anillo de valoración

Concepto en álgebra

En álgebra abstracta , un anillo de valoración es un dominio integral D tal que por cada elemento x distinto de cero de su campo de fracciones F , al menos uno de x o x ⁻¹ pertenece a D.

Dado un campo F , si D es un subanillo de F tal que x o x ⁻¹ pertenece a D para cada x distinto de cero en F , entonces se dice que D es un anillo de valoración para el campo F o un lugar de F. Dado que F en este caso es de hecho el campo de fracciones de D , un anillo de valoración para un campo es un anillo de valoración. Otra forma de caracterizar los anillos de valoración de un campo F es que los anillos de valoración D de F tienen a F como su campo de fracciones, y sus ideales están totalmente ordenados por inclusión ; o de manera equivalente, sus ideales principales están totalmente ordenados por la inclusión. En particular, cada anillo de valoración es un anillo local .

Los anillos de valoración de un campo son los elementos máximos del conjunto de subanillos locales en el campo parcialmente ordenados por dominancia o refinamiento , ^[1] donde

${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A})}$domina si y . ^[2] ${\displaystyle (B,{\mathfrak {m}}_{B})}$ ${\displaystyle A\supseteq B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}}$

Cada anillo local en un campo K está dominado por algún anillo de valoración de K.

Un dominio integral cuya localización en cualquier ideal primo es un anillo de valoración se denomina dominio de Prüfer .

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes de anillo de valoración (consulte a continuación la caracterización en términos de dominancia). Para un dominio integral D y su campo de fracciones K , son equivalentes:

1. Por cada x distinto de cero en K , al menos uno de x o x ⁻¹ está en D .
2. Los ideales de D están totalmente ordenados por inclusión.
3. Los ideales principales de D están totalmente ordenados por inclusión (es decir, los elementos en D están, hasta las unidades , totalmente ordenados por divisibilidad ).
4. Existe un grupo abeliano Γ totalmente ordenado (llamado grupo de valores ) y una valoración ν: K → Γ ∪ {∞} con D = { x ∈ K | ν( x ) ≥ 0}.

La equivalencia de las tres primeras definiciones se deduce fácilmente. Un teorema de (Krull 1939) establece que cualquier anillo que satisfaga las tres primeras condiciones satisface la cuarta: tomar Γ como el cociente K ^× / D ^× del grupo unitario de K por el grupo unitario de D , y tomar ν como el proyección natural. Podemos convertir Γ en un grupo totalmente ordenado declarando las clases de residuos de elementos de D como "positivas". ^[a]

Aún más, dado cualquier grupo abeliano Γ totalmente ordenado, existe un anillo de valoración D con grupo de valores Γ (ver serie de Hahn ).

Del hecho de que los ideales de un anillo de valoración están totalmente ordenados, se puede concluir que un anillo de valoración es un dominio local, y que cada ideal finitamente generado de un anillo de valoración es principal (es decir, un anillo de valoración es un dominio de Bézout ). De hecho, es un teorema de Krull que un dominio integral es un anillo de valoración si y sólo si es un dominio local de Bézout. ^[3] También se deduce de esto que un anillo de valoración es noetheriano si y sólo si es un dominio ideal principal . En este caso, es un campo o tiene exactamente un ideal primo distinto de cero; en este último caso se denomina anillo de valoración discreto . (Por convención, un campo no es un anillo de valoración discreto).

Un grupo de valores se llama discreto si es isomorfo al grupo aditivo de los números enteros , y un anillo de valoración tiene un grupo de valoración discreto si y sólo si es un anillo de valoración discreto . ^[4]

En muy raras ocasiones, un anillo de valoración puede referirse a un anillo que satisface la segunda o tercera condición pero que no es necesariamente un dominio. Un término más común para este tipo de anillo es anillo uniserial .

Ejemplos

• Cualquier campo es un anillo de valoración. Por ejemplo, el campo de funciones racionales sobre una variedad algebraica . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$
• Un no ejemplo simple es el dominio integral ya que el inverso de un genérico es . ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ ${\displaystyle f/g\in \mathbb {C} (X)}$ ${\displaystyle g/f\not \in \mathbb {C} [X]}$
• El campo de las series de potencias :

