En matemáticas , un esquema de grupo es un tipo de objeto de geometría algebraica equipado con una ley de composición. Los esquemas de grupo surgen naturalmente como simetrías de esquemas y generalizan grupos algebraicos , en el sentido de que todos los grupos algebraicos tienen una estructura de esquema de grupo, pero los esquemas de grupo no están necesariamente conectados, son uniformes o están definidos sobre un campo. Esta generalidad adicional permite estudiar estructuras infinitesimales más ricas, y esto puede ayudar a comprender y responder preguntas de importancia aritmética. La categoría de esquemas de grupo se comporta algo mejor que la de variedades de grupo , ya que todos los homomorfismos tienen núcleos y existe una teoría de deformación de buen comportamiento . Los esquemas de grupo que no son grupos algebraicos desempeñan un papel importante en la geometría aritmética y la topología algebraica , ya que surgen en contextos de representaciones de Galois y problemas de módulos . El desarrollo inicial de la teoría de los esquemas de grupo se debió a Alexander Grothendieck , Michel Raynaud y Michel Demazure a principios de los años 1960.
Un esquema de grupo es un objeto de grupo en una categoría de esquemas que tiene productos de fibra y algún objeto final S. Es decir, es un esquema S G equipado con uno de los conjuntos de datos equivalentes
Un homomorfismo de esquemas de grupo es un mapa de esquemas que respeta la multiplicación. Esto se puede expresar con precisión diciendo que un mapa f satisface la ecuación f μ = μ( f × f ), o diciendo que f es una transformación natural de functores de esquemas a grupos (en lugar de solo conjuntos).
Una acción hacia la izquierda de un esquema de grupo G sobre un esquema X es un morfismo G × S X → X que induce una acción hacia la izquierda del grupo G ( T ) sobre el conjunto X ( T ) para cualquier S -esquema T . Las acciones correctas se definen de manera similar. Cualquier esquema de grupo admite acciones naturales de izquierda y derecha sobre su esquema subyacente mediante multiplicación y conjugación . La conjugación es una acción por automorfismos, es decir, conmuta con la estructura del grupo, y esto induce acciones lineales sobre objetos derivados naturalmente, como su álgebra de Lie y el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda.
Un esquema de grupo S G es conmutativo si el grupo G ( T ) es un grupo abeliano para todos los esquemas S T . Hay varias otras condiciones equivalentes, como que la conjugación induzca una acción trivial o que el mapa de inversión ι sea un automorfismo de esquema de grupo.
Supongamos que G es un esquema de grupo de tipo finito sobre un campo k . Sea G 0 el componente conexo de la identidad, es decir, el esquema máximo de subgrupos conexos. Entonces G es una extensión de un esquema de grupo étale finito por G 0 . G tiene un subesquema reducido máximo único G red , y si k es perfecto, entonces G red es una variedad de grupo suave que es un esquema de subgrupo de G . El esquema del cociente es el espectro de un anillo local de rango finito.
Cualquier esquema de grupo afín es el espectro de un álgebra de Hopf conmutativa (sobre una base S , esto viene dado por el espectro relativo de un O S -álgebra). Los mapas de multiplicación, unidad e inverso del esquema de grupo están dados por las estructuras de comultiplicación, unidad y antípoda en el álgebra de Hopf. Las estructuras de unidades y multiplicaciones del álgebra de Hopf son intrínsecas al esquema subyacente. Para un esquema de grupo arbitrario G , el anillo de secciones globales también tiene una estructura de álgebra de Hopf conmutativa y, al tomar su espectro, se obtiene el grupo de cociente afín máximo. Las variedades de grupos afines se conocen como grupos algebraicos lineales, ya que pueden integrarse como subgrupos de grupos lineales generales.
Los esquemas de grupos conectados completos son en cierto sentido opuestos a los esquemas de grupos afines, ya que la integridad implica que todas las secciones globales son exactamente aquellas extraídas de la base y, en particular, no tienen mapas no triviales de esquemas afines. Cualquier variedad de grupo completo (variedad aquí significa esquema separado reducido y geométricamente irreducible de tipo finito sobre un campo) es automáticamente conmutativa, por un argumento que involucra la acción de la conjugación en espacios en chorro de la identidad. Las variedades de grupo completo se denominan variedades abelianas . Esto se generaliza a la noción de esquema abeliano; un esquema de grupo G sobre una base S es abeliano si el morfismo estructural de G a S es adecuado y suave con fibras conectadas geométricamente. Son automáticamente proyectivos y tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de campos de clases geométricas y en toda la geometría algebraica. Sin embargo, un esquema de grupo completo sobre un campo no tiene por qué ser conmutativo; por ejemplo, cualquier esquema de grupo finito está completo.
