Morfismo de esquemas

En geometría algebraica, un morfismo de esquemas generaliza un morfismo de variedades algebraicas , de la misma manera que un esquema generaliza una variedad algebraica . Se trata, por definición, de un morfismo de la categoría de esquemas.

Un morfismo de pilas algebraicas generaliza un morfismo de esquemas.

Definición

Por definición, un morfismo de esquemas es simplemente un morfismo de espacios anillados localmente . Los isomorfismos se definen en consecuencia.

Un esquema, por definición, tiene cartas afines abiertas y, por lo tanto, un morfismo de esquemas también puede describirse en términos de dichas cartas (compárese la definición de morfismo de variedades ). ^[1] Sea ƒ: X → Y un morfismo de esquemas. Si x es un punto de X , ya que ƒ es continuo, hay subconjuntos afines abiertos U = Spec A de X que contienen a x y V = Spec B de Y tales que ƒ( U ) ⊆ V . Entonces ƒ: U → V es un morfismo de esquemas afines y, por lo tanto, es inducido por algún homomorfismo de anillo B → A (cf. #Caso afín). De hecho, se puede usar esta descripción para "definir" un morfismo de esquemas; se dice que ƒ: X → Y es un morfismo de esquemas si es inducido localmente por homomorfismos de anillo entre anillos de coordenadas de cartas afines.

• Nota : No sería deseable definir un morfismo de esquemas como un morfismo de espacios anillados. Una razón trivial es que existe un ejemplo de un morfismo de espacio anillado entre esquemas afines que no está inducido por un homomorfismo de anillo (por ejemplo, ^[2] un morfismo de espacios anillados:

  ${\displaystyle \operatorname {Spec} k(x)\to \operatorname {Spec} k[y]_{(y)}=\{\eta =(0),s=(y)\}}$

que envía el punto único a s y que viene con .) Más conceptualmente, la definición de un morfismo de esquemas necesita capturar la "naturaleza local de Zariski" o la localización de los anillos ; ^[3] este punto de vista (es decir, un espacio anillado local) es esencial para una generalización ( topos ). ${\displaystyle k[y]_{(y)}\to k(x),\,y\mapsto x}$

Sea f  : X → Y un morfismo de esquemas con . Entonces, para cada punto x de X , el homomorfismo en los tallos: ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

es un homomorfismo de anillo local : es decir, y por lo tanto induce un homomorfismo inyectivo de campos de residuos ${\displaystyle \phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}}$

${\displaystyle \phi :k(f(x))\hookrightarrow k(x)}$.

(De hecho, φ asigna la n -ésima potencia de un ideal maximal a la n -ésima potencia del ideal maximal y, por lo tanto, induce la función entre los espacios cotangentes (de Zariski) .)

Para cada esquema X , existe un morfismo natural

${\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),}$

que es un isomorfismo si y sólo si X es afín; θ se obtiene uniendo U → objetivo que proviene de restricciones para abrir subconjuntos afines U de X . Este hecho también se puede enunciar de la siguiente manera: para cualquier esquema X y un anillo A , existe una biyección natural:

${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

(Demostración: La función de derecha a izquierda es la biyección requerida. En resumen, θ es una adjunción.) ${\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta }$

Además, este hecho (relación adjunta) se puede utilizar para caracterizar un esquema afín : un esquema X es afín si y sólo si para cada esquema S , la función natural

${\displaystyle \operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}$

es biyectiva. ^[4] (Demostración: si las aplicaciones son biyectivas, entonces y X es isomorfo a por el lema de Yoneda ; el recíproco es claro.) ${\displaystyle \operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Un morfismo como esquema relativo

Fijemos un esquema S , llamado esquema base . Entonces un morfismo se llama esquema sobre S o un S -esquema; la idea de la terminología es que es un esquema X junto con una función al esquema base S . Por ejemplo, un fibrado vectorial E → S sobre un esquema S es un S -esquema. ${\displaystyle p:X\to S}$

Un S -morfismo de p : X → S a q : Y → S es un morfismo ƒ: X → Y de esquemas tales que p = q ∘ ƒ. Dado un S -esquema , considerando a S como un S -esquema sobre sí mismo a través del mapa identidad, un S -morfismo se denomina S -sección o simplemente sección . ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S\to X}$

Todos los esquemas S forman una categoría: un objeto de la categoría es un esquema S y un morfismo de la categoría es un morfismo S. (Esta categoría es la categoría de porción de la categoría de esquemas con el objeto base S ).

Caso afín

Sea un homomorfismo de anillo y sea ${\displaystyle \varphi :B\to A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}}$

sea ​​el mapa inducido. Entonces

• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$es continua. ^[5]
• Si es sobreyectiva, entonces es un homeomorfismo sobre su imagen. ^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$
• Para cada ideal I de A , ^[7] ${\displaystyle {\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).}$
• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$tiene imagen densa si y sólo si el núcleo de consiste en elementos nilpotentes. (Demostración: la fórmula precedente con I = 0.) En particular, cuando B se reduce, tiene imagen densa si y sólo si es inyectiva. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Sea f : Spec A → Spec B un morfismo de esquemas entre esquemas afines con la función pullback : B → A . Que sea un morfismo de espacios anillados localmente se traduce en la siguiente afirmación: si es un punto de Spec A , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x={\mathfrak {p}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})}$.

(Demostración: En general, consiste en g en A que tiene imagen cero en el campo de residuos k ( x ); es decir, tiene imagen en el ideal maximalista . Por lo tanto, trabajando en los anillos locales, . Si , entonces es un elemento unitario y por lo tanto es un elemento unitario.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$ ${\displaystyle g(f(x))\neq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varphi (g)}$

Por tanto, cada homomorfismo de anillo B → A define un morfismo de esquemas Spec A → Spec B y, a la inversa, todos los morfismos entre ellos surgen de esta manera.

Ejemplos

Los básicos

• Sea R un cuerpo o Para cada R -álgebra A , especificar un elemento de A , digamos f en A , es dar un homomorfismo de R -álgebra tal que . Por lo tanto, . Si X es un esquema sobre S = Spec R , entonces tomando y usando el hecho de que Spec es un adjunto derecho al funtor de sección global, obtenemos donde . Nótese que la igualdad es la de los anillos. ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle R[t]\to A}$ ${\displaystyle t\mapsto f}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}$ ${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$
• De manera similar, para cualquier S -esquema X , existe la identificación de los grupos multiplicativos: donde es el esquema del grupo multiplicativo. $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})}$$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])}$
• Muchos ejemplos de morfismos provienen de familias parametrizadas por algún espacio base. Por ejemplo, es un morfismo proyectivo de variedades proyectivas donde el espacio base parametriza cuádricas en . $${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Morfismo de grafos

Dado un morfismo de esquemas sobre un esquema S , el morfismo inducido por la identidad y f se denomina morfismo de grafo de f . El morfismo de grafo de la identidad se denomina morfismo diagonal . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$ ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$

Tipos de morfismos

Tipo finito

Los morfismos de tipo finito son una de las herramientas básicas para construir familias de variedades. Un morfismo es de tipo finito si existe una cubierta tal que las fibras pueden ser cubiertas por un número finito de esquemas afines convirtiendo los morfismos de anillo inducidos en morfismos de tipo finito . Un ejemplo típico de un morfismo de tipo finito es una familia de esquemas. Por ejemplo, ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}$ ${\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B_{ij})}$ ${\displaystyle A_{i}\to B_{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}$

es un morfismo de tipo finito. Un ejemplo simple de morfismo de tipo finito es donde es un cuerpo. Otro es una unión disjunta infinita. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \coprod ^{\infty }X\to X}$

Inmersión cerrada

Un morfismo de esquemas es una inmersión cerrada si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle i:Z\to X}$

1. ${\displaystyle i}$define un homeomorfismo de sobre su imagen ${\displaystyle Z}$
2. ${\displaystyle i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$es sobreyectiva

Esta condición es equivalente a la siguiente: dado un abierto afín existe un ideal tal que ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=U\subseteq X}$ ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$

Ejemplos

Por supuesto, cualquier cociente (graduado) define un subesquema de ( ). Consideremos el esquema cuasi-afín y el subconjunto del eje contenido en . Entonces, si tomamos el subconjunto abierto, el haz ideal es mientras que en el abierto afín no hay ideal ya que el subconjunto no interseca este diagrama. ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])}$

Apartado

Los morfismos separados definen familias de esquemas que son "Hausdorff". Por ejemplo, dado un morfismo separado en los espacios analíticos asociados, ambos son Hausdorff. Decimos que un morfismo de esquema está separado si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada. En topología, una condición análoga para que un espacio sea Hausdorff es si el conjunto diagonal ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}$

es un subconjunto cerrado de . Sin embargo, la mayoría de los esquemas no son Hausdorff como espacios topológicos, ya que la topología de Zariski es en general altamente no Hausdorff. ${\displaystyle X\times X}$

Ejemplos

La mayoría de los morfismos que se encuentran en la teoría de esquemas se separarán. Por ejemplo, considere el esquema afín

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

terminado Dado que el esquema del producto es ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).}$

${\displaystyle X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

El ideal que define la diagonal se genera mediante

${\displaystyle x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y}$

Demostrando que el esquema diagonal es afín y cerrado. Este mismo cálculo se puede utilizar para demostrar que los esquemas proyectivos también están separados.

No-ejemplos

El único momento en que se debe tener cuidado es cuando se unen los esquemas de una familia. Por ejemplo, si tomamos el diagrama de inclusiones

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}}$

Entonces obtenemos el análogo esquemático-teórico de la línea clásica con dos orígenes.

Adecuado

Un morfismo se llama propio si ${\displaystyle f:X\to S}$

1. Esta separado
2. de tipo finito
3. universalmente cerrado

La última condición significa que, dado un morfismo, el morfismo de cambio de base es una inmersión cerrada. La mayoría de los ejemplos conocidos de morfismos propios son, de hecho, proyectivos; pero, se pueden encontrar ejemplos de variedades propias que no son proyectivas utilizando la geometría tórica . ${\displaystyle S'\to S}$ ${\displaystyle S'\times _{S}X}$

Descriptivo

Los morfismos proyectivos definen familias de variedades proyectivas sobre un esquema base fijo. Nótese que hay dos definiciones: la de Hartshornes que establece que un morfismo se llama proyectivo si existe una inmersión cerrada y la definición de EGA que establece que un esquema es proyectivo si existe un módulo cuasi-coherente de tipo finito tal que existe una inmersión cerrada . La segunda definición es útil porque se puede utilizar una secuencia exacta de módulos para definir morfismos proyectivos. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle X\in {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$

Morfismo proyectivo sobre un punto

Un morfismo proyectivo define un esquema proyectivo. Por ejemplo, ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

define una curva proyectiva de género sobre . ${\displaystyle (n-1)(n-1)/2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Familia de hipersuperficies proyectivas

Si dejamos entonces el morfismo proyectivo ${\displaystyle S=\mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{\left(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}}\right)\to S}$

define una familia de variedades de Calabi-Yau que degeneran.

Lápiz Lefschetz

Otra clase útil de ejemplos de morfismos proyectivos son los lápices de Lefschetz: son morfismos proyectivos sobre algún cuerpo . Por ejemplo, dadas hipersuperficies suaves definidas por los polinomios homogéneos, existe un morfismo proyectivo ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}\subseteq \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}$

dando el lapiz.

EGA proyectiva

Un buen ejemplo clásico de un esquema proyectivo es la construcción de morfismos proyectivos que factorizan mediante pergaminos racionales. Por ejemplo, tomemos y el fibrado vectorial . Esto se puede utilizar para construir un fibrado sobre . Si queremos construir un morfismo proyectivo utilizando este haz, podemos tomar una secuencia exacta, como ${\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

que define la estructura del haz del esquema proyectivo en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).}$

Departamento

Intuición

Los morfismos planos tienen una definición algebraica pero tienen una interpretación geométrica muy concreta: las familias planas corresponden a familias de variedades que varían "continuamente". Por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

es una familia de curvas cuadráticas afines suaves que degeneran en el divisor de cruce normal

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)}$

en el origen.

Propiedades

Una propiedad importante que debe satisfacer un morfismo plano es que las dimensiones de las fibras deben ser las mismas. Un simple ejemplo de morfismo plano no es una ampliación, ya que las fibras son puntos o copias de algún . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Definición

Sea un morfismo de esquemas. Decimos que es plano en un punto si el morfismo inducido produce un funtor exacto. Entonces, es plano si es plano en cada punto de . También es fielmente plano si es un morfismo sobreyectivo. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}$ ${\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

No-ejemplo

Usando nuestra intuición geométrica es obvio que

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

no es plana ya que la fibra de encima está con el resto de las fibras son solo un punto. Pero, también podemos comprobar esto usando la definición con álgebra local: Consideremos el ideal Ya que obtenemos un morfismo de álgebra local ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}}$

Si usamos tensor

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathbb {C} [x]_{(x)}}$

con , el mapa ${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

tiene un núcleo distinto de cero debido a la desaparición de . Esto demuestra que el morfismo no es plano. ${\displaystyle xy}$

Sin ramificaciones

Un morfismo de esquemas afines no está ramificado si . Podemos usar esto para el caso general de un morfismo de esquemas . Decimos que no está ramificado en si hay un entorno abierto afín y un entorno abierto afín tal que y Entonces, el morfismo no está ramificado si no está ramificado en cada punto en . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle \Omega _{U/V}=0.}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplo geométrico

Un ejemplo de un morfismo que es plano y genéricamente no ramificado, excepto en un punto, es

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

Podemos calcular los diferenciales relativos utilizando la secuencia

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

demostración

${\displaystyle \Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}$

Si tomamos la fibra , entonces el morfismo se ramifica ya que ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)}$

De lo contrario tenemos

${\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}$

demostrando que no está ramificado en ningún otro lugar.

