Variedad abeliana semiestable

En geometría algebraica , una variedad abeliana semiestable es una variedad abeliana definida sobre un cuerpo global o local , que se caracteriza por cómo se reduce en los primos del cuerpo.

Para una variedad abeliana definida sobre un cuerpo con anillo de enteros , considérese el modelo de Néron de , que es un modelo 'mejor posible' de definido sobre . Este modelo puede representarse como un esquema sobre (cf. espectro de un anillo ) para el cual la fibra genérica construida por medio del morfismo devuelve . El modelo de Néron es un esquema de grupo suave , por lo que podemos considerar , el componente conexo del modelo de Néron que contiene la identidad para la ley de grupo. Este es un esquema de subgrupo abierto del modelo de Néron. Para un cuerpo de residuos , es una variedad de grupo sobre , por lo tanto una extensión de una variedad abeliana por un grupo lineal. Si este grupo lineal es un toro algebraico , de modo que es una variedad semiabeliana , entonces tiene reducción semiestable en el primo correspondiente a . Si es un cuerpo global , entonces es semiestable si tiene reducción buena o semiestable en todos los primos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} (F)\to \mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{k}^{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{k}^{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

El teorema fundamental de reducción semiestable de Alexander Grothendieck establece que una variedad abeliana adquiere reducción semiestable sobre una extensión finita de . ^[1] ${\displaystyle F}$

Curva elíptica semiestable

Una curva elíptica semiestable puede describirse más concretamente como una curva elíptica que tiene mala reducción solo de tipo multiplicativo. ^[2] Supóngase que E es una curva elíptica definida sobre el cuerpo de números racionales . Se sabe que hay un conjunto finito , no vacío S de números primos p para el cual E tiene mala reducción módulo p . Esto último significa que la curva obtenida por reducción de E al cuerpo primo con p elementos tiene un punto singular . En términos generales, la condición de reducción multiplicativa equivale a decir que el punto singular es un punto doble , en lugar de una cúspide . ^[3] Decidir si esta condición se cumple es efectivamente computable por el algoritmo de Tate . ^{[4] [5]} Por lo tanto, en un caso dado es decidible si la reducción es o no semiestable, es decir, reducción multiplicativa en el peor de los casos. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E_{p}}$

El teorema de reducción semiestable para E también puede hacerse explícito: E adquiere reducción semiestable sobre la extensión de F generada por las coordenadas de los puntos de orden 12. ^{[6] [5]}

Referencias

1. Grothendieck (1972) Théorème 3.6, pág. 351
2. Husemöller (1987) págs.116-117
3. Husemoller (1987) págs. 116-117
4. Husemöller (1987) págs.266-269
5. Tate, John (1975), "Algoritmo para determinar el tipo de una fibra singular en un lápiz elíptico", en Birch, BJ ; Kuyk, W. (eds.), Funciones modulares de una variable IV , Lecture Notes in Mathematics, vol. 476, Berlín / Heidelberg: Springer, págs. 33–52, doi :10.1007/BFb0097582, ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN  1617-9692, SEÑOR  0393039, Zbl  1214.14020
6. Esto está implícito en Husemöller (1987) pp.117-118

• Grothendieck, Alexandre (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1967-69 - Groupes de monodromie en géométrie algébrique - (SGA 7) - vol. 1 . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 288. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . viii+523. doi :10.1007/BFb0068688. ISBN 978-3-540-05987-5.Sr. 0354656  .
• Husemöller, Dale H. (1987). Curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 111. Con un apéndice de Ruth Lawrence . Springer-Verlag . ISBN. 0-387-96371-5.Zbl 0605.14032  .
• Lang, Serge (1997). Encuesta sobre geometría diofántica . Springer-Verlag . pág. 70. ISBN. 3-540-61223-8.Zbl 0869.11051  .