En matemáticas, un grupo de Weil , introducido por Weil (1951), es una modificación del grupo absoluto de Galois de un cuerpo local o global , utilizado en la teoría de cuerpos de clase . Para un cuerpo de este tipo , F , su grupo de Weil se denota generalmente como W F. También existen modificaciones de "nivel finito" de los grupos de Galois: si E / F es una extensión finita , entonces el grupo de Weil relativo de E / F es W E / F = W F / W c
E (donde el superíndice c denota el subgrupo conmutador ).
Para más detalles sobre los grupos de Weil, consulte (Artin y Tate 2009) o (Tate 1979) o (Weil 1951).
El grupo de Weil de una formación de clases con clases fundamentales u E / F ∈ H 2 ( E / F , A F ) es un tipo de grupo de Galois modificado, utilizado en varias formulaciones de la teoría de campos de clases, y en particular en el programa Langlands .
Si E / F es una capa normal, entonces el grupo de Weil (relativo) W E / F de E / F es la extensión
correspondiente (usando la interpretación de elementos en la cohomología del segundo grupo como extensiones centrales) a la clase fundamental u E / F en H 2 (Gal( E / F ), A F ). El grupo de Weil de toda la formación se define como el límite inverso de los grupos de Weil de todas las capas G / F , para F un subgrupo abierto de G .
El mapa de reciprocidad de la formación de clases ( G , A ) induce un isomorfismo de A G a la abelianización del grupo de Weil.
Para los cuerpos locales arquimedianos el grupo de Weil es fácil de describir: para C es el grupo C × de números complejos distintos de cero, y para R es una extensión no dividida del grupo de Galois de orden 2 por el grupo de números complejos distintos de cero, y puede identificarse con el subgrupo C × ∪ j C × de los cuaterniones distintos de cero.
Para cuerpos finitos el grupo de Weil es cíclico infinito . Un generador distinguible lo proporciona el automorfismo de Frobenius . Ciertas convenciones sobre terminología, como el Frobenius aritmético , se remontan a la fijación aquí de un generador (como el Frobenius o su inverso).
Para un cuerpo local de característica p > 0, el grupo de Weil es el subgrupo del grupo absoluto de Galois de elementos que actúa como una potencia del automorfismo de Frobenius sobre el cuerpo constante (la unión de todos los subcuerpos finitos).
Para los campos p -ádicos, el grupo de Weil es un subgrupo denso del grupo de Galois absoluto, y consiste en todos los elementos cuya imagen en el grupo de Galois del campo de residuos es una potencia integral del automorfismo de Frobenius.
Más concretamente, en estos casos, el grupo de Weil no tiene la topología de subespacio, sino una topología más fina. Esta topología se define dando al subgrupo de inercia su topología de subespacio e imponiéndole que sea un subgrupo abierto del grupo de Weil. (La topología resultante es " localmente profinita ").
Para los campos globales de característica p > 0 (campos funcionales), el grupo de Weil es el subgrupo del grupo absoluto de Galois de elementos que actúa como una potencia del automorfismo de Frobenius sobre el campo constante (la unión de todos los subcampos finitos).
Para los cuerpos de números no se conoce ninguna construcción "natural" del grupo de Weil sin utilizar cociclos para construir la extensión. La función del grupo de Weil al grupo de Galois es sobreyectiva, y su núcleo es el componente conexo de la identidad del grupo de Weil, lo cual es bastante complicado.
El esquema de grupo de Weil–Deligne (o simplemente grupo de Weil–Deligne ) W ′ K de un cuerpo local no arquimediano, K , es una extensión del grupo de Weil W K mediante un esquema de grupo aditivo unidimensional G a , introducido por Deligne (1973, 8.3.6). En esta extensión, el grupo de Weil actúa sobre el grupo aditivo mediante
donde w actúa sobre el campo de residuos de orden q como a → a || w || con || w || una potencia de q .
La correspondencia local de Langlands para GL n sobre K (ahora probada) establece que existe una biyección natural entre clases de isomorfismo de representaciones admisibles irreducibles de GL n ( K ) y ciertas representaciones n -dimensionales del grupo de Weil–Deligne de K .
El grupo de Weil-Deligne suele aparecer a través de sus representaciones. En tales casos, el grupo de Weil-Deligne a veces se considera W K × SL (2, C ) o W K × SU (2, R ), o simplemente se lo elimina y se utilizan en su lugar representaciones de Weil-Deligne de W K. [1]
En el caso arquimediano, el grupo de Weil-Deligne se define simplemente como el grupo de Weil.
