Tate m'a écrit de son côté sur ses histoires de curbes elliptiques, et pour me demander si j'avais des idées sur una definición globale des variétés analytiques sur des corps complets. Je dois avouer que je n'ai pas du tout compris pourquoi ses résultats suggéreraient l'existence d'une telle définition, et suis encore sceptique.
Alexander Grothendieck en una carta del 18 de agosto de 1959 a Jean-Pierre Serre , expresando escepticismo sobre la existencia de la teoría de John Tate de variedades analíticas globales sobre campos completos.
En matemáticas, un espacio analítico rígido es un análogo de un espacio analítico complejo sobre un campo no arquimediano . Estos espacios fueron introducidos por John Tate en 1962, como consecuencia de su trabajo sobre la uniformización de curvas elípticas p -ádicas con mala reducción utilizando el grupo multiplicativo . En contraste con la teoría clásica de las variedades analíticas p -ádicas , los espacios analíticos rígidos admiten nociones significativas de continuación analítica y conectividad .
El objeto analítico rígido básico es el polidisco unitario de n dimensiones , cuyo anillo de funciones es el álgebra de Tate , formado por series de potencias en n variables cuyos coeficientes tienden a cero en algún campo completo no arquimediano k . El álgebra de Tate es la compleción del anillo polinómico en n variables bajo la norma de Gauss (tomando el supremo de los coeficientes), y el polidisco juega un papel análogo al del n -espacio afín en la geometría algebraica . Los puntos del polidisco se definen como ideales máximos en el álgebra de Tate, y si k es algebraicamente cerrado , estos corresponden a puntos en cuyas coordenadas tienen norma como máximo uno.
Un álgebra afinoide es un álgebra k - Banach que es isomorfa a un cociente del álgebra de Tate por un ideal . Un afinoide es entonces el subconjunto del polidisco unitario en el que los elementos de este ideal desaparecen, es decir, es el conjunto de ideales máximos que contienen el ideal en cuestión. La topología de los afinoides es sutil y utiliza nociones de subdominios afinoides (que satisfacen una propiedad de universalidad con respecto a mapas de álgebras afinoides) y conjuntos abiertos admisibles (que satisfacen una condición de finitud para las coberturas de subdominios afinoides). De hecho, las aperturas admisibles en una afinoide no le otorgan en general la estructura de un espacio topológico , pero sí forman una topología de Grothendieck (llamada topología G ), y esto permite definir buenas nociones de gavillas y pegado. de espacios.
Un espacio analítico rígido sobre k es un par que describe un espacio topologizado G localmente anillado con un haz de k -álgebras, de modo que hay una cobertura por subespacios abiertos isomorfos a los afinoides. Esto es análogo a la noción de que las variedades son cubiertas por subconjuntos abiertos isomorfos al espacio euclidiano, o que los esquemas son cubiertos por afines. Los esquemas sobre k pueden analizarse funcionalmente, al igual que las variedades sobre números complejos pueden verse como espacios analíticos complejos, y existe un teorema GAGA formal análogo . El functor de analtificación respeta límites finitos.
Alrededor de 1970, Michel Raynaud proporcionó una interpretación de ciertos espacios analíticos rígidos como modelos formales, es decir, como fibras genéricas de esquemas formales sobre el anillo de valoración R de k . En particular, demostró que la categoría de espacios rígidos cuasi compactos cuasi separados sobre k es equivalente a la localización de la categoría de esquemas formales admisibles cuasi compactos sobre R con respecto a ampliaciones formales admisibles. Aquí, un esquema formal es admisible si es cubierto por espectros formales de álgebras R topológicamente presentadas finitamente cuyos anillos locales son R -planos.
Los modelos formales adolecen de un problema de unicidad, ya que las ampliaciones permiten que más de un esquema formal describa el mismo espacio rígido. Huber elaboró una teoría de espacios ádicos para resolver esto, estableciendo un límite para todas las explosiones. Estos espacios son casi compactos, casi separados y funcionales en el espacio rígido, pero carecen de muchas propiedades topológicas interesantes.
Vladimir Berkovich reformuló gran parte de la teoría de los espacios analíticos rígidos a finales de la década de 1980, utilizando una generalización de la noción de espectro de Gelfand para álgebras C* unitales conmutativas . El espectro de Berkovich de un k -álgebra A de Banach es el conjunto de seminormas multiplicativas en A que están acotadas con respecto a la norma dada en k , y tiene una topología inducida al evaluar estas seminormas en elementos de A. Dado que la topología se aleja de la línea real, los espectros de Berkovich tienen muchas propiedades interesantes, como compacidad, conectividad de caminos y metrizabilidad. Muchas propiedades de la teoría de los anillos se reflejan en la topología de los espectros; por ejemplo, si A es Dedekind , entonces su espectro es contráctil. Sin embargo, incluso los espacios muy básicos tienden a ser difíciles de manejar: la línea proyectiva sobre C p es una compactificación del límite inductivo de edificios afines de Bruhat-Tits para PGL 2 ( F ), ya que F varía sobre extensiones finitas de Q p , cuando los edificios reciben una topología adecuadamente aproximada .