${\displaystyle \mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}$

tiene la valoración . El subanillo también es un anillo de valoración. ${\displaystyle v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [[X]]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)},}$la localización de los números enteros en el ideal primo ( p ), que consta de razones donde el numerador es cualquier número entero y el denominador no es divisible por p . El campo de las fracciones es el campo de los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• El anillo de funciones meromórficas en todo el plano complejo que tiene una serie de Maclaurin ( expansión de la serie de Taylor en cero) es un anillo de valoración. El campo de fracciones son las funciones meromórficas en todo el plano. Si f no tiene una serie de Maclaurin entonces 1/ f sí la tiene.
• Cualquier anillo de enteros p -ádicos para un primo p dado es un anillo local , con campo de fracciones de los números p -ádicos . La clausura integral de los p -ádicos es también un anillo local, con campo de fracciones (la clausura algebraica de los p -ádicos). Ambos y son anillos de valoración. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$
• Sea k un campo ordenado . Un elemento de k se llama finito si se encuentra entre dos números enteros n < x < m ; de lo contrario se llama infinito. El conjunto D de elementos finitos de k es un anillo de valoración. El conjunto de elementos x tales que x ∈ D y x ⁻¹ ∉ D es el conjunto de elementos infinitesimales ; y un elemento x tal que x ∉ D y x ⁻¹ ∈ D se llama infinito.
• El anillo F de elementos finitos de un campo hiperreal * R (un campo ordenado que contiene los números reales ) es un anillo de valoración de * R . F consta de todos los números hiperreales que difieren de un real estándar en una cantidad infinitesimal, lo que equivale a decir un número hiperreal x tal que − n < x < n para algún entero estándar n . El campo residual , números hiperreales finitos módulo el ideal de los números hiperreales infinitesimales, es isomorfo a los números reales.
• Un ejemplo geométrico común proviene de las curvas planas algebraicas . Considere el anillo polinómico y un polinomio irreducible en ese anillo. Entonces el anillo es el anillo de funciones polinómicas de la curva . Elija un punto tal que sea un punto regular en la curva; es decir, el anillo local R en el punto es un anillo local regular de dimensión uno de Krull o un anillo de valoración discreto . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)}$ ${\displaystyle \{(x,y):f(x,y)=0\}}$ ${\displaystyle P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle f(P)=0}$
• Por ejemplo, considere la inclusión . Todos estos son subanillos en el campo de las series de potencias acotadas por debajo . ${\displaystyle (\mathbb {C} [[X^{2}]],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$

Dominio y cierre integral

Las unidades , o elementos invertibles, de un anillo de valoración son los elementos x en D tales que x −1  ^también es miembro de D. Los otros elementos de D , llamados no unidades, no tienen inversa en D y forman una M ideal . Este ideal es máximo entre los ideales (totalmente ordenados) de D. Dado que M es un ideal máximo , el anillo cociente D / M es un campo, llamado campo residual de D.

En general, decimos que un anillo local domina a otro anillo local si y ; en otras palabras, la inclusión es un homomorfismo de anillo local . Cada anillo local en un campo K está dominado por algún anillo de valoración de K. De hecho, el conjunto que consta de todos los subanillos R de K que contienen A y no está vacío y es inductivo; por tanto, tiene un elemento maximal según el lema de Zorn . Afirmamos que R es un anillo de valoración. R es un anillo local con máximo ideal contenido por maximalidad. Nuevamente por maximalidad también está integralmente cerrado. Ahora, si , entonces, por maximalidad, y así podemos escribir: ${\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})}$ ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})}$ ${\displaystyle S\supseteq R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle 1\not \in {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle x\not \in R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]}$

${\displaystyle 1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R}$.

Dado que es un elemento unitario, esto implica que es integral sobre R ; así está en R . Esto demuestra que R es un anillo de valoración. ( R domina A ya que su ideal máximo contiene por construcción). ${\displaystyle 1-r_{0}}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Un anillo local R en un campo K es un anillo de valoración si y sólo si es un elemento máximo del conjunto de todos los anillos locales contenidos en K parcialmente ordenados por dominancia. Esto se desprende fácilmente de lo anterior. ^[b]

Sea A un subanillo de un campo K y un homomorfismo de anillo en un campo algebraicamente cerrado k . Entonces f se extiende a un homomorfismo de anillo , D algún anillo de valoración de K que contiene A. (Prueba: Sea una extensión máxima, que existe claramente según el lema de Zorn. Por maximalidad, R es un anillo local con un ideal máximo que contiene el núcleo de f . Si S es un anillo local que domina a R , entonces S es algebraico sobre R ; si no, contiene un anillo polinómico al que se extiende g , una contradicción con la maximalidad. Se deduce que es una extensión de campo algebraico de . Por lo tanto, se extiende g , por lo tanto, S = R . ${\displaystyle f:A\to k}$ ${\displaystyle g:D\to k}$ ${\displaystyle g:R\to k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle S/{\mathfrak {m}}_{S}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k}$

