funtor externo

Construcción en álgebra homológica

En matemáticas , los functores Ext son los functores derivados del funtor Hom . Junto con el functor Tor , Ext es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en el que se utilizan ideas de la topología algebraica para definir invariantes de estructuras algebraicas. La cohomología de grupos , álgebras de Lie y álgebras asociativas se pueden definir en términos de Ext. El nombre proviene del hecho de que el primer grupo Ext Ext ¹ clasifica extensiones de un módulo por otro.

En el caso especial de los grupos abelianos , Ext fue introducido por Reinhold Baer (1934). Fue nombrado por Samuel Eilenberg y Saunders MacLane (1942) y aplicado a la topología (el teorema del coeficiente universal para la cohomología ). Para módulos sobre cualquier anillo , Ext fue definida por Henri Cartan y Eilenberg en su libro Homological Algebra de 1956 . ^[1]

Definición

Sea R un anillo y sea R -Mod la categoría de módulos sobre R . (Se puede entender que esto significa módulos R izquierdos o módulos R derechos ). Para un módulo R fijo A , sea T ( B ) = Hom _R ( A , B ) para B en R -Mod. (Aquí Hom _R ( A , B ) es el grupo abeliano de R -maps lineales de A a B ; este es un R -módulo si R es conmutativo .) Este es un funtor exacto izquierdo de R -Mod a la categoría de abeliano grupos Ab, por lo que tiene funtores derivados derechos R ⁱ T . Los grupos Ext son los grupos abelianos definidos por

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

para un número entero i . Por definición, esto significa: tomar cualquier resolución inyectiva

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

elimine el término B y forme el complejo de cocadena :

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Para cada número entero i , Ext^yo
_r( A , B ) es la cohomología de este complejo en la posición i . Es cero para i negativo. Por ejemplo, ext.^0R
_​( A , B ) es el núcleo del mapa Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), que es isomorfo a Hom _R ( A , B ).

Una definición alternativa utiliza el funtor G ( A ) = Hom _R ( A , B ), para un módulo R fijo B. Este es un funtor contravariante , que puede verse como un funtor exacto izquierdo de la categoría opuesta ( R -Mod) ^op a Ab. Los grupos Ext se definen como los funtores derivados derechos R ⁱ G :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

Es decir, elija cualquier resolución proyectiva.

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

elimine el término A y forme el complejo de cocadena:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

El siguiente^yo
_r( A , B ) es la cohomología de este complejo en la posición i .

Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de resolución proyectiva o inyectiva, y que ambas construcciones producen los mismos grupos Ext. ^[2] Además, para un anillo fijo R , Ext es un functor en cada variable (contravariante en A , covariante en B ).

Para un anillo conmutativo R y R -módulos A y B , Ext^yo
_r( A , B ) es un módulo R (usando que Hom _R ( A , B ) es un módulo R en este caso). Para un anillo no conmutativo R , Ext^yo
_r( A , B ) es sólo un grupo abeliano, en general. Si R es un álgebra sobre un anillo S (lo que significa en particular que S es conmutativo), entonces Ext^yo
_r( A , B ) es al menos un módulo S.

Propiedades de la extensión

Estas son algunas de las propiedades y cálculos básicos de los grupos Ext. ^[3]

• ext^0R
  _​( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) para cualquier R -módulos A y B .

• ext^yo
  _r( A , B ) = 0 para todo i > 0 si el módulo R A es proyectivo (por ejemplo, libre ) o si B es inyectivo .

• Los conversos también son válidos:
  • Si ext¹
    _R( A , B ) = 0 para todo B , entonces A es proyectivo (y por lo tanto Ext^yo
    _r( A , B ) = 0 para todo i > 0).
  • Si ext¹
    _R( A , B ) = 0 para todo A , entonces B es inyectivo (y por lo tanto Ext^yo
    _r( A , B ) = 0 para todo i > 0).

