análisis p-ádico

En matemáticas , el análisis p -ádico es una rama de la teoría de números que se ocupa del análisis matemático de funciones de números p -ádicos .

La teoría de funciones numéricas de valores complejos sobre los números p -ádicos forma parte de la teoría de grupos localmente compactos . El significado habitual adoptado para p -ádico análisis es la teoría de p -funciones con valores ádicos en espacios de interés.

Las aplicaciones del análisis p -ádico se han producido principalmente en la teoría de números , donde tiene un papel importante en la geometría diofántica y la aproximación diofántica . Algunas aplicaciones han requerido el desarrollo de análisis funcional p -ádico y teoría espectral . En muchos sentidos, el análisis p -ádico es menos sutil que el análisis clásico , ya que la desigualdad ultramétrica significa, por ejemplo, que la convergencia de series infinitas de números p -ádicos es mucho más simple. Los espacios vectoriales topológicos sobre campos p -ádicos muestran características distintivas; por ejemplo, los aspectos relacionados con la convexidad y el teorema de Hahn-Banach son diferentes.

Resultados importantes

teorema de ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski (1916), establece que cada valor absoluto no trivial de los números racionales Q es equivalente al valor absoluto real habitual o a un valor absoluto $p$ -ádico . ^[1]

teorema de mahler

El teorema de Mahler , introducido por Kurt Mahler , ^[2] expresa funciones p -ádicas continuas en términos de polinomios.

En cualquier campo de característica 0, se tiene el siguiente resultado. Dejar

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)

ser el operador de diferencia directa . Entonces para funciones polinómicas f tenemos la serie de Newton :

f(x)=\sum _ {k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},

dónde

{x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}

es el k -ésimo polinomio del coeficiente binomial.

En el campo de los números reales, la suposición de que la función f es un polinomio puede debilitarse, pero no puede debilitarse hasta llegar a la mera continuidad .

Mahler demostró el siguiente resultado:

Teorema de Mahler : si f es una función continua con valor p-ádico en los enteros p -ádicos, entonces se cumple la misma identidad.

Lema de Hensel

El lema de Hensel, también conocido como lema de elevación de Hensel, llamado así en honor a Kurt Hensel , es un resultado de la aritmética modular , que establece que si una ecuación polinómica tiene una raíz simple módulo de un número primo $p$ , entonces esta raíz corresponde a una raíz única de la misma ecuación. módulo cualquier potencia superior de $p$ , que se puede encontrar " elevando " iterativamente la solución módulo de potencias sucesivas de $p$ . De manera más general, se utiliza como nombre genérico para análogos de anillos conmutativos completos (incluidos los campos p -ádicos en particular) del método de Newton para resolver ecuaciones. Dado que el análisis p -ádico es en algunos aspectos más simple que el análisis real , existen criterios relativamente sencillos que garantizan una raíz de un polinomio.

Para expresar el resultado, sea un polinomio con coeficientes enteros (o p -ádicos enteros), y sean m , k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un número entero tal que $f(x)$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

entonces existe un número entero s tal que

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Además, este s es un módulo único p ^{k +m} y se puede calcular explícitamente como

s=r+tp^{k}

dónde

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

Aplicaciones

Mecánica cuántica p-ádica

La mecánica cuántica p -ádica es un enfoque relativamente reciente para comprender la naturaleza de la física fundamental. Es la aplicación del análisis p-ádico a la mecánica cuántica . En la actualidad existen cientos de artículos de investigación sobre el tema, ^[3]^[4] junto con revistas internacionales.

Hay dos enfoques principales sobre el tema. ^[5]^[6] El primero considera partículas en un potencial p-ádico y el objetivo es encontrar soluciones con funciones de onda de valores complejos que varían suavemente. Aquí la solución es tener cierta familiaridad con la vida ordinaria. El segundo considera partículas en pozos de potencial p-ádico, y el objetivo es encontrar funciones de onda con valor p-ádico. En este caso, la interpretación física es más difícil. Sin embargo, las matemáticas a menudo exhiben características sorprendentes, por lo que la gente continúa explorándolas. La situación fue resumida en 2005 por un científico de la siguiente manera: "Simplemente no puedo pensar en todo esto como una secuencia de accidentes divertidos y descartarlo como un 'modelo de juguete'. Creo que es necesario y que vale la pena trabajar más en esto". ^[7]

Principio local-global

El principio local-global de Helmut Hasse , también conocido como principio de Hasse, es la idea de que se puede encontrar una solución entera a una ecuación utilizando el teorema del resto chino para unir soluciones potencias de módulo de cada número primo diferente . Esto se maneja examinando la ecuación en las compleciones de los números racionales : los números reales y los números p -ádicos . Una versión más formal del principio de Hasse establece que ciertos tipos de ecuaciones tienen una solución racional si y sólo si tienen una solución en los números reales y en los números p -ádicos para cada primo p .

Ver también

Referencias

^ Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádico y funciones zeta (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 3.ISBN 978-0-387-96017-3. Consultado el 24 de agosto de 2012 . Teorema 1 (Ostrowski). Cada norma no trivial ‖ ‖ en es equivalente a $|$ $|$ $p$ para algún primo $p$ o para $p$ $= \infty$ . $\mathbb {Q}$
^ Mahler, K. (1958), "Una serie de interpolación para funciones continuas de una variable p-ádica", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1958 (199): 23–34, doi :10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN 0075-4102, SEÑOR 0095821, S2CID 199546556
^ VS Vladimirov, IV Volovich y EI Zelenov Análisis P-ádico y física matemática , (World Scientific, Singapur 1994)
^ L. Brekke y PGO Freund, Números p-ádicos en física , Phys. Representante 233 , 1-66 (1993)
^ Dragovich, Branko (2007). "Adeles en Física Matemática". arXiv : 0707.3876 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
^ Djordjević, GS; Dragovich, B. (2000). "Oscilador armónico P-Adic y adélico con frecuencia dependiente del tiempo". Física Teórica y Matemática . 124 (2): 3. arXiv : quant-ph/0005027 . Código Bib : 2000TMP...124.1059D. doi :10.1007/BF02551077. S2CID 14281188.
^ Freund, Peter GO (2006). "Cuerdas P-Adic y sus aplicaciones". Actas de la conferencia AIP . vol. 826, págs. 65–73. arXiv : hep-th/0510192 . doi : 10.1063/1.2193111. S2CID 119086848.

Otras lecturas

Koblitz, Neal (1980). Análisis p-ádico: un curso breve sobre trabajos recientes . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 46. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-28060-5. Zbl 0439.12011.
Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 3. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Chistov, Alejandro; Karpinski, Marek (1997). "Complejidad de decidir la solubilidad de ecuaciones polinómicas sobre enteros p-ádicos". Univ. De Bonn CS Informes 85183 . S2CID 120604553.
Karpinski, Marek ; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). "Prueba cero de polinomios p-ádicos y modulares". Informática Teórica . 233 (1–2): 309–317. doi :10.1016/S0304-3975(99)00133-4.(preimpresión)
Un curso de análisis p-ádico, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Cálculo ultramétrico: introducción al análisis P-Adic, WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
Ecuaciones diferenciales P-ádicas, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5