Coset

Subconjuntos separados y de igual tamaño del conjunto subyacente de un grupo

G es el grupo (ℤ / 8ℤ, +) , los enteros mod 8 bajo la suma. El subgrupo H contiene solo 0 y 4. Hay cuatro clases laterales izquierdas de H : H en sí, 1 + H , 2 + H y 3 + H (escrito usando notación aditiva ya que este es el grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño que no se superponen. El índice [ G  : H ] es 4.

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un subgrupo H de un grupo G puede usarse para descomponer el conjunto subyacente de G en subconjuntos disjuntos de igual tamaño llamados clases laterales . Hay clases laterales izquierdas y clases laterales derechas . Las clases laterales ( tanto izquierda como derecha) tienen el mismo número de elementos ( cardinalidad ) que H. Además, H en sí es a la vez una clase lateral izquierda y una clase lateral derecha. El número de clases laterales izquierdas de H en G es igual al número de clases laterales derechas de H en G. Este valor común se llama índice de H en G y generalmente se denota por [ G  : H ] .

Las clases laterales son una herramienta básica en el estudio de grupos; por ejemplo, juegan un papel central en el teorema de Lagrange que establece que para cualquier grupo finito G , el número de elementos de cada subgrupo H de G divide el número de elementos de G. Las clases laterales de un tipo particular de subgrupo (un subgrupo normal ) se pueden utilizar como elementos de otro grupo llamado grupo cociente o grupo de factores . Las clases laterales también aparecen en otras áreas de las matemáticas, como los espacios vectoriales y los códigos de corrección de errores .

Definición

Sea H un subgrupo del grupo G cuya operación se escribe multiplicativamente (la yuxtaposición denota la operación de grupo). Dado un elemento g de G , las clases laterales izquierdas de H en G son los conjuntos obtenidos al multiplicar cada elemento de H por un elemento fijo g de G (donde g es el factor izquierdo). En símbolos estos son,

gH = { gh  : h un elemento de H } para g en G .

Las clases laterales derechas se definen de manera similar, excepto que el elemento g ahora es un factor derecho, es decir,

Hg = { hg  : h un elemento de H } para g en G .

Como g varía a lo largo del grupo, parecería que se generarían muchas clases laterales (derecha o izquierda). Sin embargo, resulta que dos clases laterales izquierdas cualesquiera (respectivamente, clases laterales derechas) son disjuntas o son idénticas como conjuntos. ^[1]

Si la operación del grupo se escribe de forma aditiva, como suele ser el caso cuando el grupo es abeliano , la notación utilizada cambia a g + H o H + g , respectivamente.

Primer ejemplo

Sea G el grupo diédrico de orden seis . Sus elementos pueden estar representados por { I , a , a ² , b , ab , a ² b } . En este grupo, a ³ = b ² = I y ba = a ² b . Esta es información suficiente para completar toda la tabla de Cayley :

Sea T el subgrupo { I , b } . Las clases laterales izquierdas (distintas) de T son:

• ESO = T = { I , b } ,
• aT = { a , ab } , y
• un ² T = { un ² , un ² segundo } .

Dado que todos los elementos de G han aparecido ahora en una de estas clases laterales, generar más no puede dar nuevas clases laterales; cualquier nueva clase lateral tendría que tener un elemento en común con una de estas clases laterales y, por lo tanto, sería idéntica a una de estas clases laterales. Por ejemplo, abT = { ab , a } = aT .

Las clases laterales derechas de T son:

• TI = T = { yo , segundo } ,
• Ta = { a , ba } = { a , a ² b } , y
• Ta ² = { a ² , ba ² } = { a ² , ab } .

En este ejemplo, excepto T , ninguna clase lateral izquierda es también una clase lateral derecha.

Sea H el subgrupo { I , a , a ² } . Las clases laterales izquierdas de H son IH = H y bH = { b , ba , ba ² } . Las clases laterales derechas de H son HI = H y Hb = { b , ab , a ² b } = { b , ba ² , ba } . En este caso, cada clase lateral izquierda de H también es una clase lateral derecha de H. ^[2]

Sea H un subgrupo de un grupo G y supongamos que g ₁ , g ₂ ∈ G . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[3]

• gramo ₁ H = gramo ₂ H
• Hg ₁ ⁻¹ = Hg ₂ ⁻¹
• gramo ₁ H ⊂ gramo ₂ H
• gramo ₂ ∈ gramo ₁ H
• gramo ₁ ⁻¹ gramo ₂ ∈ H

Propiedades

La disjunción de clases laterales no idénticas es el resultado del hecho de que si x pertenece a gH entonces gH = xH . Porque si x ∈ gH entonces debe existir un a ∈ H tal que ga = x . Por lo tanto xH = ( ga ) H = g ( aH ) . Además, dado que H es un grupo, la multiplicación por la izquierda por a es una biyección y aH = H.

Así, cada elemento de G pertenece exactamente a una clase lateral izquierda del subgrupo H , ^[1] y H es en sí misma una clase lateral izquierda (y la que contiene la identidad). ^[2]

Dos elementos que están en la misma clase lateral izquierda también proporcionan una relación de equivalencia natural . Defina dos elementos de G , x e y , como equivalentes con respecto al subgrupo H si xH = yH (o de manera equivalente si x ⁻¹ y pertenece a H ). Las clases de equivalencia de esta relación son las clases laterales izquierdas de H. ^[4] Como ocurre con cualquier conjunto de clases de equivalencia, forman una partición del conjunto subyacente. Un representante de clase lateral es un representante en el sentido de clase de equivalencia. Un conjunto de representantes de todas las clases laterales se llama transversal . Hay otros tipos de relaciones de equivalencia en un grupo, como la conjugación, que forman diferentes clases que no tienen las propiedades discutidas aquí.

Afirmaciones similares se aplican a las clases laterales derechas.

Si G es un grupo abeliano , entonces g + H = H + g para cada subgrupo H de G y cada elemento g de G. Para grupos generales, dado un elemento g y un subgrupo H de un grupo G , la clase lateral derecha de H con respecto a g es también la clase lateral izquierda del subgrupo conjugado g ⁻¹ Hg con respecto a g , es decir, Hg = g ( gramo ⁻¹ Hg ) .

Subgrupos normales

Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal de G si y sólo si para todos los elementos g de G las clases laterales izquierda y derecha correspondientes son iguales, es decir, gN = Ng . Este es el caso del subgrupo H en el primer ejemplo anterior. Además, las clases laterales de N en G forman un grupo llamado grupo cociente o grupo factorial G  /  N .

Si H no es normal en G , entonces sus clases laterales izquierdas son diferentes de sus clases laterales derechas. Es decir, existe una a en G tal que ningún elemento b satisface aH = Hb . Esto significa que la partición de G en las clases laterales izquierdas de H es una partición diferente a la partición de G en las clases laterales derechas de H. Esto se ilustra con el subgrupo T en el primer ejemplo anterior. ( Algunas clases laterales pueden coincidir. Por ejemplo, si a está en el centro de G , entonces aH = Ha ).

Por otro lado, si el subgrupo N es normal el conjunto de todas las clases laterales forma un grupo llamado grupo cociente G  /  N con la operación ∗ definida por ( aN ) ∗ ( bN ) = abN . Dado que cada clase lateral derecha es una clase lateral izquierda, no es necesario distinguir las "clases laterales izquierdas" de las "clases laterales derechas".

Índice de un subgrupo

Cada clase lateral izquierda o derecha de H tiene el mismo número de elementos (o cardinalidad en el caso de un H infinito ) que el propio H. Además, el número de clases laterales izquierdas es igual al número de clases laterales derechas y se conoce como índice de H en G , escrito como [ G  : H ] . El teorema de Lagrange nos permite calcular el índice en el caso de que G y H sean finitos:

$${\displaystyle |G|=[G:H]|H|.}$$

Más ejemplos

Enteros

Sea G el grupo aditivo de los números enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) y H el subgrupo (3 Z , +) = ({ ..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +) . Entonces las clases laterales de H en G son los tres conjuntos 3 Z , 3 Z + 1 y 3 Z + 2 , donde 3 Z + a = {..., −6 + a , −3 + a , a , 3 + un , 6 + un , ...} . Estos tres conjuntos dividen el conjunto Z , por lo que no hay otras clases laterales derechas de H. Debido a la conmutividad de la suma H + 1 = 1 + H y H + 2 = 2 + H . Es decir, cada clase lateral izquierda de H también es una clase lateral derecha, por lo que H es un subgrupo normal. ^[5] (El mismo argumento muestra que cada subgrupo de un grupo abeliano es normal. ^[6] )

Este ejemplo puede generalizarse. De nuevo, sea G el grupo aditivo de los números enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) , y ahora sea H el subgrupo ( m Z , + ) = ({..., −2 m , − m , 0, m , 2 m , ...}, +) , donde m es un número entero positivo. Entonces las clases laterales de H en G son los m conjuntos m Z , m Z + 1 , ..., m Z + ( m − 1 ) , donde m Z + a = {..., −2 m + a , − m + a , a , m + a , 2 m + a , ...} . No hay más de m clases laterales, porque m Z + m = m ( Z + 1) = m Z . La clase lateral ( m Z + a , +) es la clase de congruencia de un módulo m . ^[7] El subgrupo m Z es normal en Z , por lo que puede usarse para formar el grupo cociente Z  /  m Z el grupo de enteros mod m .

Vectores

Otro ejemplo de clase lateral proviene de la teoría de los espacios vectoriales . Los elementos (vectores) de un espacio vectorial forman un grupo abeliano bajo suma de vectores . Los subespacios del espacio vectorial son subgrupos de este grupo. Para un espacio vectorial V , un subespacio W y un vector fijo a en V , los conjuntos

$${\displaystyle \{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}}$$

subespacios afinesEn términos de vectores geométricosparalelosavión R ²mOmR ²PR ²P + mm ′myP^[8]

matrices

Sea G el grupo multiplicativo de matrices, ^[9]

$${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}$$

HG

$${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.}$$

G

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}$$

GHG

$${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$$

G

Como órbitas de una acción grupal.

Un subgrupo H de un grupo G se puede utilizar para definir una acción de H sobre G de dos formas naturales. Una acción hacia la derecha , G × H → G dada por ( g , h ) → gh o una acción hacia la izquierda , H × G → G dada por ( h , g ) → hg . La órbita de g bajo la acción derecha es la clase lateral izquierda gH , mientras que la órbita bajo la acción izquierda es la clase lateral derecha Hg . ^[10]

Historia

El concepto de coset se remonta al trabajo de Galois de 1830-1831. Introdujo una notación pero no proporcionó un nombre para el concepto. El término "coconjunto" aparentemente aparece por primera vez en 1910 en un artículo de GA Miller en el Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (vol. 41, p. 382). Se han utilizado varios otros términos, incluido el alemán Nebengruppen ( Weber ) y grupo conjugado ( Burnside ). ^[11] (Tenga en cuenta que Miller abrevió su autocita a Quarterly Journal of Mathematics ; esto no se refiere a la revista del mismo nombre , que no comenzó a publicarse hasta 1930.)

A Galois le preocupaba decidir cuándo una ecuación polinómica dada podía resolverse mediante radicales . Una herramienta que desarrolló fue observar que un subgrupo H de un grupo de permutaciones G inducía dos descomposiciones de G (lo que ahora llamamos clases laterales izquierda y derecha). Si estas descomposiciones coincidían, es decir, si las clases laterales izquierdas son iguales que las clases laterales derechas, entonces había una manera de reducir el problema a trabajar sobre H en lugar de G. Camille Jordan, en sus comentarios sobre el trabajo de Galois en 1865 y 1869, desarrolló estas ideas y definió los subgrupos normales como lo hemos hecho anteriormente, aunque no utilizó este término. ^[6]

Llamar a la clase lateral gH la clase lateral izquierda de g con respecto a H , aunque es más común hoy en día, ^[10] no ha sido universalmente cierto en el pasado. Por ejemplo, Hall (1959) llamaría a gH una clase lateral derecha , enfatizando que el subgrupo está a la derecha.

Una aplicación de la teoría de la codificación.

