unidad ciclotómica

En matemáticas, una unidad ciclotómica (o unidad circular ) es una unidad de un campo numérico algebraico que es el producto de números de la forma (ζ^un
− 1) para ζ
_norteuna n ^ésima raíz de la unidad y 0 < a < n .

Propiedades

Las unidades ciclotómicas forman un subgrupo de índice finito en el grupo de unidades de un campo ciclotómico . El índice de este subgrupo de unidades ciclotómicas reales (aquellas unidades ciclotómicas en el subcampo real máximo) dentro del grupo de unidades reales completo es igual al número de clase del subcampo real máximo del campo ciclotómico . ^[1]

Si $n$ es la potencia de un primo, entonces $ζ un - 1$ no es una unidad; sin embargo los números $(ζ un - 1)/(ζ norte - 1)$ para $(a, n) = 1$ , y ±ζ^un
generar el grupo de unidades ciclotómicas.

Si $n$ es un número compuesto que tiene dos o más factores primos distintos, entonces $ζ un - 1$ es una unidad. El subgrupo de unidades ciclotómicas generado por $(ζ un - 1)/(ζ norte - 1)$ con $(a, n) = 1$ no es de índice finito en general. ^[2]

Las unidades ciclotómicas satisfacen relaciones de distribución . Sea $a$ un número racional primo de $p$ y sea g $a exp$ $(2 πia) - 1$ . Entonces para $un \neq 0$ tenemos . ^[3] ${\textstyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}}$

Usando estas relaciones de distribución y la relación de simetría $ζ un - 1 = -ζ un (ζ - una norte - 1)$ se puede construir una base B _{n de las unidades ciclotómicas con la propiedad de que} $B d \subseteq B n$ para $d | n$ . ^[4]

Ver también

Notas

^ Washington, teorema 8.2
^ Washington, 8.8, página 150, para n igual a 55.
^ Lang (1990) p.157
^ "Unidades ciclotómicas de Marc Conrad".

Referencias

Lang, Serge (1990). Campos Ciclotómicos I y II . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 121 (segunda edición combinada). Springer Verlag . ISBN 3-540-96671-4. Zbl 0704.11038.
Narkiewicz, Ladislao (1990). Teoría elemental y analítica de números (Segunda edición, sustancialmente revisada y ampliada). Springer-Verlag . ISBN 3-540-51250-0. Zbl 0717.11045.
Washington, Lawrence C. (1997). Introducción a los campos ciclotómicos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 83 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047.