Si un subanillo R de un campo K contiene un anillo de valoración D de K , entonces, al verificar la Definición 1, R también es un anillo de valoración de K. En particular, R es local y su ideal máximo se contrae con algún ideal primo de D , digamos, . Luego domina desde , que es un anillo de valoración ya que los ideales están totalmente ordenados. Esta observación se resume en lo siguiente: ^[7] existe una correspondencia biyectiva el conjunto de todos los subanillos de K que contienen D. En particular, D es integralmente cerrado, ^{[8] [c]} y la dimensión de Krull de D es el número de subanillos propios de K que contienen D. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R=D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to }$

De hecho, la clausura integral de un dominio integral A en el campo de fracciones K de A es la intersección de todos los anillos de valoración de K que contienen A. ^[9] De hecho, el cierre integral está contenido en la intersección ya que los anillos de valoración están integralmente cerrados. Por el contrario, sea x en K pero no integral sobre A. Como el ideal no es , ^[d] está contenido en un ideal máximo . Luego hay un anillo de valoración R que domina la localización de en . Desde , . ${\displaystyle x^{-1}A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle x\not \in R}$

La dominancia se utiliza en geometría algebraica . Sea X una variedad algebraica sobre un campo k . Entonces decimos que un anillo de valoración R tiene "centro x en X " si domina el anillo local de la estructura de haz en x . ^[10] ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x,X}}$

Ideales en anillos de valoración.

Podemos describir los ideales en el anillo de valoración por medio de su grupo de valores.

Sea Γ un grupo abeliano totalmente ordenado . Un subconjunto Δ de Γ se llama segmento si no está vacío y, para cualquier α en Δ, cualquier elemento entre −α y α también está en Δ (puntos finales incluidos). Un subgrupo de Γ se llama subgrupo aislado si es un segmento y es un subgrupo propio.

Sea D un anillo de valoración con valoración v y grupo de valores Γ. Para cualquier subconjunto A de D , dejamos que sea el complemento de la unión de y en . Si I es un ideal propio, entonces es un segmento de . De hecho, el mapeo define una biyección de inversión de inclusión entre el conjunto de ideales propios de D y el conjunto de segmentos de . ^[11] Bajo esta correspondencia, los ideales primos distintos de cero de D corresponden biyectivamente a los subgrupos aislados de Γ. ${\displaystyle \Gamma _{A}}$ ${\displaystyle v(A-0)}$ ${\displaystyle -v(A-0)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Ejemplo: el anillo de enteros p -ádicos es un anillo de valoración con grupo de valores . El subgrupo cero de corresponde al ideal máximo único y todo el grupo al ideal cero . El ideal máximo es el único subgrupo aislado de . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El conjunto de subgrupos aislados está totalmente ordenado por inclusión. La altura o rango r (Γ) de Γ se define como la cardinalidad del conjunto de subgrupos aislados de Γ. Dado que los ideales primos distintos de cero están totalmente ordenados y corresponden a subgrupos aislados de Γ, la altura de Γ es igual a la dimensión de Krull del anillo de valoración D asociado con Γ.

El caso especial más importante es la altura uno, que equivale a que Γ sea un subgrupo de los números reales bajo suma (o equivalentemente, de los números reales positivos bajo multiplicación). Un anillo de valoración con una valoración de altura uno tiene un valor absoluto correspondiente definiendo un lugar ultramétrico . Un caso especial de esto son los anillos de valoración discretos mencionados anteriormente. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

El rango racional rr (Γ) se define como el rango del grupo de valores como grupo abeliano,

${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$

Lugares

Definición general

Un lugar de un campo K es un homomorfismo de anillo p de un anillo de valoración D de K a algún campo tal que, para cualquier , . La imagen de un lugar es un campo llamado campo residual de p . Por ejemplo, el mapa canónico es un lugar. ${\displaystyle x\not \in D}$ ${\displaystyle p(1/x)=0}$ ${\displaystyle D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}}$

Ejemplo

Sea A un dominio de Dedekind y un ideal primo. Entonces el mapa canónico es un lugar. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$

Especialización de lugares

Decimos que un lugar p se especializa en un lugar p ′ , denotado por , si el anillo de valoración de p contiene el anillo de valoración de p ' . En geometría algebraica, decimos que un ideal primo se especializa en si . Las dos nociones coinciden: si y sólo si un ideal primo correspondiente a p se especializa en un ideal primo correspondiente a p ′ en algún anillo de valoración (recordemos que si son anillos de valoración del mismo campo, entonces D corresponde a un ideal primo de .) ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle D\supseteq D'}$ ${\displaystyle D'}$

Ejemplo

Por ejemplo, en el campo funcional de alguna variedad algebraica, todo ideal primo contenido en un ideal máximo da una especialización . ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}}$

Observaciones

Se puede demostrar: si , entonces para algún lugar q del campo residual de p . (Observar es un anillo de valoración de y sea q el lugar correspondiente; el resto es mecánico). Si D es un anillo de valoración de p , entonces su dimensión de Krull es la cardinalidad de las especializaciones distintas de p a p . Así, para cualquier lugar p con anillo de valoración D de un campo K sobre un campo k , tenemos: ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle p'=q\circ p|_{D'}}$ ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle p(D')}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K}$.

