Homomorfismo de grupo

En matemáticas , dados dos grupos , ( G ,∗) y ( H , ·), un homomorfismo de grupo de ( G ,∗) a ( H , ·) es una función h : G → H tal que para todos u y v en G se sostiene que

h(u*v)=h(u)\cdot h(v)

donde la operación de grupo del lado izquierdo de la ecuación es la de G y del lado derecho la de H .

De esta propiedad, se puede deducir que h asigna el elemento de identidad e _G de G al elemento de identidad e _H de H ,

h(e_{G})=e_{H}

y también asigna inversas a inversas en el sentido de que

h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,

Por tanto, se puede decir que h "es compatible con la estructura del grupo".

En áreas de las matemáticas donde se consideran grupos dotados de estructura adicional, un homomorfismo a veces significa un mapa que respeta no sólo la estructura del grupo (como arriba) sino también la estructura adicional. Por ejemplo, a menudo se requiere que un homomorfismo de grupos topológicos sea continuo.

Intuición

El propósito de definir un homomorfismo de grupo es crear funciones que preserven la estructura algebraica. Una definición equivalente de homomorfismo de grupo es: La función h : G → H es un homomorfismo de grupo si siempre

a ∗ b = c tenemos h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

En otras palabras, el grupo H en algún sentido tiene una estructura algebraica similar a G y el homomorfismo h la conserva.

Tipos

monomorfismo: Un homomorfismo de grupo que es inyectivo (o uno a uno); es decir, preserva la distinción.
epimorfismo: Un homomorfismo de grupo que es sobreyectivo (o sobre); es decir, llega a todos los puntos del codominio.
isomorfismo: Un homomorfismo de grupo que es biyectivo ; es decir, inyectivo y sobreyectivo. Su inverso es también un homomorfismo de grupo. En este caso, los grupos G y H se denominan isomorfos ; sólo difieren en la notación de sus elementos (excepto el elemento de identidad) y son idénticos a todos los efectos prácticos. Es decir, volvemos a etiquetar todos los elementos excepto la identidad.
endomorfismo: Un homomorfismo de grupo, h : G → G ; el dominio y el codominio son iguales. También llamado endomorfismo de G.
Automorfismo: Un endomorfismo de grupo que es biyectivo y, por tanto, un isomorfismo. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G , con la composición funcional como operación, forma en sí mismo un grupo, el grupo de automorfismos de G. Se denota por Aut( G ). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de ( Z , +) contiene solo dos elementos, la transformación de identidad y la multiplicación por −1; es isomorfo a ( Z /2 Z , +).

Imagen y núcleo

Definimos el núcleo de h como el conjunto de elementos en G que se asignan a la identidad en H

\operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.

y la imagen de h ser

\operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.

El núcleo y la imagen de un homomorfismo se pueden interpretar como una medida de qué tan cerca está de ser un isomorfismo. El primer teorema del isomorfismo establece que la imagen de un homomorfismo de grupo, h ( G ) es isomorfa al grupo cociente G /ker h .

El núcleo de h es un subgrupo normal de G :

{\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}

y la imagen de h es un subgrupo de H .

El homomorfismo, h , es un monomorfismo de grupo; es decir, h es inyectivo (uno a uno) si y sólo si ker( h ) = { e _G }. La inyección da directamente que hay un elemento único en el kernel y, a la inversa, un elemento único en el kernel da inyección:

{\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}

Ejemplos

Considere el grupo cíclico Z ₃ = ( Z /3 Z , +) = ({0, 1, 2}, +) y el grupo de números enteros ( Z , +). El mapa h : Z → Z /3 Z con h ( u ) = u mod 3 es un homomorfismo de grupo. Es sobreyectivo y su núcleo está formado por todos los números enteros divisibles por 3.

El conjunto
$G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$
forma un grupo bajo multiplicación de matrices. Para cualquier número complejo u la función f _u : G → C ^* definida por
${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$
es un homomorfismo de grupo.
Considere un grupo multiplicativo de números reales positivos ( R ⁺ , ⋅) para cualquier número complejo u . Entonces la función f _u : R ⁺ → C definida por
$f_{u}(a)=a^{u}$
es un homomorfismo de grupo.

El mapa exponencial produce un homomorfismo de grupo del grupo de números reales R con suma al grupo de números reales distintos de cero R * con multiplicación. El núcleo es {0} y la imagen consta de números reales positivos.
El mapa exponencial también produce un homomorfismo de grupo del grupo de números complejos C con suma al grupo de números complejos distintos de cero C * con multiplicación. Este mapa es sobreyectivo y tiene el núcleo {2π ki : k ∈ Z }, como se puede ver en la fórmula de Euler . Los campos como R y C que tienen homomorfismos desde su grupo aditivo hasta su grupo multiplicativo se denominan campos exponenciales .
La función , definida por es un homomorfismo. $\Phi :(\mathbb {N} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)$ $\Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x$
Considere los dos grupos y , representados respectivamente por y , donde están los números reales positivos. Entonces, la función definida por la función logaritmo es un homomorfismo. $(\mathbb {R} ^{+},*)$ $(\mathbb {R} ,+)$ $G$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}$ $f:G\rightarrow H$

Categoría de grupos

Si h : G → H y k : H → K son homomorfismos de grupo, entonces también lo es k ∘ h : G → K . Esto muestra que la clase de todos los grupos, junto con los homomorfismos de grupo como morfismos, forma una categoría .

Homomorfismos de grupos abelianos.

Si G y H son grupos abelianos (es decir, conmutativos), entonces el conjunto Hom( G , H ) de todos los homomorfismos de grupo de G a H es en sí mismo un grupo abeliano: la suma h + k de dos homomorfismos se define por

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) para todo u en G .

Se necesita la conmutatividad de H para demostrar que h + k es nuevamente un homomorfismo de grupo.

La adición de homomorfismos es compatible con la composición de homomorfismos en el siguiente sentido: si f está en Hom( K , G ) , h , k son elementos de Hom( G , H ) y g está en Hom( H , L ) , entonces

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) y g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .

Dado que la composición es asociativa , esto muestra que el conjunto End( G ) de todos los endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo , el anillo de endomorfismo de G. Por ejemplo, el anillo de endomorfismo del grupo abeliano que consiste en la suma directa de m copias de Z / n Z es isomorfo al anillo de m -por - m matrices con entradas en Z / n Z. La compatibilidad anterior también muestra que la categoría de todos los grupos abelianos con homomorfismos de grupo forma una categoría preaditiva ; la existencia de sumas directas y núcleos de buen comportamiento hace de esta categoría el ejemplo prototípico de una categoría abeliana .

Ver también

Referencias

Tonto, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR 1878556, Zbl 0984.00001

enlaces externos

Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Homomorfismo de grupo". MundoMatemático .