Morfismo propio

En geometría algebraica , un morfismo propio entre esquemas es un análogo de una función propia entre espacios analíticos complejos .

Algunos autores llaman variedad propia sobre un cuerpo k variedad completa . Por ejemplo, toda variedad proyectiva sobre un cuerpo k es propia sobre k . Un esquema X de tipo finito sobre los números complejos (por ejemplo, una variedad) es propio sobre C si y sólo si el espacio X ( C ) de puntos complejos con la topología clásica (euclidiana) es compacto y de Hausdorff .

Una inmersión cerrada es propia. Un morfismo es finito si y sólo si es propio y cuasi-finito .

Definición

Un morfismo f : X → Y de esquemas se llama universalmente cerrado si para cada esquema Z con un morfismo Z → Y , la proyección del producto de fibras

${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$

es una función cerrada de los espacios topológicos subyacentes . Un morfismo de esquemas se llama propio si está separado , es de tipo finito y es universalmente cerrado ([EGA] II, 5.4.1 [1]). También se dice que X es propio sobre Y. En particular, se dice que una variedad X sobre un cuerpo k es propia sobre k si el morfismo X → Spec( k ) es propio.

Ejemplos

Para cualquier número natural n , el espacio proyectivo P ⁿ sobre un anillo conmutativo R es propio sobre R . Los morfismos proyectivos son propios, pero no todos los morfismos propios son proyectivos. Por ejemplo, existe una variedad compleja propia suave de dimensión 3 que no es proyectiva sobre C . ^[1] Las variedades afines de dimensión positiva sobre un cuerpo k nunca son propias sobre k . De manera más general, un morfismo afín propio de esquemas debe ser finito. ^[2] Por ejemplo, no es difícil ver que la línea afín A ¹ sobre un cuerpo k no es propia sobre k , porque el morfismo A ¹ → Spec( k ) no es universalmente cerrado. De hecho, el morfismo pull-back

${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}$

(dada por ( x , y ) ↦ y ) no es cerrada, porque la imagen del subconjunto cerrado xy = 1 en A ¹ × A ¹ = A ² es A ¹ − 0, que no es cerrado en A ¹ .

Propiedades y caracterizaciones de los morfismos propios

En lo siguiente, sea f : X → Y un morfismo de esquemas.

• La composición de dos morfismos propios es propia.
• Cualquier cambio de base de un morfismo propio f : X → Y es propio. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × _Y Z → Z es propio.
• La propiedad es una propiedad local en la base (en la topología de Zariski). Es decir, si Y está cubierto por algunos subesquemas abiertos Y _i y la restricción de f a todos los f ⁻¹ (Y _i ) es propia, entonces también lo es f .
• Más fuertemente, la propiedad es local en la base en la topología fpqc . Por ejemplo, si X es un esquema sobre un cuerpo k y E es una extensión de cuerpo de k , entonces X es propia sobre k si y solo si el cambio de base X _E es propio sobre E. ^[3 ]
• Las inmersiones cerradas son adecuadas.
• En términos más generales, los morfismos finitos son propios. Esto es una consecuencia del teorema de ascenso .
• Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y sólo si es propio y cuasi-finito. ^[4] Esto había sido demostrado por Grothendieck si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo que se sigue de los otros supuestos si Y es noetheriano . ^[5]
• Para X propiamente dicho sobre un esquema S , e Y separado sobre S , la imagen de cualquier morfismo X → Y sobre S es un subconjunto cerrado de Y . ^[6] Esto es análogo al teorema en topología de que la imagen de una función continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un subconjunto cerrado.
• El teorema de factorización de Stein establece que cualquier morfismo propio de un esquema localmente noetheriano puede factorizarse como X → Z → Y , donde X → Z es propio, sobreyectivo y tiene fibras geométricamente conectadas, y Z → Y es finito. ^[7]
• El lema de Chow dice que los morfismos propios están estrechamente relacionados con los morfismos proyectivos . Una versión es: si X es propio sobre un esquema cuasi-compacto Y y X tiene sólo un número finito de componentes irreducibles (lo cual es automático para Y noetheriano), entonces hay un morfismo sobreyectivo proyectivo g : W → X tal que W es proyectivo sobre Y . Además, se puede disponer que g es un isomorfismo sobre un subconjunto abierto denso U de X , y que g ⁻¹ ( U ) es denso en W . También se puede disponer que W es integral si X es integral. ^[8]
• El teorema de compactificación de Nagata , generalizado por Deligne, dice que un morfismo separado de tipo finito entre esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados se factoriza como una inmersión abierta seguida de un morfismo propio. ^[9]
• Los morfismos propios entre esquemas localmente noetherianos preservan haces coherentes, en el sentido de que las imágenes directas superiores R ⁱ f _∗ ( F ) (en particular la imagen directa f _∗ ( F )) de un haz coherente F son coherentes (EGA III, 3.2.1). (De manera análoga, para una función propia entre espacios analíticos complejos, Grauert y Remmert demostraron que las imágenes directas superiores preservan haces analíticos coherentes). Como caso muy especial: el anillo de funciones regulares sobre un esquema propio X sobre un cuerpo k tiene dimensión finita como espacio vectorial k . Por el contrario, el anillo de funciones regulares sobre la línea afín sobre k es el anillo polinomial k [ x ], que no tiene dimensión finita como espacio vectorial k .
• También hay una afirmación ligeramente más fuerte de esto: (EGA III, 3.2.4) sea un morfismo de tipo finito, S localmente noetheriano y un módulo. Si el soporte de F es propio sobre S , entonces para cada uno la imagen directa superior es coherente. ${\displaystyle f\colon X\to S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$
• Para un esquema X de tipo finito sobre los números complejos, el conjunto X ( C ) de puntos complejos es un espacio analítico complejo , utilizando la topología clásica (euclidiana). Para X e Y separados y de tipo finito sobre C , un morfismo f : X → Y sobre C es propio si y sólo si la función continua f : X ( C ) → Y ( C ) es propia en el sentido de que la imagen inversa de todo conjunto compacto es compacta. ^[10]
• Si f : X → Y y g : Y → Z son tales que gf es propia y g está separada, entonces f es propia. Esto se puede demostrar fácilmente, por ejemplo, utilizando el siguiente criterio.