Si p es un lugar y A es un subanillo del anillo de valoración de p , entonces se llama centro de p en A. ${\displaystyle \operatorname {ker} (p)\cap A}$

Lugares en el infinito

Para el campo de función sobre una variedad afín existen valoraciones que no están asociadas a ninguno de los primos de . Estas valoraciones se denominan lugares en el infinito . [1] Por ejemplo, la línea afín tiene campo de función . El lugar asociado a la localización de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k(x)}$

${\displaystyle k\left[{\frac {1}{x}}\right]}$

en el ideal máximo

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\left({\frac {1}{x}}\right)}$

es un lugar en el infinito.

Notas

1. Más precisamente, Γ está totalmente ordenado definiendo si y solo si donde [ x ] y [ y ] son ​​clases de equivalencia en Γ. cf. Efrat (2006), pág. 39 ${\displaystyle [x]\geq [y]}$ ${\displaystyle xy^{-1}\in D}$
2. Prueba: si R es un elemento maximal, entonces está dominado por un anillo de valoración; por lo tanto, él mismo debe ser un anillo de valoración. Por el contrario, sea R un anillo de valoración y S un anillo local que domina a R pero no a R. Hay x que está en S pero no en R. Entonces está en R y de hecho en el ideal máximo de R . Pero claro , lo cual es absurdo. Por tanto, no puede existir tal S. ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{S}}$
3. Para ver más directamente que los anillos de valoración están integralmente cerrados, supongamos que x ⁿ  +  a ₁ x ^{n −1}  + ... +  a ₀  = 0. Luego, dividir por x ^{n −1} nos da x = − a ₁  − .. . -  un ₀ x ^{- norte +1} . Si x no estuviera en D , entonces x ⁻¹ estaría en D y esto expresaría x como una suma finita de elementos en D , de modo que x estaría en D , una contradicción.
4. En general, es integral sobre A si y sólo si ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle xA[x]=A[x].}$

Citas

1. Hartshorne 1977, Teorema I.6.1A.
2. Efrat 2006, pág. 55.
3. Cohn 1968, Proposición 1.5.
4. Efrat 2006, pág. 43.
5. El papel de los anillos de valoración en geometría algebraica
6. ¿Existe una superficie de Riemann correspondiente a cada extensión de campo? ¿Se necesita alguna otra hipótesis?
7. Zariski y Samuel 1975, cap. VI, Teorema 3.
8. Efrat 2006, pág. 38.
9. Matsumura 1989, Teorema 10.4.
10. Hartshorne 1977, capítulo II. Ejercicio 4.5.
11. Zariski y Samuel 1975, cap. VI, Teorema 15.

Fuentes

• Bourbaki, Nicolás (1972). Álgebra conmutativa . Elementos de Matemáticas (Primera ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-020100644-5.
• Cohn, PM (1968), "Anillos de Bezout y sus subanillos" (PDF) , Proc. Filosofía de Cambridge. Soc. , 64 (2): 251–264, Bibcode :1968PCPS...64..251C, doi :10.1017/s0305004100042791, ISSN  0008-1981, SEÑOR  0222065, S2CID  123667384, Zbl  0157.08401
• Efrat, Ido (2006), Valoraciones, ordenamientos y teoría K de Milnor , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 124, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-4041-X, Zbl  1103.12002
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 84, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1963-0, SEÑOR  1794715, Zbl  0973.13001
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Krull, Wolfgang (1939), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VI. Der allgemeine Diskriminantensatz. Unverzweigte Ringerweiterungen", Mathematische Zeitschrift , 45 (1): 1–19, doi :10.1007/BF01580269, ISSN , Señor  1545800  , S2CID  121374449, Zbl  0020.34003
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos, Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 8, traducido del japonés por Miles Reid (Segunda ed.), ISBN 0-521-36764-6, Zbl  0666.13002
• Zariski, Óscar ; Samuel, Pierre (1975), Álgebra conmutativa. vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, señor  0389876