En matemáticas , y más específicamente en álgebra abstracta , un rng (o anillo no unitario o pseudoanillo ) es una estructura algebraica que satisface las mismas propiedades que un anillo , pero sin asumir la existencia de una identidad multiplicativa . El término rng (IPA: / r ʌ ŋ / ) pretende sugerir que es un anillo sin i , es decir, sin el requisito de un elemento identidad. [1]
No hay consenso en la comunidad sobre si la existencia de una identidad multiplicativa debe ser uno de los axiomas del anillo (ver Anillo (matemáticas) § Historia ). El término rng fue acuñado para aliviar esta ambigüedad cuando la gente quiere referirse explícitamente a un anillo sin el axioma de identidad multiplicativa.
Varias álgebras de funciones consideradas en el análisis no son unitarias, por ejemplo, el álgebra de funciones que decrecen a cero en el infinito, especialmente aquellas con soporte compacto en algún espacio (no compacto ).
Formalmente, un rng es un conjunto R con dos operaciones binarias (+, ·) llamadas adición y multiplicación tales que
Un homomorfismo de rng es una función f : R → S de un rng a otro tal que
para todos los x e y en R.
Si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo R → S es lo mismo que un homomorfismo de anillo aleatorio R → S que asigna 1 a 1.
Todos los anillos son generadores de números aleatorios. Un ejemplo sencillo de un generador de números aleatorios que no es un anillo lo constituyen los números enteros pares con la suma y multiplicación ordinaria de números enteros. Otro ejemplo lo constituye el conjunto de todas las matrices reales de 3 por 3 cuya fila inferior es cero. Ambos ejemplos son ejemplos del hecho general de que todo ideal (unilateral o bilateral) es un generador de números aleatorios.
Los rng suelen aparecer de forma natural en el análisis funcional cuando se consideran operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión infinita. Tomemos, por ejemplo, cualquier espacio vectorial de dimensión infinita V y consideremos el conjunto de todos los operadores lineales f : V → V con rango finito (es decir, dim f ( V ) < ∞ ). Junto con la adición y la composición de operadores, este es un rng, pero no un anillo. Otro ejemplo es el rng de todas las secuencias reales que convergen a 0, con operaciones componente por componente.
Además, muchos espacios de funciones de prueba que aparecen en la teoría de distribuciones consisten en funciones que decrecen hasta cero en el infinito, como por ejemplo el espacio de Schwartz . Por lo tanto, la función siempre igual a uno, que sería el único elemento de identidad posible para la multiplicación puntual, no puede existir en tales espacios, que por lo tanto son rng (para la suma y multiplicación puntuales). En particular, las funciones continuas de valor real con soporte compacto definido en algún espacio topológico , junto con la suma y multiplicación puntuales, forman un rng; este no es un anillo a menos que el espacio subyacente sea compacto .
El conjunto 2 Z de números enteros pares es cerrado bajo adición y multiplicación y tiene identidad aditiva, 0, por lo que es un rng, pero no tiene identidad multiplicativa, por lo que no es un anillo.
En 2 Z , el único idempotente multiplicativo es 0, el único nilpotente es 0 y el único elemento con inverso reflexivo es 0.
La suma directa equipada con adición y multiplicación por coordenadas es un generador de números aleatorios con las siguientes propiedades:
donde nf debe interpretarse mediante sumas y restas repetidas, ya que n no necesita representar un elemento de R. De manera similar, el ideal izquierdo generado por los elementos f 1 , ..., f m de un rng R es
una fórmula que se remonta a Emmy Noether . [2] Surgen complicaciones similares en la definición de submódulo generado por un conjunto de elementos de un módulo.Cada anillo R puede ampliarse a un anillo R ^ mediante la adición de un elemento identidad. Una forma general de hacer esto es agregar formalmente un elemento identidad 1 y dejar que R ^ consista en combinaciones lineales integrales de 1 y elementos de R con la premisa de que ninguno de sus múltiplos integrales distintos de cero coincida o esté contenido en R . Es decir, los elementos de R ^ tienen la forma
donde n es un número entero y r ∈ R . La multiplicación se define por linealidad:
Más formalmente, podemos tomar R ^ como el producto cartesiano Z × R y definir la suma y la multiplicación por
La identidad multiplicativa de R ^ es entonces (1, 0) . Existe un homomorfismo de rng natural j : R → R ^ definido por j ( r ) = (0, r ) . Esta función tiene la siguiente propiedad universal :
La función g se puede definir por g ( n , r ) = n · 1 S + f ( r ) .
Existe un homomorfismo natural de anillo sobreyectivo R ^ → Z que envía ( n , r ) a n . El núcleo de este homomorfismo es la imagen de R en R ^ . Como j es inyectivo , vemos que R está incluido como un ideal (bilateral) en R ^ con el anillo cociente R ^/ R isomorfo a Z . De ello se deduce que
Obsérvese que j nunca es sobreyectiva. Por lo tanto, incluso cuando R ya tiene un elemento identidad, el anillo R ^ será uno más grande con una identidad diferente. El anillo R ^ se suele llamar la extensión Dorroh de R en honor al matemático estadounidense Joe Lee Dorroh, quien lo construyó por primera vez. [3]
El proceso de adjuntar un elemento identidad a un rng se puede formular en el lenguaje de la teoría de categorías . Si denotamos la categoría de todos los anillos y homomorfismos de anillos por Ring y la categoría de todos los rng y homomorfismos de rng por Rng , entonces Ring es una subcategoría (no completa) de Rng . La construcción de R ^ dada anteriormente produce un adjunto izquierdo al funtor de inclusión I : Ring → Rng . Nótese que Ring no es una subcategoría reflexiva de Rng porque el funtor de inclusión no es completo.
Existen varias propiedades que se han considerado en la literatura que son más débiles que tener un elemento identidad, pero no son tan generales. Por ejemplo:
No es difícil comprobar que cada una de estas propiedades es más débil que tener un elemento identidad y más débil que la propiedad que la precede.
Un rng de cuadrado cero es un rng R tal que xy = 0 para todos los x e y en R . [4] Cualquier grupo abeliano puede convertirse en un rng de cuadrado cero definiendo la multiplicación de modo que xy = 0 para todos los x e y ; [5] por lo tanto, cada grupo abeliano es el grupo aditivo de algún rng. El único rng de cuadrado cero con una identidad multiplicativa es el anillo cero {0}. [5]
Cualquier subgrupo aditivo de un grupo aleatorio de cero al cuadrado es un ideal . Por lo tanto, un grupo aleatorio de cero al cuadrado es simple si y solo si su grupo aditivo es un grupo abeliano simple, es decir, un grupo cíclico de orden primo. [6]
Dadas dos álgebras unitarias A y B , un homomorfismo de álgebra
es unital si asigna el elemento identidad de A al elemento identidad de B.
Si el álgebra asociativa A sobre el cuerpo K no es unital, se puede adjuntar un elemento identidad de la siguiente manera: tomar A × K como K - espacio vectorial subyacente y definir la multiplicación ∗ por
para x , y en A y r , s en K . Entonces ∗ es una operación asociativa con elemento identidad (0, 1) . La antigua álgebra A está contenida en la nueva, y de hecho A × K es el álgebra unitaria "más general" que contiene a A , en el sentido de construcciones universales .