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$para todo i ≥ 2 y todos los grupos abelianos A y B . ^[4]

• Si R es un anillo conmutativo y u en R no es un divisor de cero , entonces

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

para cualquier R -módulo B . Aquí B [ u ] denota el subgrupo de torsión u de B , { x ∈ B : ux = 0}. Tomando R como el anillo de números enteros, este cálculo se puede utilizar para calcular cualquier grupo abeliano A generado finitamente . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$

• Generalizando el ejemplo anterior, se pueden calcular grupos Ext cuando el primer módulo es el cociente de un anillo conmutativo por cualquier secuencia regular , utilizando el complejo de Koszul . ^[5] Por ejemplo, si R es el anillo polinómico k [ x ₁ ,..., x _n ] sobre un campo k , entonces Ext^*
  _R( k , k ) es el álgebra exterior S sobre k en n generadores en Ext ¹ . Además, ext.^*
  _S( k , k ) es el anillo polinómico R ; Este es un ejemplo de la dualidad Koszul .

• Según las propiedades generales de los functores derivados, existen dos secuencias exactas básicas para Ext. ^[6] Primero, una secuencia exacta corta 0 → K → L → M → 0 de R -módulos induce una secuencia exacta larga de la forma

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

para cualquier R -módulo A . Además, una secuencia exacta corta 0 → K → L → M → 0 induce una secuencia exacta larga de la forma

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

para cualquier R -módulo B .

• Ext toma sumas directas (posiblemente infinitas) en la primera variable y productos en la segunda variable a productos. ^[7] Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Sea A un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano conmutativo R. Entonces Ext conmuta con la localización , en el sentido de que para cada conjunto multiplicativamente cerrado S en R , cada R -módulo B y cada entero i , ^[8]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Extensión y extensiones

Equivalencia de extensiones

Los grupos Ext derivan su nombre de su relación con las extensiones de módulos. Dados R -módulos A y B , una extensión de A por B es una secuencia corta y exacta de R -módulos

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

Dos extensiones

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

se dice que son equivalentes (como extensiones de A por B ) si hay un diagrama conmutativo :

Tenga en cuenta que el lema de los cinco implica que la flecha del medio es un isomorfismo. Una extensión de A por B se llama división si es equivalente a la extensión trivial

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Existe una correspondencia uno a uno entre las clases de equivalencia de extensiones de A por B y elementos de Ext¹
_R( A , B ). ^[9] La extensión trivial corresponde al elemento cero de Ext.¹
_R( A , B ).

La suma de extensiones de Baer

La suma de Baer es una descripción explícita de la estructura del grupo abeliano en Ext.¹
_R( A , B ), visto como el conjunto de clases de equivalencia de extensiones de A por B . ^[10] Es decir, dadas dos extensiones

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

y

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

primero forma el retroceso , ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

Luego forma el módulo cociente

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

La suma de Baer de E y E′ es la extensión

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

donde está el primer mapa y el segundo . ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$ ${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

Hasta la equivalencia de extensiones, la suma de Baer es conmutativa y tiene la extensión trivial como elemento identidad. El negativo de una extensión 0 → B → E → A → 0 es la extensión que involucra el mismo módulo E , pero con el homomorfismo B → E reemplazado por su negativo.

Construcción de Ext en categorías abelianas.

Nobuo Yoneda definió los grupos abelianos Ext.^norte
_C( A , B ) para los objetos A y B en cualquier categoría abeliana C ; esto concuerda con la definición en términos de resoluciones si C tiene suficientes proyectivos o suficientes inyectivos . primero, ext^0ºC
_​( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Siguiente, ext.¹
_taza( A , B ) es el conjunto de clases de equivalencia de extensiones de A por B , formando un grupo abeliano bajo la suma de Baer. Finalmente, los grupos Ext superiores Ext^norte
_C( A , B ) se definen como clases de equivalencia de n-extensiones , que son secuencias exactas

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

bajo la relación de equivalencia generada por la relación que identifica dos extensiones

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

si hay aplicaciones para todo m en {1, 2, ..., n } de modo que cada cuadrado resultante conmute ${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$

mapa en cadenaAB. ${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$

La suma de Baer de dos n -extensiones como se muestra arriba se forma dejando ser el retroceso de y sobre A y el empuje de y por debajo de B . ^[11] Entonces la suma Baer de las extensiones es ${\displaystyle X''_{1}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X'_{1}}$ ${\displaystyle X''_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

La categoría derivada y el producto Yoneda

Un punto importante es que los grupos Ext en una categoría abeliana C pueden verse como conjuntos de morfismos en una categoría asociada a C , la categoría derivada D ( C ). ^[12] Los objetos de la categoría derivada son complejos de objetos en C. En concreto, uno tiene

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

donde un objeto de C se ve como un complejo concentrado en grado cero, y [ i ] significa desplazar un complejo i pasos hacia la izquierda. A partir de esta interpretación, surge una aplicación bilineal , a veces llamada producto de Yoneda :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

que es simplemente la composición de morfismos en la categoría derivada.

