En matemáticas, una forma propia (es decir, una forma propia de Hecke simultánea con grupo modular SL(2, Z )) es una forma modular que es un vector propio para todos los operadores de Hecke T m , m = 1, 2, 3, ....
Las formas propias pertenecen al ámbito de la teoría de números , pero se pueden encontrar en otras áreas de las matemáticas y la ciencia, como el análisis , la combinatoria y la física . Un ejemplo común de una forma propia, y las únicas formas propias no cúspides, son las series de Eisenstein . Otro ejemplo es la función Δ .
Hay dos normalizaciones diferentes para una forma propia (o para una forma modular en general).
Se dice que una forma propia está normalizada cuando se escala de modo que el coeficiente q en su serie de Fourier sea uno:
donde q = e 2 πiz . Como la función f también es un vector propio bajo cada operador de Hecke T i , tiene un valor propio correspondiente. Más específicamente a i , i ≥ 1 resulta ser el valor propio de f correspondiente al operador de Hecke T i . En el caso en que f no sea una forma de cúspide, los valores propios se pueden dar explícitamente. [1]
Una forma propia que es cúspide se puede normalizar con respecto a su producto interno :
La existencia de formas propias es un resultado no trivial, pero proviene directamente del hecho de que el álgebra de Hecke es conmutativa.
En el caso de que el grupo modular no sea el SL(2, Z ) completo, no hay un operador de Hecke para cada n ∈ Z , y como tal, la definición de una forma propia se cambia en consecuencia: una forma propia es una forma modular que es un vector propio simultáneo para todos los operadores de Hecke que actúan en el espacio.
En cibernética , la noción de forma propia se entiende como un ejemplo de sistema reflexivo. Desempeña un papel importante en el trabajo de Heinz von Foerster [ 2] y está "inextricablemente vinculada con la cibernética de segundo orden ". [3]
