En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un anillo cociente , también conocido como anillo de factores , anillo de diferencias [1] o anillo de clases de residuos , es una construcción bastante similar al grupo cociente en la teoría de grupos y al espacio cociente en álgebra lineal. . [2] [3] Es un ejemplo específico de cociente , visto desde el contexto general del álgebra universal . Partiendo de un anillo R y un ideal bilateral I en R , se construye un nuevo anillo, el anillo cociente R / I , cuyos elementos son las clases laterales de I en R sujetas a operaciones especiales + y ⋅ . (La notación de anillo de cociente siempre utiliza una barra fraccionaria "/".)
Los anillos de cocientes son distintos del llamado "campo de cocientes", o campo de fracciones , de un dominio integral , así como de los "anillos de cocientes" más generales obtenidos por localización .
Dado un anillo R y un ideal bilateral I en R , podemos definir una relación de equivalencia ~ en R de la siguiente manera:
Utilizando las propiedades ideales, no es difícil comprobar que ~ es una relación de congruencia . En el caso a ~ b , decimos que a y b son congruentes módulo I. La clase de equivalencia del elemento a en R viene dada por
Esta clase de equivalencia también se escribe a veces como mod I y se denomina "clase residual de un módulo I ".
El conjunto de todas esas clases de equivalencia se denota por R / I ; se convierte en un anillo, el anillo factorial o anillo cociente de R módulo I , si se define
(Aquí hay que comprobar que estas definiciones estén bien definidas . Compare la clase lateral y el grupo cociente ). El elemento cero de R / I es 0 = (0 + I ) = I , y la identidad multiplicativa es 1 = (1 + I ) .
El mapa p de R a R / I definido por p ( a ) = a + I es un homomorfismo de anillo sobreyectivo , a veces llamado mapa de cociente natural o homomorfismo canónico .
Los cocientes R [ X ] / ( X ) , R [ X ] / ( X + 1 ) y R [ X ] / ( X − 1 ) son todos isomorfos a R y ganan poco interés al principio. Pero tenga en cuenta que R [ X ] / ( X 2 ) se llama plano numérico dual en álgebra geométrica. Consiste únicamente en binomios lineales como "restos" después de reducir un elemento de R [ X ] por X 2 . Esta variación de un plano complejo surge como una subálgebra siempre que el álgebra contenga una recta real y una nilpotente .
Además, el cociente del anillo R [ X ] / ( X 2 − 1 ) se divide en R [ X ] / ( X + 1) y R [ X ] / ( X − 1 ) , por lo que este anillo a menudo se considera el cociente directo. suma R ⊕ R . Sin embargo, j como raíz de X 2 − 1 sugiere una variación de los números complejos z = x + y j , en comparación con i como raíz de X 2 + 1 = 0 . Este plano de números complejos divididos normaliza la suma directa R ⊕ R proporcionando una base {1, j} para el espacio 2 donde la identidad del álgebra está a una distancia unitaria del cero. Con esta base se puede comparar una hipérbola unitaria con el círculo unitario del plano complejo ordinario .
Supongamos que X e Y son dos indeterminados que no conmutan y forman el álgebra libre R ⟨ X , Y ⟩ . Entonces los cuaterniones de Hamilton de 1843 pueden expresarse como
Si Y 2 − 1 se sustituye por Y 2 + 1 , entonces se obtiene el anillo de cuaterniones divididos . La propiedad anticonmutativa YX = − XY implica que XY tiene como cuadrado
Sustituir menos por más en ambos binomios cuadráticos también da como resultado cuaterniones divididos.
Los tres tipos de bicuaterniones también se pueden escribir como cocientes mediante el uso del álgebra libre con tres indeterminados R ⟨ X , Y , Z ⟩ y la construcción de ideales apropiados.
Claramente, si R es un anillo conmutativo , entonces también lo es R / I ; lo contrario, sin embargo, no es cierto en general.
El mapa de cociente natural p tiene I como núcleo ; Dado que el núcleo de todo homomorfismo de anillo es un ideal bilateral, podemos afirmar que los ideales bilaterales son precisamente los núcleos de los homomorfismos de anillo.
La relación íntima entre homomorfismos de anillo, núcleos y anillos cocientes se puede resumir de la siguiente manera: los homomorfismos de anillo definidos en R / I son esencialmente los mismos que los homomorfismos de anillo definidos en R que se desvanecen (es decir, son cero) en I. Más precisamente, dado un ideal bilateral I en R y un homomorfismo de anillo f : R → S cuyo núcleo contiene I , existe precisamente un homomorfismo de anillo g : R / I → S con gp = f (donde p es el cociente natural mapa). El mapa g aquí viene dado por la regla bien definida g ([ a ]) = f ( a ) para todo a en R . De hecho, esta propiedad universal se puede utilizar para definir anillos de cocientes y sus mapas de cocientes naturales.
Como consecuencia de lo anterior, se obtiene la afirmación fundamental: todo homomorfismo de anillo f : R → S induce un isomorfismo de anillo entre el anillo cociente R / ker( f ) y la imagen im( f ). (Ver también: Teorema fundamental sobre homomorfismos ).
Los ideales de R y R / I están estrechamente relacionados: el mapa de cociente natural proporciona una biyección entre los ideales bilaterales de R que contienen I y los ideales bilaterales de R / I (lo mismo es válido para la izquierda y la derecha). ideales). Esta relación entre ideales de dos lados se extiende a una relación entre los anillos cocientes correspondientes: si M es un ideal de dos lados en R que contiene I , y escribimos M / I para el ideal correspondiente en R / I (es decir, M / I = p ( M ) ), los anillos cocientes R / M y ( R / I ) / ( M / I ) son naturalmente isomorfos a través del mapeo (bien definido) a + M ↦ ( a + I ) + M / I .
Los siguientes hechos resultan útiles en álgebra conmutativa y geometría algebraica : para R ≠ {0} conmutativa, R / I es un campo si y sólo si I es un ideal máximo , mientras que R / I es un dominio integral si y sólo si I es un ideal primordial . Varias afirmaciones similares relacionan propiedades del ideal I con propiedades del anillo cociente R / I .
El teorema del resto chino establece que, si el ideal I es la intersección (o equivalentemente, el producto) de ideales coprimos por pares I 1 , ..., I k , entonces el anillo cociente R / I es isomorfo al producto del cociente anillos R / I n , n = 1, ..., k .
Un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo R es un anillo en sí mismo. Si I es un ideal en A (cerrado bajo R -multiplicación), entonces A / I hereda la estructura de un álgebra sobre R y es el álgebra cociente .