En teoría de números , la fórmula del número de clase relaciona muchos invariantes importantes de un campo numérico con un valor especial de su función zeta de Dedekind .
Empezamos con los siguientes datos:
Entonces:
Esta es la "fórmula de número de clase" más general. En casos particulares, por ejemplo cuando K es una extensión ciclotómica de Q , existen fórmulas de números de clase particulares y más refinadas.
La idea de la prueba de la fórmula del número de clase se ve más fácilmente cuando K = Q (i). En este caso, el anillo de números enteros en K son los enteros gaussianos .
Una manipulación elemental muestra que el residuo de la función zeta de Dedekind en s = 1 es el promedio de los coeficientes de la representación en serie de Dirichlet de la función zeta de Dedekind. El n -ésimo coeficiente de la serie de Dirichlet es esencialmente el número de representaciones de n como suma de dos cuadrados de números enteros no negativos. Entonces se puede calcular el residuo de la función zeta de Dedekind en s = 1 calculando el número promedio de representaciones. Como en el artículo sobre el problema del círculo de Gauss , se puede calcular esto aproximando el número de puntos de la red dentro de un cuarto de círculo centrado en el origen, concluyendo que el residuo es un cuarto de pi.
La prueba de que K es un campo numérico cuadrático imaginario arbitrario es muy similar. [1]
En el caso general, según el teorema de la unidad de Dirichlet , el grupo de unidades en el anillo de números enteros de K es infinito. No obstante, se puede reducir el cálculo del residuo a un problema de conteo de puntos de red utilizando la teoría clásica de incrustaciones reales y complejas y aproximar el número de puntos de red en una región por el volumen de la región, para completar la prueba.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet publicó una prueba de la fórmula del número de clase para campos cuadráticos en 1839, pero se expresó en el lenguaje de formas cuadráticas en lugar de clases de ideales . Parece que Gauss ya conocía esta fórmula en 1801. [2]
Esta exposición sigue a Davenport . [3]
Sea d un discriminante fundamental y escriba h(d) para el número de clases de equivalencia de formas cuadráticas con discriminante d . Sea el símbolo de Kronecker . Entonces es un personaje de Dirichlet . Escribe para la serie L de Dirichlet basada en . Para d > 0 , sea t > 0 , u > 0 la solución de la ecuación de Pell para la cual u es más pequeño, y escriba
(Entonces es una unidad fundamental del campo cuadrático real o el cuadrado de una unidad fundamental). Para d < 0, escriba w para el número de automorfismos de formas cuadráticas del discriminante d ; eso es,
Entonces Dirichlet demostró que
Este es un caso especial del Teorema 1 anterior: para un campo cuadrático K , la función zeta de Dedekind es justa y el residuo es . Dirichlet también demostró que la serie L se puede escribir en forma finita, lo que da una forma finita para el número de clase. Supongamos que es primitivo con conductor principal . Entonces
Si K es una extensión de Galois de Q , la teoría de las funciones L de Artin se aplica a . Tiene un factor de la función zeta de Riemann , que tiene un polo de residuo uno, y el cociente es regular en s = 1. Esto significa que el lado derecho de la fórmula del número de clase se puede equiparar con un lado izquierdo
con ρ recorriendo las clases de representaciones lineales complejas irreducibles y no triviales de Gal ( K / Q ) de dimensión tenue (ρ). Esto es según la descomposición estándar de la representación regular .
Este es el caso de lo anterior, con Gal( K / Q ) un grupo abeliano , en el que todos los ρ pueden ser reemplazados por caracteres de Dirichlet (a través de la teoría de campos de clases ) para algún módulo f llamado conductor . Por lo tanto, todos los valores de L (1) ocurren para funciones L de Dirichlet , para las cuales existe una fórmula clásica que involucra logaritmos.
Según el teorema de Kronecker-Weber , todos los valores requeridos para una fórmula analítica de número de clase ya ocurren cuando se consideran los campos ciclotómicos. En ese caso es posible otra formulación, como demuestra Kummer . El regulador , un cálculo del volumen en el 'espacio logarítmico' dividido por los logaritmos de las unidades del campo ciclotómico, se puede comparar con las cantidades de L (1) reconocibles como logaritmos de las unidades ciclotómicas . Resultan fórmulas que establecen que el número de clase está determinado por el índice de las unidades ciclotómicas en todo el grupo de unidades.
En la teoría de Iwasawa , estas ideas se combinan además con el teorema de Stickelberger .
Este artículo incorpora material de Fórmula de número de clase en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .