Espacio tangente de Zariski

Espacios tangentes en geometría algebraica

En geometría algebraica , el espacio tangente de Zariski es una construcción que define un espacio tangente en un punto P sobre una variedad algebraica V (y de manera más general). No utiliza cálculo diferencial , basándose directamente en álgebra abstracta , y en los casos más concretos sólo en la teoría de un sistema de ecuaciones lineales .

Motivación

Por ejemplo, supongamos que C es una curva plana definida por una ecuación polinómica

F ( X,Y ) = 0

y tome P como el origen (0,0). Borrar términos de orden superior a 1 produciría una lectura de ecuación 'linealizada'

L ( X,Y ) = 0

en el que todos los términos X ^a Y ^b han sido descartados si a + b > 1 .

Tenemos dos casos: L puede ser 0 o puede ser la ecuación de una recta. En el primer caso, el espacio tangente (de Zariski) a C en (0,0) es todo el plano, considerado como un espacio afín bidimensional . En el segundo caso, el espacio tangente es aquella recta, considerada como espacio afín. (La cuestión del origen surge cuando tomamos P como un punto general en C ; es mejor decir "espacio afín" y luego observar que P es un origen natural, en lugar de insistir directamente en que es un espacio vectorial . )

Es fácil ver que sobre el campo real podemos obtener L en términos de las primeras derivadas parciales de F. Cuando ambos son 0 en P , tenemos un punto singular ( punto doble , cúspide o algo más complicado). La definición general es que los puntos singulares de C son los casos en los que el espacio tangente tiene dimensión 2.

Definición

El espacio cotangente de un anillo local R , con máximo ideal se define como ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$

donde ² está dado por el producto de ideales . Es un espacio vectorial sobre el campo residual k:= R/ . Su dual (como k -espacio vectorial) se llama espacio tangente de R. ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Esta definición es una generalización del ejemplo anterior a dimensiones superiores: supongamos que se da una variedad algebraica afín V y un punto v de V. Moralmente, modificar ² corresponde a eliminar los términos no lineales de las ecuaciones que definen V dentro de algún espacio afín, dando así un sistema de ecuaciones lineales que definen el espacio tangente. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

El espacio tangente y el espacio cotangente a un esquema X en un punto P es el espacio (co)tangente de . Debido a la funcionalidad de Spec , el mapa de cociente natural induce un homomorfismo para X =Spec( R ), P un punto en Y =Spec( R/I ). Esto se utiliza para incrustar en . ^[2] Dado que los morfismos de campos son inyectivos, la sobreyección de los campos residuales inducida por g es un isomorfismo. Entonces un morfismo k de los espacios cotangentes es inducido por g , dado por ${\displaystyle T_{P}(X)}$ ${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$ ${\displaystyle f:R\rightarrow R/I}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$ ${\displaystyle T_{P}(Y)}$ ${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}$

${\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).}$

Dado que se trata de una sobreyección, la transpuesta es una inyección. ${\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$

(A menudo se definen los espacios tangente y cotangente de una variedad de manera análoga).

Funciones analíticas

Si V es una subvariedad de un espacio vectorial de n dimensiones, definido por un ideal I , entonces R = F _n / I , donde F _n es el anillo de funciones suaves/analíticas/holomórficas en este espacio vectorial. El espacio tangente de Zariski en x es

metro _norte / ( yo + metro _norte ² ) ,

donde m _n es el ideal máximo que consiste en aquellas funciones en F _n que desaparecen en x .

En el ejemplo plano anterior, I = ( F ( X,Y )) y I+m ² = ( L ( X,Y )) +m ² .

Propiedades

Si R es un anillo local noetheriano , la dimensión del espacio tangente es al menos la dimensión de R :

${\displaystyle \dim {{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geq \dim {R}}}$

R se llama regular si se cumple la igualdad. En un lenguaje más geométrico, cuando R es el anillo local de una variedad V en un punto v , también se dice que v es un punto regular. De lo contrario se llama punto singular .

El espacio tangente tiene una interpretación en términos de K [ t ] / ( t ² ), los números duales de K ; en el lenguaje de los esquemas , los morfismos de Spec K [ t ] / ( t ² ) a un esquema X sobre K corresponden a una elección de un punto racional x ∈ X(k) y un elemento del espacio tangente en x . ^[3] Por tanto, también se habla de vectores tangentes . Ver también: espacio tangente a un funtor .

En general, la dimensión del espacio tangente de Zariski puede ser extremadamente grande. Por ejemplo, sea el anillo de funciones de valor real continuamente diferenciables en . Definir como el anillo de gérmenes de dichas funciones en el origen. Entonces R es un anillo local y su máximo ideal m está formado por todos los gérmenes que desaparecen en el origen. Las funciones para definen vectores linealmente independientes en el espacio cotangente de Zariski , por lo que la dimensión de es al menos la cardinalidad del continuo. Por tanto , la dimensión del espacio tangente de Zariski es al menos . Por otro lado, el anillo de gérmenes de funciones suaves en un punto de una n -variedad tiene un espacio cotangente de Zariski n -dimensional. ^[a] ${\displaystyle C^{1}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in (1,2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})^{*}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

Ver también

• Cono tangente
• Jet (matemáticas)

Notas

1. https://mathoverflow.net/questions/44705/cardinalities-larger-than-the-continuum-in-areas-besides-set-theory/44733#44733 ^{[ se necesita mejor fuente ]}

Citas

1. Eisenbud y Harris 1998, I.2.2, pág. 26.
2. James McKernan , La suavidad y el espacio tangente de Zariski , 18.726 Primavera de 2011 Conferencia 5
3. Hartshorne 1977, Ejercicio II 2.8.

Fuentes

• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998). La geometría de los esquemas. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5– vía Archivo de Internet .
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría Algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 52. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. SEÑOR  0463157.
• Zariski, Óscar (1947). "El concepto de punto simple de una variedad algebraica abstracta". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 62 : 1–52. doi : 10.1090/S0002-9947-1947-0021694-1 . Señor  0021694. Zbl  0031.26101.

enlaces externos

• Espacio tangente de Zariski. VI Danilov (creador), Enciclopedia de Matemáticas.