Producto Yoneda

En álgebra, el producto Yoneda (llamado así por Nobuo Yoneda ) es el emparejamiento entre grupos Ext de módulos : inducido por $${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n}(M,N)\otimes \operatorname {Ext} ^{m}(L,M)\to \operatorname {Ext} ^{n+m}(L,N)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,M)\otimes \operatorname {Hom} (M,L)\to \operatorname {Hom} (N,L),\,f\otimes g\mapsto g\circ f.}$$

En concreto, para un elemento , considerado como una extensión y de manera similar formamos el producto Yoneda (taza) ${\displaystyle \xi \in \operatorname {Ext} ^{n}(M,N)}$ $${\displaystyle \xi :0\rightarrow N\rightarrow E_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{n-1}\rightarrow M\rightarrow 0,}$$ $${\displaystyle \rho :0\rightarrow M\rightarrow F_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{m-1}\rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m}(L,M),}$$ $${\displaystyle \xi \smile \rho :0\rightarrow N\rightarrow E_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{n-1}\rightarrow F_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{m-1}\rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m+n}(L,N).}$$

Tenga en cuenta que el mapa del medio factoriza los mapas dados a . ${\displaystyle E_{n-1}\rightarrow F_{0}}$ ${\displaystyle M}$

Ampliamos esta definición para incluir el uso de la funcionalidad habitual de los grupos. ${\displaystyle m,n=0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{*}(\cdot ,\cdot )}$

Aplicaciones

Álgebras Externas

Dado un anillo conmutativo y un módulo , el producto de Yoneda define una estructura de producto sobre los grupos , donde es generalmente un anillo no conmutativo. Esto se puede generalizar al caso de haces de módulos sobre un espacio anillado o topos anillados. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{\bullet }(M,M)}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{0}(M,M)={\text{Hom}}_{R}(M,M)}$

Dualidad de Grothendieck

En la teoría de dualidad de Grothendieck de haces coherentes en un esquema proyectivo de dimensión pura sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , hay un emparejamiento donde es el complejo dualizante y dado por el emparejamiento de Yoneda. ^[1] ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\text{Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{p}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})\times {\text{Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{r-p}({\mathcal {F}},\omega _{X}^{\bullet })\to k}$$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{X}={\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} }}^{n-r}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{\mathbb {P} })}$ ${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} }={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} }(-(n+1))}$

Teoría de la deformación

El producto de Yoneda es útil para comprender las obstrucciones a una deformación de mapas de topos anillados . ^[2] Por ejemplo, dada una composición de topos anillados y una -extensión de por un -módulo , existe una clase de obstrucción que puede describirse como el producto de Yoneda donde y corresponde al complejo cotangente . $${\displaystyle X\xrightarrow {f} Y\to S}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle j:Y\to Y'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle \omega (f,j)\in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/Y},f^{*}J)}$$ $${\displaystyle \omega (f,j)=f^{*}(e(j))\cdot K(X/Y/S)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K(X/Y/S)&\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/Y},\mathbf {L} _{Y/S})\\f^{*}(e(j))&\in {\text{Ext}}^{1}(f^{*}\mathbf {L} _{Y/S},f^{*}J)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$

Véase también

• Función ext.
• Categoría derivada
• Teoría de la deformación
• Mapa de Kodaira–Spencer

Referencias

1. Altman; Kleiman (1970). Dualidad de Grothendieck. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 146. pág. 5. doi :10.1007/BFb0060932. ISBN 978-3-540-04935-7.
2. Ilusie, Luc. "Cotangente compleja; aplicación a la teoría de las deformaciones" (PDF) . pag. 163.

• May, J. Peter . "Notas sobre Tor y Ext" (PDF) .

Enlaces externos

• Universalidad del functor Ext utilizando extensiones de Yoneda