuye a K su grupo de Weil W K , un homomorfismo de grupo continuo φ: W K → G K y un isomorfismo de grupos topológicos.
donde C K es K × o el grupo de clases idle I K / K × (dependiendo de si K es local o global) y W ab
k es la abelianización del grupo Weil de K . Vía φ, cualquier representación de G K puede considerarse como una representación de W K . Sin embargo, W K puede tener estrictamente más representaciones que G K . Por ejemplo, a través de r K los caracteres complejos continuos de W K están en biyección con los de C K. Por lo tanto, el carácter de valor absoluto en C K produce un carácter de W K cuya imagen es infinita y por lo tanto no es un carácter de G K (ya que todos tienen imagen finita).
Una representación ℓ-ádica de W K se define de la misma manera que para G K. Estos surgen naturalmente de la geometría: si X es una variedad proyectiva suave sobre K , entonces la cohomología ℓ-ádica de la fibra geométrica de X es una representación ℓ-ádica de G K que, a través de φ, induce una representación ℓ-ádica de W K. Si K es un campo local de característica de residuo p ≠ ℓ, entonces es más sencillo estudiar las llamadas representaciones de Weil-Deligne de W K.
Sea K un campo local. Sea E un campo de característica cero. Una representación de Weil-Deligne sobre E de W K (o simplemente de K ) es un par ( r , N ) que consta de
Estas representaciones son las mismas que las representaciones sobre E del grupo Weil -Deligne de K.
Si la característica del residuo de K es diferente de ℓ, el teorema de monodromía ℓ-ádica de Grothendieck establece una biyección entre las representaciones ℓ-ádicas de W K (sobre Q ℓ ) y las representaciones de Weil-Deligne de W K sobre Q ℓ (o equivalentemente sobre C ). Estos últimos tienen la buena característica de que la continuidad de r es sólo con respecto a la topología discreta en V , lo que hace que la situación tenga un sabor más algebraico.