Un esquema de grupo G sobre un esquema noetheriano S es finito y plano si y sólo si OG es un módulo O S localmente libre de rango finito. El rango es una función localmente constante en S y se llama orden de G. El orden de un esquema de grupo constante es igual al orden del grupo correspondiente y, en general, el orden se comporta bien con respecto al cambio de base y la restricción plana finita de escalares .
Entre los esquemas de grupos finitos planos, las constantes (cf. ejemplo anterior) forman una clase especial, y sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, la categoría de grupos finitos es equivalente a la categoría de esquemas de grupos finitos constantes. Sobre bases con características positivas o estructura más aritmética, existen tipos de isomorfismo adicionales. Por ejemplo, si 2 es invertible sobre la base, todos los esquemas de grupo de orden 2 son constantes, pero sobre los enteros 2-ádicos, μ 2 no es constante, porque la fibra especial no es lisa. Existen secuencias de anillos 2-ádicos altamente ramificados sobre los cuales el número de tipos de isomorfismos de esquemas de grupos de orden 2 crece arbitrariamente. En el trabajo de Raynaud sobre prolongaciones se puede encontrar un análisis más detallado de esquemas conmutativos de grupos planos finitos sobre anillos p -ádicos.
Los esquemas conmutativos de grupos planos finitos a menudo ocurren en la naturaleza como esquemas de subgrupos de variedades abelianas y semiabelianas, y en características positivas o mixtas, pueden capturar mucha información sobre la variedad ambiental. Por ejemplo, la p -torsión de una curva elíptica en característica cero es localmente isomorfa al esquema de grupo abeliano elemental constante de orden p 2 , pero sobre F p , es un esquema de grupo plano finito de orden p 2 que tiene p conectado componentes (si la curva es ordinaria) o un componente conexo (si la curva es supersingular ). Si consideramos una familia de curvas elípticas, la p -torsión forma un esquema de grupo plano finito sobre el espacio de parametrización, y el lugar supersingular es donde se conectan las fibras. Esta fusión de componentes conectados se puede estudiar con gran detalle pasando de un esquema modular a un espacio analítico rígido , donde los puntos supersingulares son reemplazados por discos de radio positivo.
La dualidad de Cartier es un análogo teórico de esquemas de la dualidad de Pontryagin que lleva esquemas de grupos conmutativos finitos a esquemas de grupos conmutativos finitos.
Los esquemas de grupos conmutativos planos finitos sobre un campo perfecto k de característica positiva p se pueden estudiar transfiriendo su estructura geométrica a un entorno algebraico (semi)lineal. El objeto básico es el anillo de Dieudonné D = W ( k ) { F , V }/( FV − p ), que es un cociente del anillo de polinomios no conmutativos, con coeficientes en vectores de Witt de k . F y V son los operadores de Frobenius y Verschiebung y pueden actuar de manera no trivial sobre los vectores de Witt. Dieudonne y Cartier construyeron una antiequivalencia de categorías entre esquemas de grupos conmutativos finitos sobre k de orden una potencia de "p" y módulos sobre D con longitud W ( k ) finita. El functor del módulo Dieudonné en una dirección viene dado por homomorfismos en la gavilla abeliana CW de covectores de Witt. Este haz es más o menos dual al haz de vectores Witt (que de hecho es representable mediante un esquema de grupo), ya que se construye tomando un límite directo de vectores Witt de longitud finita bajo sucesivos mapas de Verschiebung V : W n → W n +1 y luego completar. Muchas propiedades de los esquemas de grupos conmutativos se pueden ver examinando los módulos Dieudonné correspondientes, por ejemplo, los esquemas de grupos p conectados corresponden a módulos D para los cuales F es nilpotente, y los esquemas de grupos étale corresponden a módulos para los cuales F es un isomorfismo.
La teoría de Dieudonné existe en un entorno algo más general que los grupos planos finitos sobre un campo. La tesis de Oda de 1967 proporcionó una conexión entre los módulos de Dieudonné y la primera cohomología de variedades abelianas de De Rham, y aproximadamente al mismo tiempo, Grothendieck sugirió que debería haber una versión cristalina de la teoría que podría usarse para analizar p -grupos divisibles. Las acciones de Galois en los esquemas grupales se transfieren a través de equivalencias de categorías, y la teoría de la deformación asociada de las representaciones de Galois se utilizó en el trabajo de Wiles sobre la conjetura de Shimura-Taniyama .