Campo de fracciones

Concepto de álgebra abstracta

En álgebra abstracta , el cuerpo de fracciones de un dominio integral es el cuerpo más pequeño en el que puede estar incluido . La construcción del cuerpo de fracciones se basa en la relación entre el dominio integral de los números enteros y el cuerpo de los números racionales . Intuitivamente, consiste en proporciones entre elementos del dominio integral.

El campo de fracciones de un dominio integral se denota a veces por o , y la construcción a veces también se llama campo de fracciones , campo de cocientes o campo de cocientes de . Los cuatro son de uso común, pero no deben confundirse con el cociente de un anillo por un ideal , que es un concepto bastante diferente. Para un anillo conmutativo que no es un dominio integral, la construcción análoga se llama localización o anillo de cocientes. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$ ${\displaystyle R}$

Definición

Dado un dominio integral y siendo , definimos una relación de equivalencia en siendo siempre que . Denotamos la clase de equivalencia de por . Esta noción de equivalencia está motivada por los números racionales , que tienen la misma propiedad con respecto al anillo subyacente de números enteros. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle R\times R^{*}}$ ${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$ ${\displaystyle nb=md}$ ${\displaystyle (n,d)}$ ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Entonces el campo de fracciones es el conjunto con adición dada por ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

y la multiplicación dada por

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

Se puede comprobar que estas operaciones están bien definidas y que, para cualquier dominio integral , es efectivamente un cuerpo. En particular, para , el inverso multiplicativo de es como se esperaba: . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$ ${\displaystyle n,d\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$

La incrustación de in asigna cada in a la fracción para cualquier valor distinto de cero (la clase de equivalencia es independiente de la elección ). Esto se basa en la identidad . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$ ${\displaystyle e\in R}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$

El campo de fracciones de se caracteriza por la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle R}$

si es un homomorfismo de anillo inyectivo de en un cuerpo , entonces existe un homomorfismo de anillo único que extiende . ${\displaystyle h:R\to F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$ ${\displaystyle h}$

Hay una interpretación categórica de esta construcción. Sea la categoría de dominios integrales y mapas de anillos inyectivos. El funtor de a la categoría de cuerpos que lleva cada dominio integral a su cuerpo fraccionario y cada homomorfismo al mapa inducido en cuerpos (que existe por la propiedad universal) es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de cuerpos a . Por lo tanto, la categoría de cuerpos (que es una subcategoría completa) es una subcategoría reflexiva de . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

No se requiere una identidad multiplicativa para el rol del dominio integral; esta construcción se puede aplicar a cualquier generador aleatorio conmutativo distinto de cero sin divisores de cero distintos de cero . La incrustación está dada por para cualquier distinto de cero . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$ ${\displaystyle s\in R}$

Ejemplos

• El campo de las fracciones del anillo de los números enteros es el campo de los racionales : . ${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$
• Sea el anillo de números enteros gaussianos . Luego , el campo de números racionales gaussianos . ${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$
• El campo de fracciones de un campo es canónicamente isomorfo al campo mismo.
• Dado un campo , el campo de fracciones del anillo de polinomios en un indeterminado (que es un dominio integral), se llama ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X]}$campo de funciones racionales ,campo de fracciones racionalesocampo de expresiones racionales^[2][3][4][5]y se denota. ${\displaystyle K(X)}$
• El campo de fracciones del anillo de convolución de funciones de semirrecta produce un espacio de operadores , que incluye la función delta de Dirac , el operador diferencial y el operador integral . Esta construcción proporciona una representación alternativa de la transformada de Laplace que no depende explícitamente de una transformada integral. ^[6]

Generalizaciones

Localización

Para cualquier anillo conmutativo y cualquier conjunto multiplicativo en , la localización es el anillo conmutativo que consiste en fracciones ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

con y , donde ahora es equivalente a si y sólo si existe tal que . ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r',s')}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

Cabe destacar dos casos especiales de esto:

• Si es el complemento de un ideal primo , entonces también se denota . Cuando es un dominio integral y es el ideal cero, es el campo de fracciones de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{P}}$
  ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{P}}$ ${\displaystyle R}$
• Si es el conjunto de divisores distintos de cero en , entonces se denomina anillo de cociente total . El anillo de cociente total de un dominio integral es su cuerpo de fracciones, pero el anillo de cociente total está definido para cualquier anillo conmutativo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$
  

Tenga en cuenta que se permite que contenga 0, pero en ese caso será el anillo trivial . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Semicampo de fracciones

El semicuerpo de fracciones de un semianillo conmutativo sin divisores de cero es el semicuerpo más pequeño en el que puede estar incluido .

Los elementos del semicuerpo de fracciones del semianillo conmutativo son clases de equivalencia escritas como ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

con y en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$

Véase también

• Condición del mineral ; condición relacionada con la construcción de fracciones en el caso no conmutativo.
• Anillo total de fracciones

Referencias

1. Hungerford, Thomas W. (1980). Álgebra (3.ª edición revisada). Nueva York: Springer. Págs. 142-144. ISBN. 3540905189.
2. Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). Un curso de álgebra. American Mathematical Society. pág. 131. ISBN 978-0-8218-8394-5.
3. Foldes, Stephan (1994). Estructuras fundamentales del álgebra y las matemáticas discretas . Wiley. pág. 128. ISBN 0-471-57180-6.
4. Grillet, Pierre Antoine (2007). "3.5 Anillos: polinomios en una variable". Álgebra abstracta . Springer. pág. 124. ISBN 978-0-387-71568-1.
5. Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 de mayo de 2020). Álgebra intermedia 2.ª ed. OpenStax . §7.1.
6. Mikusiński, Jan (14 de julio de 2014). Cálculo operacional. Elsevier. ISBN 9781483278933.