Extensión de Galois

Extensión de campo algebraico

En matemáticas , una extensión de Galois es una extensión de campo algebraico E / F que es normal y separable ; ^[1] o equivalentemente, E / F es algebraico, y el campo fijado por el grupo de automorfismos Aut( E / F ) es precisamente el campo base F. La importancia de ser una extensión de Galois es que la extensión tiene un grupo de Galois y obedece el teorema fundamental de la teoría de Galois . ^[a]

Un resultado de Emil Artin permite construir extensiones de Galois como sigue: Si E es un campo dado, y G es un grupo finito de automorfismos de E con campo fijo F , entonces E / F es una extensión de Galois. ^[2]

La propiedad de que una extensión sea Galois se comporta bien con respecto a la composición y la intersección del campo . ^[3]

Caracterización de las extensiones de Galois

Un teorema importante de Emil Artin establece que para una extensión finita cada uno de los siguientes enunciados es equivalente al enunciado de Galois: ${\displaystyle E/F,}$ ${\displaystyle E/F}$

• ${\displaystyle E/F}$es una extensión normal y una extensión separable .
• ${\displaystyle E}$es un campo de división de un polinomio separable con coeficientes en ${\displaystyle F.}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],}$es decir, el número de automorfismos es igual al grado de la extensión.

Otras afirmaciones equivalentes son:

• Todo polinomio irreducible en con al menos una raíz en se divide en dos y es separable. ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],}$es decir, el número de automorfismos es al menos el grado de la extensión.
• ${\displaystyle F}$es el campo fijo de un subgrupo de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E).}$
• ${\displaystyle F}$es el campo fijo de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$
• Existe una correspondencia uno a uno entre los subcampos y los subgrupos de ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Una extensión de campo infinita es de Galois si y solo si es la unión de subextensiones de Galois finitas indexadas por un conjunto de índices (infinito) , es decir, y el grupo de Galois es un límite inverso donde el sistema inverso está ordenado por inclusión de campo . ^[4] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{i}/F}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} (E_{i}/F)}}$ ${\displaystyle E_{i}\subset E_{j}}$

Ejemplos

Hay dos formas básicas de construir ejemplos de extensiones de Galois.

• Tome cualquier campo , cualquier subgrupo finito de , y sea el campo fijo. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle F}$
• Tome cualquier campo , cualquier polinomio separable en , y sea su campo de división . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle E}$

Si se añade al cuerpo de los números racionales la raíz cuadrada de 2 se obtiene una extensión de Galois, mientras que si se añade la raíz cúbica de 2 se obtiene una extensión que no es de Galois. Ambas extensiones son separables, porque tienen característica cero . La primera de ellas es el cuerpo de desdoblamiento de ; la segunda tiene una clausura normal que incluye las raíces cúbicas complejas de la unidad , y por lo tanto no es un cuerpo de desdoblamiento. De hecho, no tiene ningún automorfismo aparte de la identidad, porque está contenido en los números reales y tiene solo una raíz real. Para ver ejemplos más detallados, consulte la página sobre el teorema fundamental de la teoría de Galois . ${\displaystyle x^{2}-2}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$

Un cierre algebraico de un campo arbitrario es Galois si y sólo si es un campo perfecto . ${\displaystyle {\bar {K}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Notas

1. Consulte el artículo Grupo de Galois para obtener definiciones de algunos de estos términos y algunos ejemplos.

Citas

1. Lang 2002, pág. 262.
2. Lang 2002, pág. 264, Teorema 1.8.
3. Milne 2022, pág. 40f, cap. 3 y 7.
4. Milne 2022, pág. 102, ejemplo 7.26.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556

Lectura adicional

• Artin, Emil (1998) [1944]. Teoría de Galois . Editado y con un capítulo complementario por Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. Sr.  1616156.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Teoría de Galois para principiantes . Student Mathematical Library. Vol. 35. Traducido de la segunda edición alemana (2004) por David Kramer. American Mathematical Society. doi :10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. Sr.  2251389. S2CID  118256821.
• Edwards, Harold M. (1984). Teoría de Galois . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 101. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-90980-X.Sr. 0743418  . (Artículo original de Galois, con amplios antecedentes y comentarios).
• Funkhouser, H. Gray (1930). "Una breve descripción de la historia de las funciones simétricas de las raíces de las ecuaciones". American Mathematical Monthly . 37 (7). The American Mathematical Monthly, vol. 37, núm. 7: 357–365. doi :10.2307/2299273. JSTOR  2299273.
• "Teoría de Galois", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (1985). Álgebra básica I (2.ª ed.). WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. (El capítulo 4 ofrece una introducción al enfoque teórico de campo de la teoría de Galois).
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Teorías de Galois . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-80309-0.(Este libro presenta al lector la teoría de Galois de Grothendieck y algunas generalizaciones que conducen a los grupoides de Galois ).
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 110 (segunda edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN . 978-0-387-94225-4.Señor 1282723  .
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Fundamentos de la teoría de Galois . Con prólogo de PJ Hilton. Reimpresión de la edición de 1962. Traducido del original ruso de 1960 por Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.Señor 2043554  .
• Milne, James S. (2022). Campos y teoría de Galois (v5.10).
• Rotman, Joseph (1998). Teoría de Galois . Universitext (segunda edición). Springer. doi :10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7.Señor 1645586  .
• Völklein, Helmut (1996). Grupos como grupos de Galois: una introducción . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 53. Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511471117. ISBN . 978-0-521-56280-5.Señor 1405612  .
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Álgebra moderna (en alemán). Berlín: Springer.Traducción al inglés ( de la 2.ª edición revisada): Álgebra moderna . Nueva York: Frederick Ungar. 1949. (Posteriormente republicado en inglés por Springer con el título "Álgebra".)
• Pop, Florian (2001). "(Algunas) nuevas tendencias en la teoría de Galois y la aritmética" (PDF) .