En matemáticas , se dice que un grupo algebraico afín es diagonalizable si es isomorfo a un subgrupo de D n , el grupo de matrices diagonales . Se dice que un grupo diagonalizable definido sobre un cuerpo k se divide sobre k o k - se divide si el isomorfismo está definido sobre k . Esto coincide con la noción habitual de división para un grupo algebraico. Todo grupo diagonalizable se divide sobre la clausura separable k s de k . Cualquier subgrupo cerrado e imagen de grupos diagonalizables son diagonalizables. El subgrupo de torsión de un grupo diagonalizable es denso.
La categoría de grupos diagonalizables definida sobre k es equivalente a la categoría de grupos abelianos finitamente generados con morfismos Gal( k s / k )-equivariantes sin p -torsión, si k es de característica p . Esto es un análogo de la dualidad de Poincaré y motivó la terminología.
Se dice que un grupo k diagonalizable es anisotrópico si no tiene ningún carácter de valor k no trivial .
La denominada "rigidez" establece que el componente identidad del centralizador de un grupo diagonalizable coincide con el componente identidad del normalizador del grupo. Este hecho desempeña un papel decisivo en la teoría de la estructura de los grupos resolubles .
Un grupo diagonalizable conexo se denomina toro algebraico (que no es necesariamente compacto, a diferencia de un toro complejo ). Un k -toro es un toro definido sobre k . El centralizador de un toro maximal se denomina subgrupo de Cartan .