En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , dado un morfismo f : X → Y y un morfismo g : Z → Y , una elevación de f a Z es un morfismo h : X → Z tal que f = g ∘ h . Decimos que f se factoriza a través de h .
Los ascensores son omnipresentes; por ejemplo, la definición de fibraciones (ver Propiedad de elevación de homotopía ) y los criterios valorativos de mapas separados y propios de esquemas se formulan en términos de existencia y (en el último caso) unicidad de ciertos ascensores.
En topología algebraica y álgebra homológica , el producto tensorial y el funtor Hom son adjuntos ; sin embargo, no siempre pueden elevarse a una sucesión exacta . Esto conduce a la definición del funtor Tor y del funtor Ext .
Un ejemplo básico en topología es la elevación de un camino en un espacio topológico a un camino en un espacio de cobertura . [1] Por ejemplo, considere la aplicación de puntos opuestos en una esfera al mismo punto, una aplicación continua de la esfera que cubre el plano proyectivo . Una ruta en el plano proyectivo es una aplicación continua del intervalo unitario [0,1]. Podemos elevar dicho camino a la esfera eligiendo uno de los dos puntos de la esfera que se asignan al primer punto en el camino, y luego mantener la continuidad. En este caso, cada uno de los dos puntos de partida fuerza una ruta única en la esfera, la elevación de la ruta en el plano proyectivo. Por lo tanto, en la categoría de espacios topológicos con aplicaciones continuas como morfismos, tenemos
Las notaciones de la lógica de predicados de primer orden se simplifican cuando los cuantificadores se relegan a dominios y rangos establecidos de relaciones binarias . Gunther Schmidt y Michael Winter han ilustrado el método de elevar las expresiones lógicas tradicionales de la topología al cálculo de relaciones en su libro Relational Topology [2] . Su objetivo es "elevar los conceptos a un nivel relacional, haciéndolos libres de puntos y de cuantificadores, liberándolos así del estilo de la lógica de predicados de primer orden y acercándolos a la claridad del razonamiento algebraico".
Por ejemplo, una función parcial M corresponde a la inclusión donde denota la relación de identidad en el rango de M. "La notación para cuantificación está oculta y permanece profundamente incorporada en la tipificación de las operaciones relacionales (aquí transposición y composición) y sus reglas".
Para los mapas de un círculo, la definición de una elevación a la línea real es ligeramente diferente (una aplicación común es el cálculo del número de rotación ). Dado un mapa en un círculo, , una elevación de , , es cualquier mapa en la línea real, , para el cual existe una proyección (o mapa de cobertura ), , tal que . [3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&[0,1]\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (trayectoria del plano proyectivo)}}\\g\colon \,&S^{2}\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (mapa de cobertura)}}\\h\colon \,&[0,1]\to S^{2}&&\ {\text{ (trayectoria de la esfera)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94309ac4e26b4364471069b349c643e2d12234f8)