Criterio valorativo de idoneidad

Criterio valorativo de idoneidad

Existe un criterio muy intuitivo de propiedad que se remonta a Chevalley . Se denomina comúnmente criterio valuativo de propiedad . Sea f : X → Y un morfismo de tipo finito de esquemas noetherianos . Entonces f es propia si y solo si para todos los anillos de valuación discretos R con cuerpo de fracciones K y para cualquier punto x ∈ X ( K ) de valor K que se mapea a un punto f ( x ) que está definido sobre R , hay una elevación única de x a . (EGA II, 7.3.8). De manera más general, un morfismo cuasi-separado f : X → Y de tipo finito (nota: el tipo finito incluye cuasi-compacto) de 'cualquier' esquema X , Y es apropiado si y solo si para todos los anillos de valuación R con cuerpo de fracción K y para cualquier punto x ∈ X ( K ) con valor K que mapea a un punto f ( x ) que está definido sobre R , hay una elevación única de x a . (Etiquetas del proyecto Stacks 01KF y 01KY). Notando que Spec K es el punto genérico de Spec R y los anillos de valuación discretos son precisamente los anillos unidimensionales locales regulares , uno puede reformular el criterio: dada una curva regular en Y (correspondiente al morfismo s : Spec R → Y ) y dada una elevación del punto genérico de esta curva a X , f es apropiado si y solo si hay exactamente una manera de completar la curva. ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

De manera similar, f se separa si y sólo si en cada uno de estos diagramas hay como máximo un ascensor . ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

Por ejemplo, dado el criterio valuativo, resulta fácil comprobar que el espacio proyectivo P ⁿ es propio sobre un cuerpo (o incluso sobre Z ). Simplemente se observa que para un anillo de valuación discreto R con cuerpo de fracciones K , cada K -punto [ x ₀ ,..., x _n ] del espacio proyectivo proviene de un R -punto, escalando las coordenadas de modo que todas se encuentren en R y al menos una sea una unidad en R .

