En matemáticas , la cohomología de Galois es el estudio de la cohomología de grupos de módulos de Galois , es decir, la aplicación del álgebra homológica a módulos para grupos de Galois . Un grupo de Galois G asociado a una extensión de cuerpo L / K actúa de manera natural sobre algunos grupos abelianos , por ejemplo aquellos construidos directamente a partir de L , pero también a través de otras representaciones de Galois que pueden derivarse por medios más abstractos. La cohomología de Galois explica la forma en que tomar elementos invariantes de Galois no logra ser un funtor exacto .
La teoría actual de la cohomología de Galois se consolidó alrededor de 1950, cuando se comprendió que la cohomología de Galois de los grupos de clases ideales en la teoría algebraica de números era una forma de formular la teoría de cuerpos de clases , en ese momento estaba en proceso de deshacerse de las conexiones con las funciones L. La cohomología de Galois no asume que los grupos de Galois sean grupos abelianos, por lo que era una teoría no abeliana . Se formuló de manera abstracta como una teoría de las formaciones de clases . Dos desarrollos de la década de 1960 cambiaron la situación. En primer lugar, la cohomología de Galois apareció como la capa fundamental de la teoría de la cohomología étale (en términos generales, la teoría tal como se aplica a los esquemas de dimensión cero). En segundo lugar, la teoría de cuerpos de clases no abeliana se lanzó como parte de la filosofía Langlands .
Los primeros resultados identificables como cohomología de Galois se conocían desde mucho antes, en la teoría de números algebraicos y la aritmética de curvas elípticas . El teorema de la base normal implica que el primer grupo de cohomología del grupo aditivo de L se anulará; este es un resultado de extensiones de campo generales, pero Richard Dedekind lo conocía de alguna forma . El resultado correspondiente para el grupo multiplicativo se conoce como Teorema 90 de Hilbert y se conocía antes de 1900. La teoría de Kummer fue otra de esas primeras partes de la teoría, que proporciona una descripción del homomorfismo de conexión que proviene del mapa de potencia m -ésimo.
De hecho, durante un tiempo el caso multiplicativo de un 1- cociclo para grupos que no son necesariamente cíclicos se formuló como la solubilidad de las ecuaciones de Noether , llamadas así por Emmy Noether ; aparecen bajo este nombre en el tratamiento de la teoría de Galois por parte de Emil Artin , y pueden haber sido parte del folclore en la década de 1920. El caso de los 2-cociclos para el grupo multiplicativo es el del grupo de Brauer , y las implicaciones parecen haber sido bien conocidas por los algebristas de la década de 1930.
En otra dirección, la de los torsores , estos ya estaban implícitos en los argumentos de descenso infinito de Fermat para curvas elípticas . Se realizaron numerosos cálculos directos, y la prueba del teorema de Mordell-Weil tuvo que proceder por algún sustituto de una prueba de finitud para un grupo H 1 particular . La naturaleza 'retorcida' de los objetos sobre cuerpos que no son algebraicamente cerrados , que no son isomorfos pero se vuelven así sobre la clausura algebraica , también era conocida en muchos casos vinculados a otros grupos algebraicos (como formas cuadráticas , álgebras simples , variedades de Severi-Brauer ), en la década de 1930, antes de que llegara la teoría general.
Las necesidades de la teoría de números se expresaron en particular por el requisito de tener control de un principio local-global para la cohomología de Galois. Esto se formuló por medio de resultados en la teoría de cuerpos de clases, como el teorema de la norma de Hasse . En el caso de las curvas elípticas, condujo a la definición clave del grupo de Tate-Shafarevich en el grupo de Selmer , que es el obstáculo para el éxito de un principio local-global. A pesar de su gran importancia, por ejemplo en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , resultó muy difícil obtener algún control sobre ella, hasta que los resultados de Karl Rubin dieron una manera de mostrar en algunos casos que era finita (un resultado generalmente creído, ya que su orden conjetural fue predicho por una fórmula de función L).
El otro gran desarrollo de la teoría, en el que también participó John Tate, fue el resultado de la dualidad Tate-Poitou .
Técnicamente hablando, G puede ser un grupo profinito , en cuyo caso las definiciones deben ajustarse para permitir solo cadenas continuas.
La cohomología de Galois es el estudio de la cohomología de grupos de Galois. [1] Sea una extensión de cuerpo con grupo de Galois y un grupo abeliano sobre el que actúa. El grupo de cohomología: es el grupo de cohomología de Galois asociado a la representación del grupo de Galois en . Es posible, además, extender esta definición al caso cuando es un grupo no abeliano y , y esta extensión es necesaria para algunas de las aplicaciones más importantes de la teoría. En particular, es el conjunto de puntos fijos del grupo de Galois en , y está relacionado con los 1-cociclos (que parametrizan álgebras de cuaterniones, por ejemplo).
Cuando el campo de extensión es el cierre separable del campo , a menudo se escribe en su lugar y
El teorema 90 de Hilbert en lenguaje cohomológico es la afirmación de que el primer grupo de cohomología con valores en el grupo multiplicativo de es trivial para una extensión de Galois : Este teorema de desaparición se puede generalizar a una gran clase de grupos algebraicos , también formulados en el lenguaje de la cohomología de Galois. La generalización más directa es que para cualquier -toro cuasidplit , Denotado por el grupo lineal general en dimensiones. Entonces Hilbert 90 es el caso especial de Asimismo, el teorema de desaparición se cumple para el grupo lineal especial y para el grupo simpléctico donde es una forma bilineal alternada no degenerada definida sobre .
El segundo grupo de cohomología describe los sistemas factoriales asociados al grupo de Galois. Por lo tanto, para cualquier extensión normal , el grupo de Brauer relativo puede identificarse con el grupo. Como caso especial, con el cierre separable,
