Adjunción tensorial-hom

En matemáticas , la conjunción tensor-hom es que el producto tensorial y el functor hom forman un par adjunto : ${\displaystyle -\otimes X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}$

Esto se hace más preciso a continuación. El orden de los términos en la frase "adjunción tensor-hom" refleja su relación: tensor es el adjunto izquierdo, mientras que hom es el adjunto derecho.

Declaración general

Digamos que R y S son anillos (posiblemente no conmutativos) y considere las categorías de módulos de la derecha (una afirmación análoga es válida para los módulos de la izquierda):

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}$

Arregle un -bimódulo y defina functores de la siguiente manera: ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{for }}Y\in {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{for }}Z\in {\mathcal {C}}}$

Luego se deja adjunto a . Esto significa que hay un isomorfismo natural. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}$

En realidad, esto es un isomorfismo de grupos abelianos . Más precisamente, si es un -bimódulo y es un -bimódulo, entonces este es un isomorfismo de -bimódulos. Este es uno de los ejemplos motivadores de la estructura en bicategoría cerrada . ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (A,R)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (B,S)}$ ${\displaystyle (B,A)}$

Unidad y unidad

Como todas las conjunciones, la conjunción tensorial-hom se puede describir mediante sus transformaciones naturales de unidad y cuenta . Usando la notación de la sección anterior, la unidad

${\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}$

tiene componentes

${\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}$

dado por evaluación: Para

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,}$

${\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).}$

Los componentes de la unidad.

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}$

${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

se definen de la siguiente manera: Para en , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

es un homomorfismo de módulo derecho dado por ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.}$

Las ecuaciones unitarias y de unidades ahora se pueden verificar explícitamente. Para en , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}$

está dada en tensores simples de por ${\displaystyle Y\otimes X}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}$

Asimismo,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

Para en , ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )}$

es un homomorfismo de módulo derecho definido por ${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}$

y por lo tanto

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}$

Los functores Ext y Tor

El funtor Hom conmuta con límites arbitrarios, mientras que el funtor producto tensorial conmuta con colimits arbitrarios que existen en su categoría de dominio. Sin embargo, en general, no logra conmutar con colimits y no conmuta con límites; este fallo ocurre incluso entre límites finitos o colimits. Esta imposibilidad de preservar secuencias cortas y exactas motiva la definición del funtor Ext y del funtor Tor . ${\displaystyle \hom(X,-)}$ ${\displaystyle -\otimes X}$ ${\displaystyle \hom(X,-)}$ ${\displaystyle -\otimes X}$

Ver también

• Zurra
• funtor externo
• funtor tor
• cambio de anillos

Referencias

1. Mayo, JP; Sigurdsson, J. (2006). Teoría de la homotopía parametrizada . AMS pág. 253.ISBN​ 0-8218-3922-5.

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9