En matemáticas, el álgebra de Hecke de un par ( G , K ) de grupos de Lie localmente compactos o reductivos es un álgebra de medidas bajo convolución . También se puede definir para un par ( g , K ) de un subgrupo compacto máximo K de un grupo de Lie con álgebra de Lie g , en cuyo caso el álgebra de Hecke es un álgebra con identidad aproximada , cuyos módulos aproximadamente unital son los mismos que K -representaciones finitas de los pares ( g , K ).
El álgebra de Hecke de un par es una generalización del álgebra de Hecke clásica estudiada por Erich Hecke , que corresponde al caso (GL 2 ( Q ), GL 2 ( Z )).
Sea ( G , K ) un par formado por un grupo topológico unimodular localmente compacto G y un subgrupo cerrado K de G. Entonces el espacio de funciones continuas bi- K -invariantes de soporte compacto
Puede dotarse de una estructura de álgebra asociativa bajo la operación de convolución . [1] Esta álgebra a menudo se denota
y se llamó álgebra de Hecke del par ( G , K ).
Si ( G , K ) es un par de Gelfand, entonces el álgebra de Hecke resulta ser conmutativa.
En 1979, Daniel Flath dio una construcción similar para los grupos de Lie reductivos generales G. [2] El álgebra de Hecke de un par ( g , K ) de un álgebra de Lie g con grupo de Lie G y subgrupo compacto máximo K es el álgebra de K -distribuciones finitas en G con soporte en K , con el producto dado por convolución . [3] [4]
Cuando G es un grupo finito y K es cualquier subgrupo de G , entonces el álgebra de Hecke está abarcada por clases laterales dobles de H \ G / H .
Para el grupo lineal especial sobre los números p -ádicos ,
Las representaciones del correspondiente anillo conmutativo de Hecke fueron estudiadas por Ian G. Macdonald .
Para el grupo lineal general sobre los números racionales ,
el álgebra de Hecke del par ( G , K es el álgebra de Hecke clásica , que es el anillo conmutativo de los operadores de Hecke en la teoría de formas modulares .
El caso que conduce al álgebra de Iwahori-Hecke de un grupo finito de Weyl es cuando G es el grupo finito de Chevalley sobre un campo finito con pk elementos, y B es su subgrupo Borel . Iwahori demostró que el anillo de Hecke
se obtiene del álgebra genérica de Hecke H q del grupo de Weyl W de G especializando el indeterminado q de esta última álgebra en p k , la cardinalidad del cuerpo finito. George Lusztig comentó en 1984: [5]
Creo que sería más apropiado llamarlo álgebra de Iwahori, pero el nombre de anillo de Hecke (o álgebra) dado por el propio Iwahori se ha utilizado durante casi 20 años y probablemente ya sea demasiado tarde para cambiarlo.
Iwahori y Matsumoto (1965) consideraron el caso en el que G es un grupo de puntos de un grupo algebraico reductivo sobre un campo local no de Arquímedes F , como Q p , y K es lo que ahora se llama un subgrupo Iwahori de G. El anillo de Hecke resultante es isomorfo al álgebra de Hecke del grupo Weyl afín de G , o al álgebra de Hecke afín , donde el indeterminado q se ha especializado en la cardinalidad del campo residual de F.