Étale

Un morfismo de esquemas se llama étale si es plano y no ramificado. Estos son el análogo algebro-geométrico de los espacios de recubrimiento. Los dos ejemplos principales en los que pensar son los espacios de recubrimiento y las extensiones de cuerpo finito separable. Los ejemplos en el primer caso se pueden construir observando los recubrimientos ramificados y restringiéndolos al lugar geométrico no ramificado. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Morfismos como puntos

Por definición, si X , S son esquemas (sobre algún esquema base o anillo B ), entonces un morfismo de S a X (sobre B ) es un S -punto de X y se escribe:

${\displaystyle X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{ over }}B\}}$

para el conjunto de todos los S -puntos de X . Esta noción generaliza la noción de soluciones a un sistema de ecuaciones polinómicas en geometría algebraica clásica. De hecho, sea X = Spec( A ) con . Para una B -álgebra R , dar un R -punto de X es dar un homomorfismo algebraico A → R , lo que a su vez equivale a dar un homomorfismo ${\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

${\displaystyle B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}}$

que mata a f _i . Por lo tanto, hay una identificación natural:

${\displaystyle X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.}$

Ejemplo : si X es un esquema S con mapa de estructura π: X → S , entonces un punto S de X (sobre S ) es lo mismo que una sección de π.

En teoría de categorías , el lema de Yoneda dice que, dada una categoría C , el funtor contravariante

${\displaystyle C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)}$

es completamente fiel (donde significa la categoría de prehaces sobre C ). Aplicando el lema a C = la categoría de esquemas sobre B , esto dice que un esquema sobre B está determinado por sus diversos puntos. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(C)}$

Resulta que, de hecho, es suficiente considerar los puntos S con solo esquemas afines S , precisamente porque los esquemas y morfismos entre ellos se obtienen pegando esquemas y morfismos afines entre ellos. Debido a esto, uno generalmente escribe X ( R ) = X (Spec R ) y ve a X como un funtor de la categoría de B -álgebras conmutativas a Conjuntos .

Ejemplo : Dados los S -esquemas X , Y con mapas de estructura p , q ,

${\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}}$.

Ejemplo : Con B todavía denotando un anillo o esquema, para cada B -esquema X , hay una biyección natural

${\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n}(X)=}${ las clases de isomorfismo de los fibrados de líneas L en X junto con n + 1 secciones globales que generan L . };

De hecho, las secciones s _i de L definen un morfismo . (Véase también Construcción de Proyección#Proyección Global ). ${\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}$

Observación : El punto de vista anterior (que se conoce con el nombre de funtor de puntos y se debe a Grothendieck) ha tenido un impacto significativo en los fundamentos de la geometría algebraica. Por ejemplo, trabajar con un (pseudo)funtor con valor de categoría en lugar de un funtor con valor de conjunto conduce a la noción de pila , que permite realizar un seguimiento de los morfismos entre puntos (es decir, morfismos entre morfismos).

Mapa racional

Una función racional de esquemas se define de la misma manera para las variedades. Así, una función racional de un esquema reducido X a un esquema separado Y es una clase de equivalencia de un par que consiste en un subconjunto denso abierto U de X y un morfismo . Si X es irreducible, una función racional en X es, por definición, una función racional de X a la línea afín o a la línea proyectiva. ${\displaystyle (U,f_{U})}$ ${\displaystyle f_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$

Un mapa racional es dominante si y sólo si envía el punto genérico al punto genérico. ^[8]

Un homomorfismo de anillo entre cuerpos de funciones no necesariamente inducirá una función racional dominante (ni siquiera una función racional). ^[9] Por ejemplo, Spec k [ x ] y Spec k ( x ) y tienen el mismo cuerpo de funciones (a saber, k ( x )) pero no existe una función racional del primero al segundo. Sin embargo, es cierto que cualquier inclusión de cuerpos de funciones de variedades algebraicas induce una función racional dominante (véase morfismo de variedades algebraicas#Propiedades ).

Véase también

• Incrustación regular
• Conjunto construible (topología)
• Homeomorfismo universal

Notas

1. Vakil 2014, Ejercicio 6.3.C.
2. Vakil 2014, Ejercicio 6.2.E.
3. Geometría algebraica derivada V: espacios estructurados (PDF) , 22 de febrero de 2011, § 1.
4. Grothendieck y Dieudonné 1960, Cap. I, Corolario 1.6.4.
5. Demostración: para todo f en A . ${\displaystyle {\varphi ^{a}}^{-1}(D(f))=D(\varphi (f))}$
6. Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. I, Corolario 1.2.4.
7. Grothendieck y Dieudonné 1960, Cap. I, 1.2.2.3.
8. Vakil 2014, Ejercicio 6.5.A
9. Vakil 2014, Un párrafo después del ejercicio 6.5.B

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Milne, Revisión de geometría algebraica en Grupos algebraicos: La teoría de esquemas de grupos de tipo finito sobre un campo.
• Vakil, Ravi (30 de diciembre de 2014), Fundamentos de geometría algebraica (PDF) (Ed. borrador)