Morfismo diagonal (geometría algebraica)

En geometría algebraica, dado un morfismo de esquemas , el morfismo diagonal ${\displaystyle p:X\to S}$

${\displaystyle \delta :X\to X\times _{S}X}$

es un morfismo determinado por la propiedad universal del producto de fibras de p y p aplicado a la identidad y la identidad . ${\displaystyle X\times _{S}X}$ ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$ ${\displaystyle 1_{X}}$

Es un caso especial de un morfismo de grafo : dado un morfismo sobre S , su morfismo de grafo es inducido por y la identidad . La incrustación diagonal es el morfismo de grafo de . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1_{X}}$ ${\displaystyle 1_{X}}$

Por definición, X es un esquema separado sobre S ( es un morfismo separado ) si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada . Además, un morfismo localmente de presentación finita es un morfismo no ramificado si y solo si la incrustación diagonal es una inmersión abierta. ${\displaystyle p:X\to S}$ ${\displaystyle p:X\to S}$

Explicación

Como ejemplo, considere una variedad algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k y la función de estructura. Luego, identificando X con el conjunto de sus puntos k -racionales, y se da como ; de ahí el nombre de morfismo diagonal. ${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$ ${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$

Morfismo separado

Un morfismo separado es un morfismo tal que el producto de fibra de consigo mismo a lo largo tiene su diagonal como un subesquema cerrado; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

En consecuencia, un esquema está separado cuando la diagonal de dentro del esquema producto de consigo mismo es una inmersión cerrada. Poniendo el énfasis en el punto de vista relativo, se podría definir equivalentemente que un esquema está separado si el morfismo único está separado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Nótese que un espacio topológico Y es Hausdorff si y solo si la incrustación diagonal

${\displaystyle Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)}$

está cerrado. En geometría algebraica, se utiliza la formulación anterior porque un esquema que es un espacio de Hausdorff es necesariamente vacío o cero-dimensional. La diferencia entre el contexto topológico y el algebro-geométrico proviene de la estructura topológica del producto de fibras (en la categoría de esquemas) , que es diferente del producto de espacios topológicos. ${\displaystyle X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X}$

Cualquier esquema afín Spec A está separado, porque la diagonal corresponde a la función sobreyectiva de anillos (por lo tanto es una inmersión cerrada de esquemas):

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'}$.

Sea un esquema obtenido al identificar dos líneas afines a través del mapa identidad excepto en los orígenes (ver esquema de pegado#Ejemplos ). No está separado. ^[1] De hecho, la imagen de la imagen del morfismo diagonal tiene dos orígenes, mientras que su cierre contiene cuatro orígenes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\to S\times S}$

Uso en la teoría de intersecciones

Una forma clásica de definir el producto de intersección de ciclos algebraicos en una variedad suave X es intersectando (restringiendo) su producto cartesiano con (a) la diagonal: precisamente, ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)}$

¿Dónde está el retroceso a lo largo de la incrustación diagonal ? ${\displaystyle \delta ^{*}}$ ${\displaystyle \delta :X\to X\times X}$

Véase también

• incrustación regular
• Morfismo diagonal

Referencias

1. Hartshorne 1977, Ejemplo 4.0.1.

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157