Interpretación geométrica con discos

Uno de los ejemplos que motivan el criterio valorativo de propiedad es la interpretación de como un disco infinitesimal, o analíticamente complejo, como el disco . Esto proviene del hecho de que toda serie de potencias ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}$ ${\displaystyle \Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}}$

converge en algún disco de radio alrededor del origen. Luego, utilizando un cambio de coordenadas, esto se puede expresar como una serie de potencias en el disco unitario. Entonces, si invertimos , este es el anillo que son las series de potencias que pueden tener un polo en el origen. Esto se representa topológicamente como el disco abierto con el origen eliminado. Para un morfismo de esquemas sobre , esto se da por el diagrama conmutativo ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}$

Entonces, el criterio valorativo de propiedad sería el rellenado del punto en la imagen de . ${\displaystyle 0\in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta ^{*}}$

Ejemplo

Es instructivo observar un contraejemplo para ver por qué el criterio valuativo de propiedad debería cumplirse en espacios análogos a variedades compactas cerradas. Si tomamos y , entonces un morfismo se factoriza a través de una tabla afín de , reduciendo el diagrama a ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}}$ ${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}$

¿Dónde está el gráfico centrado alrededor de ? Esto da el diagrama conmutativo de álgebras conmutativas ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}$

Entonces, un levantamiento del diagrama de esquemas, , implicaría que hay un morfismo que se envía desde el diagrama conmutativo de álgebras. Esto, por supuesto, no puede suceder. Por lo tanto, no es apropiado sobre . ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}$ ${\displaystyle t\mapsto t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Interpretación geométrica con curvas

Hay otro ejemplo similar del criterio valuativo de propiedad que capta parte de la intuición de por qué este teorema debería cumplirse. Consideremos una curva y el complemento de un punto . Entonces el criterio valuativo de propiedad se leería como un diagrama ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C-\{p\}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

con un levantamiento de . Geométricamente, esto significa que cada curva en el esquema se puede completar hasta una curva compacta. Este poco de intuición se alinea con la interpretación teórica del esquema de un morfismo de espacios topológicos con fibras compactas, que una secuencia en una de las fibras debe converger. Debido a que esta situación geométrica es un problema local, el diagrama se reemplaza observando el anillo local , que es un DVR, y su campo de fracciones . Luego, el problema de levantamiento da el diagrama conmutativo ${\displaystyle C\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

donde el esquema representa un disco local alrededor con el punto cerrado eliminado. ${\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Morfismo propio de esquemas formales

Sea un morfismo entre esquemas formales localmente noetherianos . Decimos que f es propio o es propio sobre si (i) f es un morfismo ádico (es decir, mapea el ideal de definición al ideal de definición) y (ii) la función inducida es propia, donde y K es el ideal de definición de . (EGA III, 3.4.1) La definición es independiente de la elección de K . ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

Por ejemplo, si g : Y → Z es un morfismo propio de esquemas localmente noetherianos, Z ₀ es un subconjunto cerrado de Z , e Y ₀ es un subconjunto cerrado de Y tal que g ( Y ₀ ) ⊂ Z ₀ , entonces el morfismo en las compleciones formales es un morfismo propio de esquemas formales. ${\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}$

Grothendieck demostró el teorema de coherencia en este contexto. Es decir, sea un morfismo propio de esquemas formales noetherianos locales. Si F es un haz coherente en , entonces las imágenes directas superiores son coherentes. ^[11] ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$

Véase también

• Teorema de cambio de base propio
• Factorización de Stein

Referencias

1. Hartshorne (1977), Apéndice B, Ejemplo 3.4.1.
2. Liu (2002), Lema 3.3.17.
3. Proyecto Stacks, etiqueta 02YJ.
4. Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Corolario 18.12.4; Proyecto de pilas, etiqueta 02LQ.
5. Grothendieck, EGA IV, Parte 3, Théorème 8.11.1.
6. Proyecto Stacks, Etiqueta 01W0.
7. Proyecto Stacks, Etiqueta 03GX.
8. Grothendieck, EGA II, Corollaire 5.6.2.
9. Conrad (2007), Teorema 4.1.
10. SGA 1, XII Proposición 3.2.
11. Grothendieck, EGA III, Parte 1, Théorème 3.4.2.

• SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961 (Revestimientos de Étale y el grupo fundamental), Lecture Notes in Mathematics 224, 1971
• Conrad, Brian (2007), "Notas de Deligne sobre las compactificaciones de Nagata" (PDF) , Journal of the Ramanujan Mathematical Society , 22 : 205–257, MR  2356346
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084., apartado 5.3. (definición de idoneidad), apartado 7.3. (criterio valorativo de idoneidad)
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 : 5–167. doi :10.1007/bf02684274. SEÑOR  0217085.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR  0217086., sección 15.7. (generalizaciones de criterios valorativos a esquemas no necesariamente noetherianos)
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Liu, Qing (2002), Geometría algebraica y curvas aritméticas , Oxford: Oxford University Press , ISBN 9780191547805, Sr.  1917232

Enlaces externos

• VI Danilov (2001) [1994], "Morfismo propio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks