numero hiperreal

Elemento de un modelo no estándar de los reales, que puede ser infinito o infinitesimal

Infinitesimales (ε) e infinitos (ω) en la recta numérica hiperreal (1/ε = ω/1)

En matemáticas , el sistema de números hiperreales es una forma de tratar cantidades infinitas e infinitesimales (infinitamente pequeñas pero distintas de cero). Los hiperreales, o reales no estándar , * R , son una extensión de los números reales R que contienen números mayores que cualquier cosa de la forma

${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$(para cualquier número finito de términos).

Estos números son infinitos y sus recíprocos son infinitesimales . El término "hiperreal" fue introducido por Edwin Hewitt en 1948. ^[1]

Los números hiperrealistas satisfacen el principio de transferencia , una versión rigurosa de la ley heurística de continuidad de Leibniz . El principio de transferencia establece que los enunciados verdaderos de primer orden sobre R también son válidos en * R . Por ejemplo, la ley conmutativa de la suma, x  +  y = y  +  x , se cumple para los hiperreales del mismo modo que para los reales; dado que R es un campo cerrado real , también lo es * R . Dado que para todos los números enteros n , también se tiene para todos los hiperenteros . El principio de transferencia para las ultrapotencias es una consecuencia del teorema de Łoś de 1955. ${\displaystyle \sin({\pi n})=0}$ ${\displaystyle \sin({\pi H})=0}$ ${\displaystyle H}$

Las preocupaciones sobre la solidez de los argumentos que involucran infinitesimales se remontan a las matemáticas griegas antiguas, cuando Arquímedes reemplazó tales pruebas con otras que usaban otras técnicas como el método de agotamiento . ^[2] En la década de 1960, Abraham Robinson demostró que los hiperreales eran lógicamente consistentes si y sólo si los reales lo eran. Esto disipó el temor de que cualquier prueba que involucrara infinitesimales pudiera ser errónea, siempre que fueran manipuladas de acuerdo con las reglas lógicas que delineó Robinson.

La aplicación de números hiperreales y en particular el principio de transferencia a problemas de análisis se denomina análisis no estándar . Una aplicación inmediata es la definición de conceptos básicos de análisis como la derivada y la integral de forma directa, sin pasar por complicaciones lógicas de múltiples cuantificadores. Por lo tanto, la derivada de f ( x ) se vuelve infinita , donde st(·) denota la función parcial estándar , que "redondea" cada hiperreal finito al real más cercano. De manera similar, la integral se define como la parte estándar de una suma infinita adecuada . ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$ ${\displaystyle \Delta x}$

El principio de transferencia

La idea del sistema hiperreal es extender los números reales R para formar un sistema * R que incluya números infinitesimales e infinitos, pero sin cambiar ninguno de los axiomas elementales del álgebra. Cualquier afirmación de la forma "para cualquier número x..." que sea verdadera para los reales también lo es para los hiperreales. Por ejemplo, el axioma que dice "para cualquier número x , x  + 0 =  x " todavía se aplica. Lo mismo ocurre con la cuantificación de varios números, por ejemplo, "para cualquier número x e y , xy  =  yx ". Esta capacidad de trasladar declaraciones de los reales a los hiperreales se denomina principio de transferencia . Sin embargo, las declaraciones del tipo "para cualquier conjunto de números S ..." no pueden trasladarse. Las únicas propiedades que difieren entre los reales y los hiperreales son aquellas que se basan en la cuantificación de conjuntos u otras estructuras de nivel superior, como funciones y relaciones, que normalmente se construyen a partir de conjuntos. Cada conjunto, función y relación real tiene su extensión hiperreal natural, que satisface las mismas propiedades de primer orden. Los tipos de oraciones lógicas que obedecen a esta restricción de cuantificación se denominan enunciados en lógica de primer orden .

Sin embargo, el principio de transferencia no significa que R y * R tengan un comportamiento idéntico. Por ejemplo, en * R existe un elemento ω tal que

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .}$

pero no existe tal número en R . (En otras palabras, * R no es Arquímedes .) Esto es posible porque la inexistencia de ω no puede expresarse como un enunciado de primer orden.

Uso en análisis

Las notaciones informales para cantidades no reales han aparecido históricamente en cálculo en dos contextos: como infinitesimales, como dx , y como el símbolo ∞, utilizado, por ejemplo, en límites de integración de integrales impropias .

Como ejemplo del principio de transferencia, la afirmación de que para cualquier número x distinto de cero , 2x  ≠  x , es cierta para los números reales y está en la forma requerida por el principio de transferencia, por lo que también es cierta para los números hiperreales. Esto muestra que no es posible utilizar un símbolo genérico como ∞ para todas las cantidades infinitas en el sistema hiperreal; Las cantidades infinitas difieren en magnitud de otras cantidades infinitas, y los infinitesimales de otros infinitesimales.

De manera similar, el uso casual de 1/0 = ∞ no es válido, ya que el principio de transferencia se aplica al enunciado de que el cero no tiene inverso multiplicativo. La contraparte rigurosa de tal cálculo sería que si ε es un infinitesimal distinto de cero, entonces 1/ε es infinito.

Para cualquier número hiperreal finito x , la parte estándar , st( x ), se define como el único número real más cercano a x ; necesariamente difiere de x sólo infinitamente. La función de parte estándar también se puede definir para números hiperreales infinitos de la siguiente manera: si x es un número hiperreal infinito positivo, establezca st( x ) como el número real extendido y, de la misma manera, si x es un número hiperreal infinito negativo, establezca st ( x ) ser (la idea es que un número hiperreal infinito debería ser más pequeño que el infinito absoluto "verdadero", pero más cerca de él que cualquier número real). ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Diferenciación

Uno de los usos clave del sistema numérico hiperreal es dar un significado preciso al operador diferencial d tal como lo utilizó Leibniz para definir la derivada y la integral.

Para cualquier función de valor real, el diferencial se define como un mapa que envía cada par ordenado (donde es real y es infinitamente distinto de cero) a un valor infinitesimal ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle (x,dx)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dx}$

${\displaystyle df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.}$

Tenga en cuenta que la misma notación " " utilizada para denotar cualquier infinitesimal es consistente con la definición anterior del operador, ya que si uno interpreta (como se hace comúnmente) que es la función, entonces para cada diferencial será igual al infinitesimal . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=x,}$ ${\displaystyle (x,dx)}$ ${\displaystyle d(x)}$ ${\displaystyle dx}$

Se dice que una función de valor real es diferenciable en un punto si el cociente ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

es el mismo para todos los infinitesimales distintos de cero. Si es así, este cociente se llama derivada de at . ${\displaystyle dx.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Por ejemplo, para encontrar la derivada de la función , sea un infinitesimal distinto de cero. Entonces, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle dx}$

El uso de la parte estándar en la definición de derivada es una alternativa rigurosa a la práctica tradicional de descuidar el cuadrado ^{[ cita necesaria ]} de una cantidad infinitesimal. Los números duales son un sistema numérico basado en esta idea. Después de la tercera línea de la diferenciación anterior, el método típico desde Newton hasta el siglo XIX habría sido simplemente descartar el término dx ^{2 .} En el sistema hiperreal, dx ²  ≠ 0, ya que dx es distinto de cero, y el principio de transferencia se puede aplicar al enunciado de que el cuadrado de cualquier número distinto de cero es distinto de cero. Sin embargo, la cantidad dx ² es infinitamente pequeña comparada con dx ; es decir, el sistema hiperreal contiene una jerarquía de cantidades infinitesimales.

El uso de números hiperreales para la diferenciación permite un enfoque más manipulable algebraicamente para las derivadas. En la diferenciación estándar, las diferenciales parciales y las diferenciales de orden superior no son manipulables de forma independiente mediante técnicas algebraicas. Sin embargo, utilizando los hiperreales, se puede establecer un sistema para hacerlo, aunque resulte en una notación ligeramente diferente . ^[3]

Integración

Otro uso clave del sistema numérico hiperreal es dar un significado preciso al signo integral ∫ utilizado por Leibniz para definir la integral definida.

Para cualquier función infinitesimal se puede definir la integral como una aplicación que envía cualquier triple ordenado (donde y son reales y es infinitesimal del mismo signo que ) al valor ${\displaystyle \ \varepsilon (x),\ }$ ${\displaystyle \int (\varepsilon )\ }$ ${\displaystyle (a,b,dx)}$ ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ b\ }$ ${\displaystyle \ dx\ }$ ${\displaystyle \,b-a}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),}$

¿ Dónde satisface cualquier número hiperentero ? ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {st} (N\ dx)=b-a.}$

Entonces se dice que una función de valor real es integrable en un intervalo cerrado si para cualquier infinitesimal distinto de cero la integral ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ [a,b]\ }$ ${\displaystyle \ dx,\ }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx,dx)}$

es independiente de la elección de Si es así, esta integral se llama integral definida (o primitiva) de on ${\displaystyle \ dx.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ [a,b].}$

Esto muestra que utilizando números hiperreales, la notación de Leibniz para la integral definida puede en realidad interpretarse como una expresión algebraica significativa (al igual que la derivada puede interpretarse como un cociente significativo). ^[4]

Propiedades

Los hiperreales * R forman un campo ordenado que contiene a los reales R como subcampo . A diferencia de los reales, los hiperreales no forman un espacio métrico estándar , pero en virtud de su orden llevan una topología de orden .

El uso del artículo definido the en la frase los números hiperreales es algo engañoso porque no existe un campo ordenado único al que se hace referencia en la mayoría de los tratamientos. Sin embargo, un artículo de 2003 de Vladimir Kanovei y Saharon Shelah ^[5] muestra que existe una extensión elemental definible y contablemente saturada (es decir, ω-saturada pero no contable ) de los reales, que por lo tanto tiene un buen derecho al título de hiperreal . números. Además, el campo obtenido por la construcción de ultrapotencias a partir del espacio de todas las secuencias reales es único hasta el isomorfismo si se asume la hipótesis del continuo .

La condición de ser un campo hiperreal es más fuerte que la de ser un campo real cerrado que contiene estrictamente a R. También es más fuerte que el de ser un campo suprareal en el sentido de Dales y Woodin . ^[6]

Desarrollo

Los hiperreales pueden desarrollarse ya sea axiomáticamente o mediante métodos orientados más constructivamente. La esencia del enfoque axiomático es afirmar (1) la existencia de al menos un número infinitesimal y (2) la validez del principio de transferencia. En la siguiente subsección ofrecemos un esquema detallado de un enfoque más constructivo. Este método permite construir los hiperreales si se le da un objeto de teoría de conjuntos llamado ultrafiltro , pero el ultrafiltro en sí no se puede construir explícitamente.

De Leibniz a Robinson

Cuando Newton y (más explícitamente) Leibniz introdujeron los diferenciales, utilizaron infinitesimales y matemáticos posteriores como Euler y Cauchy todavía los consideraban útiles . Sin embargo, estos conceptos fueron vistos desde el principio como sospechosos, especialmente por George Berkeley . La crítica de Berkeley se centró en un cambio percibido en la hipótesis de la definición de la derivada en términos de infinitesimales (o fluxiones), donde se supone que dx es distinto de cero al comienzo del cálculo y que desaparece al concluir (ver Fantasmas de cantidades fallecidas). para detalles). Cuando en el siglo XIX el cálculo adquirió una base firme gracias al desarrollo de la definición de límite (ε, δ) por parte de Bolzano , Cauchy, Weierstrass y otros, los infinitesimales fueron abandonados en gran medida, aunque continuaron las investigaciones en campos no arquimedianos (Ehrlich 2006).

Sin embargo, en la década de 1960, Abraham Robinson demostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse y utilizarse rigurosamente para desarrollar el campo del análisis no estándar . ^[7] Robinson desarrolló su teoría de forma no constructiva , utilizando la teoría de modelos ; sin embargo, es posible proceder utilizando únicamente álgebra y topología , y demostrando el principio de transferencia como consecuencia de las definiciones. En otras palabras, los números hiperreales per se , aparte de su uso en análisis no estándar, no tienen una relación necesaria con la teoría de modelos o la lógica de primer orden, aunque fueron descubiertos mediante la aplicación de técnicas teóricas de modelos de la lógica. De hecho, los campos hiperrealistas fueron introducidos originalmente por Hewitt (1948) mediante técnicas puramente algebraicas, utilizando una construcción ultrapotencia.

La construcción ultrapoderosa

Vamos a construir un campo hiperreal mediante secuencias de reales. ^[8] De hecho, podemos sumar y multiplicar secuencias por componentes; Por ejemplo:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}$

y de manera análoga para la multiplicación. Esto convierte el conjunto de tales secuencias en un anillo conmutativo , que de hecho es un álgebra A real . Tenemos una incrustación natural de R en A identificando el número real r con la secuencia ( r , r , r ,…) y esta identificación preserva las operaciones algebraicas correspondientes de los reales. La motivación intuitiva es, por ejemplo, representar un número infinitesimal mediante una secuencia que tiende a cero. La inversa de tal secuencia representaría un número infinito. Como veremos más adelante, las dificultades surgen debido a la necesidad de definir reglas para comparar tales secuencias de una manera que, aunque inevitablemente algo arbitraria, debe ser autoconsistente y estar bien definida. Por ejemplo, podemos tener dos secuencias que difieren en sus primeros n miembros, pero que después son iguales; claramente se debe considerar que tales secuencias representan el mismo número hiperreal. De manera similar, la mayoría de las secuencias oscilan aleatoriamente para siempre, y debemos encontrar alguna manera de tomar dicha secuencia e interpretarla como, digamos, donde hay un cierto número infinitesimal. ${\displaystyle 7+\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Por tanto, comparar secuencias es una cuestión delicada. Podríamos, por ejemplo, intentar definir una relación entre secuencias en forma de componentes:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots }$

pero aquí tenemos problemas, ya que algunas entradas de la primera secuencia pueden ser más grandes que las entradas correspondientes de la segunda secuencia, y otras pueden ser más pequeñas. De ello se deduce que la relación definida de esta manera es sólo un orden parcial . Para solucionar esto, tenemos que especificar qué posiciones importan. Dado que hay infinitos índices, no queremos que importen los conjuntos finitos de índices. Una elección consistente de conjuntos de índices importantes viene dada por cualquier ultrafiltro libre U en los números naturales ; Estos pueden caracterizarse como ultrafiltros que no contienen conjuntos finitos. (La buena noticia es que el lema de Zorn garantiza la existencia de muchas U de este tipo ; la mala noticia es que no pueden construirse explícitamente). Pensamos que U distingue aquellos conjuntos de índices que "importan": escribimos ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , ...) si y sólo si el conjunto de los números naturales { n  : a _n ≤ b _n } está en U .

Este es un preorden total y se convierte en un orden total si acordamos no distinguir entre dos secuencias a y b si a ≤ b y b ≤ a . Con esta identificación se construye el campo ordenado *R de hiperreales. Desde un punto de vista algebraico, U nos permite definir un ideal máximo correspondiente I en el anillo conmutativo A (es decir, el conjunto de secuencias que desaparecen en algún elemento de U ), y luego definir *R como A / I ; como cociente de un anillo conmutativo por un ideal máximo, *R es un campo. Esto también se anota A / U , directamente en términos del ultrafiltro libre U ; los dos son equivalentes. La maximalidad de I se deriva de la posibilidad de, dada una secuencia a , construir una secuencia b invirtiendo los elementos no nulos de a y no alterando sus entradas nulas. Si el conjunto en el que a desaparece no está en U , el producto ab se identifica con el número 1, y cualquier ideal que contenga 1 debe ser A. En el campo resultante, estos a y b son inversos.

El campo A / U es una ultrapotencia de R. Dado que este campo contiene R, tiene cardinalidad al menos la del continuo . Dado que A tiene cardinalidad

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},}$

tampoco es mayor que , y por tanto tiene la misma cardinalidad que R . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Una pregunta que podríamos hacernos es si, si hubiéramos elegido un ultrafiltro libre V diferente , el campo cociente A / U sería isomorfo como un campo ordenado a A / V . Esta pregunta resulta equivalente a la hipótesis del continuo ; en ZFC con la hipótesis del continuo podemos probar que este campo es único hasta el isomorfismo de orden , y en ZFC con la negación de la hipótesis del continuo podemos probar que hay pares de campos isomorfos sin orden que son ultrapotencias de los reales indexadas contablemente .

Para obtener más información sobre este método de construcción, consulte ultraproducto .

Un enfoque intuitivo para la construcción ultrapower.

La siguiente es una forma intuitiva de comprender los números hiperreales. El enfoque adoptado aquí es muy parecido al del libro de Goldblatt . ^[9] Recuerde que las secuencias que convergen a cero a veces se denominan infinitamente pequeñas. Estos son casi infinitesimales en cierto sentido; los verdaderos infinitesimales incluyen ciertas clases de secuencias que contienen una secuencia que converge a cero.

Veamos de dónde vienen estas clases. Consideremos primero las sucesiones de números reales. Forman un anillo , es decir, se pueden multiplicar, sumar y restar, pero no necesariamente dividir por un elemento distinto de cero. _{Los números reales} se consideran secuencias constantes, la secuencia es cero si es idénticamente cero, es decir, an  = 0 para todo n .

En nuestro anillo de secuencias se puede obtener ab  = 0 sin que a  = 0 ni b  = 0. Por lo tanto, si para dos secuencias se tiene ab  = 0, al menos una de ellas debe declararse cero. Sorprendentemente, existe una forma coherente de hacerlo. Como resultado, las clases de equivalencia de secuencias que difieren en alguna secuencia declarada cero formarán un campo, que se denomina campo hiperreal . Contendrá los infinitesimales además de los números reales ordinarios, así como números infinitamente grandes (los recíprocos de los infinitesimales, incluidos los representados por secuencias que divergen hasta el infinito). Además todo hiperreal que no sea infinitamente grande será infinitamente cercano a un real ordinario, es decir, será la suma de un real ordinario y un infinitesimal. ${\displaystyle a,b}$

Esta construcción es paralela a la construcción de los reales a partir de los racionales dados por Cantor . Comenzó con el anillo de las secuencias racionales de Cauchy y declaró que todas las secuencias que convergen a cero son cero. El resultado son los reales. Para continuar con la construcción de hiperreales, considere los conjuntos cero de nuestras secuencias, es decir, el , es decir, es el conjunto de índices para los cuales . Está claro que si , entonces la unión de y es N (el conjunto de todos los números naturales), entonces: ${\displaystyle z(a)=\{i:a_{i}=0\}}$ ${\displaystyle z(a)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle z(a)}$ ${\displaystyle z(b)}$

1. Una de las secuencias que desaparecen en dos conjuntos complementarios debe declararse cero.
2. Si se declara cero, también se debe declarar cero, sin importar lo que sea. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle b}$
3. Si ambos y se declaran cero, entonces también deben declararse cero. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$

Ahora la idea es seleccionar un grupo U de subconjuntos X de N y declarar que si y sólo si pertenece a U. De las condiciones anteriores se puede ver que: ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle z(a)}$

1. De dos conjuntos complementarios uno pertenece a U.
2. Cualquier conjunto que tenga un subconjunto que pertenezca a U , también pertenece a U.
3. Una intersección de dos conjuntos cualesquiera que pertenecen a U pertenece a U.
4. Finalmente, no queremos que el conjunto vacío pertenezca a U porque entonces todo pertenecería a U , ya que todo conjunto tiene el conjunto vacío como subconjunto.

