dualidad tate

En matemáticas , la dualidad de Tate o dualidad Poitou-Tate es un teorema de dualidad para grupos de módulos de cohomología de Galois sobre el grupo de Galois de un campo numérico algebraico o campo local , introducido por John Tate  (1962) y Georges Poitou (1967).

Dualidad local de Tate

Para un campo local p -ádico , la dualidad de Tate local dice que hay un emparejamiento perfecto de los grupos finitos que surgen de la cohomología de Galois: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

donde es un esquema de grupo finito, su dual y es el grupo multiplicativo . Para un campo local de característica , la declaración es similar, excepto que el emparejamiento toma valores en . ^[1] La afirmación también es válida cuando se trata de un campo de Arquímedes , aunque la definición de los grupos de cohomología parece algo diferente en este caso. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,G_{m})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k}$

Dualidad global de la Tate

Dado un esquema de grupo finito sobre un campo global , la dualidad global de Tate relaciona la cohomología de con la del uso de los emparejamientos locales construidos anteriormente. Esto se hace a través de los mapas de localización. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'=\operatorname {Hom} (M,G_{m})}$

${\displaystyle \alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),}$

donde varía en todos los lugares de y donde denota un producto restringido con respecto a los grupos de cohomología no ramificados. La suma de los emparejamientos locales da un emparejamiento canónico perfecto. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \prod '}$

${\displaystyle {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Una parte de la dualidad Poitou-Tate establece que, bajo este emparejamiento, la imagen de tiene aniquilador igual a la imagen de for . ${\displaystyle H^{r}(k,M)}$ ${\displaystyle H^{2-r}(k,M')}$ ${\displaystyle r=0,1,2}$

El mapa tiene un núcleo finito para todos , y Tate también construye un emparejamiento canónico perfecto. ${\displaystyle \alpha _{r,M}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\text{ker}}(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Estas dualidades a menudo se presentan en forma de una secuencia exacta de nueve términos.

${\displaystyle 0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.}$

Aquí, el asterisco denota el dual de Pontryagin de un grupo abeliano localmente compacto dado.

Todas estas afirmaciones fueron presentadas por Tate en una forma más general dependiendo de un conjunto de lugares de , siendo las afirmaciones anteriores la forma de sus teoremas para el caso donde contiene todos los lugares de . Para obtener un resultado más general, véase, por ejemplo, Neukirch, Schmidt y Wingberg (2000, Teorema 8.4.4). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

Dualidad Poitou-Tate

Entre otras afirmaciones, la dualidad Poitou-Tate establece un binomio perfecto entre ciertos grupos de Shafarevich . Dado un campo global , un conjunto S de números primos y la extensión máxima que no está ramificada fuera de S , los grupos de Shafarevich capturan, en términos generales, aquellos elementos en cuya cohomología desaparecen en la cohomología de Galois de los campos locales pertenecientes a los números primos en S . ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{S}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{S}/k)}$

Geisser & Schmidt (2018) mostraron una extensión del caso en el que el anillo de S -enteros se reemplaza por un esquema regular de tipo finito. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}}$

Ver también

• Dualidad Artin-Verdier
• maridaje tate

Referencias

1. Neukirch, Schmidt y Wingberg (2000, teorema 7.2.6)
2. Véase Neukirch, Schmidt y Wingberg (2000, teorema 8.6.8) para obtener una afirmación precisa.

• Geisser, Thomas H.; Schmidt, Alexander (2018), "Dualidad Poitou-Tate para esquemas aritméticos", Compositio Mathematica , 154 (9): 2020–2044, arXiv : 1709.06913 , Bibcode :2017arXiv170906913G, doi :10.1112/S0010437X18007340, 2CID  119735104
• Haberland, Klaus (1978), Cohomología de Galois de campos numéricos algebraicos, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , ISBN 9780685872048, señor  0519872
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Springer, ISBN 3-540-66671-0, señor  1737196
• Poitou, Georges (1967), "Propriétés globales des module finis", Cohomologie galoisienne des module finis, Séminaire de l'Institut de Mathématiques de Lille, bajo la dirección de G. Poitou. Travaux et Recherches Mathématiques, vol. 13, París: Dunod, págs. 255–277, SEÑOR  0219591
• Tate, John (1962), "Teoremas de dualidad en cohomología de Galois sobre campos numéricos", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 288–295, MR  0175892, archivado desde el original el 17 de julio de 2011