El producto Yoneda también se puede describir en términos más elementales. Para i = j = 0, el producto es la composición de mapas en la categoría C. En general, el producto se puede definir uniendo dos extensiones de Yoneda.

Alternativamente, el producto Yoneda se puede definir en términos de resoluciones. (Esto se acerca a la definición de la categoría derivada . ) Por ejemplo, sea R un anillo, con R -módulos A , B , C , y sean P , Q y T resoluciones proyectivas de A , B , C. El siguiente^yo
_r( A , B ) se puede identificar con el grupo de clases de homotopía en cadena de mapas de cadena P → Q [ i ]. El producto Yoneda se obtiene componiendo mapas de cadenas:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

Según cualquiera de estas interpretaciones, el producto Yoneda es asociativo. Como resultado, se obtiene un anillo graduado , para cualquier módulo R A. Por ejemplo, esto proporciona la estructura de anillo en cohomología de grupo , ya que puede verse como . También por asociatividad del producto de Yoneda: para cualquier R -módulos A y B , es un módulo encima . ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$

Casos especiales importantes

• La cohomología de grupo se define por , donde G es un grupo, M es una representación de G sobre los números enteros y es el anillo de grupo de G. ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Para un álgebra A sobre un campo k y un A - bimódulo M , la cohomología de Hochschild se define por

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• La cohomología del álgebra de Lie se define por , donde es un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo k , M es un módulo y es el álgebra envolvente universal . ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• Para un espacio topológico X , la cohomología de la gavilla se puede definir como Aquí Ext se toma en la categoría abeliana de gavillas de grupos abelianos en X , y es la gavilla de funciones con valores localmente constantes . ${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Para un anillo local noetheriano conmutativo R con campo de residuos k , es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie graduada π*( R ) sobre k , conocida como álgebra de Lie homotópica de R. (Para ser precisos, cuando k tiene la característica 2, π*( R ) debe verse como un "álgebra de Lie ajustada". ^[13] ) Existe un homomorfismo natural de las álgebras de Lie graduadas de la cohomología de André-Quillen D *( k / R , k ) a π*( R ), que es un isomorfismo si k tiene característica cero. ^[14] ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$

Ver también

• dimensión global
• resolución de barra
• Grupo Grothendieck
• Dualidad local de Grothendieck

Notas

1. Weibel (1999); Cartan y Eilenberg (1956), sección VI.1.
2. Weibel (1994), secciones 2.4 y 2.5 y teorema 2.7.6.
3. Weibel (1994), capítulos 2 y 3.
4. Weibeil (1994), Lema 3.3.1.
5. Weibel (1994), sección 4.5.
6. Weibel (1994), Definición 2.1.1.
7. Weibel (1994), Proposición 3.3.4.
8. Weibel (1994), Proposición 3.3.10.
9. Weibel (1994), Teorema 3.4.3.
10. Weibel (1994), Corolario 3.4.5.
11. Weibel (1994), Visitas 3.4.6. Algunas correcciones menores se encuentran en las erratas.
12. Weibel (1994), secciones 10.4 y 10.7; Gelfand y Manin (2003), Capítulo III.
13. Sjödin (1980), Notación 14.
14. Avramov (2010), sección 10.2.

Referencias

• Avramov, Luchezar (2010), "Infinitas resoluciones libres", Seis conferencias sobre álgebra conmutativa , Birkhäuser , págs. 1–108, doi :10.1007/978-3-0346-0329-4_1, ISBN 978-3-7643-5951-5, señor  2641236
• Baer, ​​Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416, doi :10.1007/BF01170643, Zbl  0009.01101
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Álgebra homológica , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, señor  0077480
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1942), "Extensiones y homología de grupos", Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi :10.2307/1968966, JSTOR  1968966, MR  0007108
• Gelfand, Serguéi I.; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN 978-3-540-43583-9, señor  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), "Álgebras y derivaciones de Hopf", Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.
• Weibel, Charles A. (1999), "Historia del álgebra homológica" (PDF) , Historia de la topología , Amsterdam: Holanda Septentrional, págs. 797–836, ISBN 9780444823755, SEÑOR  1721123