Cualquier familia de conjuntos que satisfaga (2–4) se llama filtro (un ejemplo: los complementos de los conjuntos finitos, se llama filtro de Fréchet y se usa en la teoría de límites habitual). Si (1) también se cumple, U se llama ultrafiltro ( porque no se le pueden agregar más conjuntos sin romperlo). El único ejemplo explícitamente conocido de ultrafiltro es la familia de conjuntos que contienen un elemento dado (en nuestro caso, digamos, el número 10). Estos ultrafiltros se denominan triviales y, si los utilizamos en nuestra construcción, volvemos a los números reales ordinarios. Cualquier ultrafiltro que contenga un conjunto finito es trivial. Se sabe que cualquier filtro puede ampliarse a un ultrafiltro, pero la prueba utiliza el axioma de elección . La existencia de un ultrafiltro no trivial (el lema del ultrafiltro ) se puede agregar como un axioma adicional, ya que es más débil que el axioma de elección.

Ahora bien, si tomamos un ultrafiltro no trivial (que es una extensión del filtro Fréchet) y hacemos nuestra construcción, obtenemos como resultado los números hiperrealistas.

Si es una función real de una variable real , entonces naturalmente se extiende a una función hiperreal de una variable hiperreal por composición: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}$

donde significa "la clase de equivalencia de la secuencia relativa a nuestro ultrafiltro", estando dos secuencias en la misma clase si y sólo si el conjunto cero de su diferencia pertenece a nuestro ultrafiltro. ${\displaystyle \{\dots \}}$ ${\displaystyle \dots }$

Todas las expresiones y fórmulas aritméticas tienen sentido para los hiperreales y son válidas si lo son para los reales ordinarios. Resulta que cualquier hiperreal finito (es decir, tal que para algún real ordinario ) tendrá la forma donde es un real ordinario (llamado estándar) y es infinitesimal. Puede demostrarse mediante el método de bisección utilizado para demostrar el teorema de Bolzano-Weierstrass; la propiedad (1) de los ultrafiltros resulta crucial. ${\displaystyle |x|<a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y+d}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d}$

Propiedades de los números infinitesimales e infinitos.

Los elementos finitos F de *R forman un anillo local , y de hecho un anillo de valoración , siendo el único ideal máximo S los infinitesimales; el cociente F / S es isomorfo a los reales. Por tanto, tenemos una aplicación homomórfica , st( x ), de F a R cuyo núcleo consta de infinitesimales y que envía cada elemento x de F a un número real único cuya diferencia de x está en S ; es decir, es infinitesimal. Dicho de otra manera, todo número real finito no estándar está "muy cerca" de un número real único, en el sentido de que si x es un real finito no estándar, entonces existe uno y sólo un número real st( x ) tal que x  – st ( x ) es infinitesimal. Este número st( x ) se llama parte estándar de x , conceptualmente igual que x al número real más cercano . Esta operación es un homomorfismo que preserva el orden y, por lo tanto, se comporta bien tanto algebraicamente como teóricamente. Conserva el orden, aunque no es isotónico; es decir, implica , pero no implica . ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)}$

• Tenemos, si tanto x como y son finitos,
  $${\displaystyle \operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)}$$
  $${\displaystyle \operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)}$$
• Si x es finito y no infinitesimal.
  $${\displaystyle \operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)}$$
• x es real si y sólo si
  $${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x}$$

El mapa st es continuo con respecto a la topología de orden en los hiperreales finitos; de hecho es localmente constante .

Campos hiperrealistas

Supongamos que X es un espacio de Tychonoff , también llamado espacio T _3.5 , y C( X ) es el álgebra de funciones continuas de valores reales en X. Supongamos que M es un ideal máximo en C( X ). Entonces el álgebra factorial A = C( X )/ M es un campo F totalmente ordenado que contiene los reales. Si F contiene estrictamente a R, entonces M se denomina ideal hiperreal (terminología debida a Hewitt (1948)) y F un campo hiperreal . Tenga en cuenta que no se supone que la cardinalidad de F sea mayor que R ; de hecho, puede tener la misma cardinalidad.

Un caso especial importante es cuando la topología de X es la topología discreta ; en este caso X puede identificarse con un número cardinal κ y C( X ) con el álgebra real R ^κ de funciones de κ a R . Los campos hiperrealistas que obtenemos en este caso se denominan ultrapoderes de R y son idénticos a los ultrapoderes construidos mediante ultrafiltros libres en la teoría de modelos.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Análisis constructivo no estándar.
• Hiperentero  : un número hiperreal que es igual a su propia parte entera.
• Influencia del análisis no estándar.
• Cálculo no estándar  : aplicación moderna de infinitesimales
• Campo cerrado real  : campo no algebraicamente cerrado cuya extensión por sqrt(–1) es algebraicamente cerrada
• Línea real  – Línea de números realesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Número surrealista  – Generalización de los números reales - Los números surrealistas son una clase de números mucho más grande, que contiene los hiperreales así como otras clases de números no reales.

Referencias

1. Hewitt (1948), pág. 74, como se informa en Keisler (1994)
2. Bola, pag. 31
3. Fite, Isabelle (2022). "Diferenciales totales y parciales como entidades algebraicamente manipulables". arXiv : 2210.07958 .
4. Keisler
5. Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "Un modelo no estándar definible de los reales" (PDF) , Journal of Symbolic Logic , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi :10.2178/jsl/1080938834, S2CID  15104702, archivado desde el original (PDF) el 5 de agosto de 2004 , consultado el 13 de octubre de 2004
6. Woodin, WH; Dales, HG (1996), Campos superreales: campos totalmente ordenados con estructura adicional , Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9
7. Robinson, Abraham (1996), Análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3. La introducción clásica al análisis no estándar.
8. Loeb, Peter A. (2000), "Una introducción al análisis no estándar", Análisis no estándar para el matemático que trabaja , Math. Aplicación, vol. 510, Dordrecht: Kluwer Acad. Publicado, págs. 1 a 95
9. Goldblatt, Robert (1998), Conferencias sobre lo hiperreal: una introducción al análisis no estándar , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98464-3

Otras lecturas

• Ball, WW Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics (4ª ed. [Reimpresión. Publicación original: Londres: Macmillan & Co., 1908] ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 50–62 , ISBN 0-486-20630-0
• Hatcher, William S. (1982) "El cálculo es álgebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
• Hewitt, Edwin (1948) Anillos de funciones continuas de valor real. I. Trans. América. Matemáticas. Soc. 64, 45—99.
• Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), Anillos de funciones continuas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90198-5
• Keisler, H. Jerome (1994) La línea hiperreal. Números reales, generalizaciones de los reales y teorías de continuos, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
• Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Cálculo infinitesimal , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-42886-4

enlaces externos

• Crowell, Cálculo breve . Un texto que utiliza infinitesimales.
• Hermoso, el análisis no estándar y los hiperreales . Una suave introducción.
• Keisler, Cálculo elemental: un enfoque que utiliza infinitesimales . Incluye un tratamiento axiomático de los hiperreales y está disponible gratuitamente bajo una licencia Creative Commons.
• Stroyan, Una breve introducción al cálculo infinitesimal Conferencia 1 Conferencia 2 Conferencia 3 ^{[ enlace muerto permanente ]}