Un código lineal binario es un subespacio C de n dimensiones de un espacio vectorial de dimensiones V sobre el campo binario GF(2) . Como V es un grupo abeliano aditivo, C es un subgrupo de este grupo. Los códigos se pueden utilizar para corregir errores que pueden ocurrir en la transmisión. Cuando se transmite una palabra de código (elemento de C ), algunos de sus bits pueden alterarse en el proceso y la tarea del receptor es determinar la palabra de código más probable con la que podría haber comenzado la palabra corrupta recibida . Este procedimiento se llama decodificación y si sólo se cometen unos pocos errores en la transmisión, se puede realizar eficazmente con sólo unos pocos errores. Un método utilizado para decodificar utiliza una disposición de los elementos de V (una palabra recibida podría ser cualquier elemento de V ) en una matriz estándar . Una matriz estándar es una descomposición lateral de V expresada en forma tabular de cierta manera. Es decir, la fila superior de la matriz consta de los elementos de C , escritos en cualquier orden, excepto que el vector cero debe escribirse primero. Luego, se selecciona un elemento de V con un número mínimo de unos que aún no aparece en la fila superior y la clase lateral de C que contiene este elemento se escribe como la segunda fila (es decir, la fila se forma tomando la suma de estos elemento con cada elemento de C directamente encima de él). Este elemento se llama líder de clase lateral y puede haber alguna opción para seleccionarlo. Ahora se repite el proceso, se selecciona un nuevo vector con un número mínimo de unos que aún no aparece como nuevo líder de clase lateral y la clase lateral de C que lo contiene es la siguiente fila. El proceso finaliza cuando todos los vectores de V se han ordenado en las clases laterales.

Un ejemplo de una matriz estándar para el código bidimensional C = {00000, 01101, 10110, 11011} en el espacio bidimensional V (con 32 vectores) es el siguiente:

El procedimiento de decodificación consiste en encontrar la palabra recibida en la tabla y luego agregarle el líder de la clase lateral de la fila en la que se encuentra. Dado que en aritmética binaria sumar es la misma operación que restar, esto siempre da como resultado un elemento de C. En el caso de que los errores de transmisión ocurrieran precisamente en las posiciones distintas de cero del líder de clase lateral, el resultado será la palabra de código correcta. En este ejemplo, si ocurre un solo error, el método siempre lo corregirá, ya que en la matriz aparecen todos los posibles líderes de clases laterales con uno solo.

La decodificación de síndromes se puede utilizar para mejorar la eficiencia de este método. Es un método para calcular la clase lateral (fila) correcta en la que estará una palabra recibida. Para un código C de n dimensiones en un espacio vectorial binario de dimensiones m , una matriz de verificación de paridad es una matriz ( m − n ) × m. H teniendo la propiedad de que x H ^T = 0 si y sólo si x está en C . ^[12] El vector x H ^T se llama síndrome de x y, por linealidad , cada vector en la misma clase lateral tendrá el mismo síndrome. Para decodificar, la búsqueda ahora se reduce a encontrar el líder de clase que tiene el mismo síndrome que la palabra recibida. ^[13]

Acostados dobles

Dados dos subgrupos, H y K (que no necesitan ser distintos) de un grupo G , las clases laterales dobles de H y K en G son conjuntos de la forma HgK = { hgk  : h un elemento de H , k un elemento de K } . Estas son las clases laterales izquierdas de K y las clases laterales derechas de H cuando H = 1 y K = 1 respectivamente. ^[14]

Dos clases laterales dobles HxK y HyK son separadas o idénticas. ^[15] El conjunto de todas las clases laterales dobles para H y K fijos forman una partición de G.

Una clase lateral doble HxK contiene las clases laterales derechas completas de H (en G ) de la forma Hxk , con k un elemento de K y las clases laterales izquierdas completas de K (en G ) de la forma hxK , con h en H. ^[15]

Notación

Sea G un grupo con subgrupos H y K. Varios autores que trabajan con estos conjuntos han desarrollado una notación especializada para su trabajo, donde ^{[16] [17]}

• G  /  H denota el conjunto de clases laterales izquierdas { gH  : g en G } de H en G .
• H  \  G denota el conjunto de clases laterales derechas { Hg  : g en G } de H en G .
• K  \  G  /  H denota el conjunto de clases laterales dobles { KgH  : g en G } de H y K en G , a veces denominado espacio de clases laterales dobles .
• G  //  H denota el espacio de doble clase lateral H  \  G  /  H del subgrupo H en G .

Más aplicaciones

• Las clases laterales de Q en R se utilizan en la construcción de conjuntos Vitali , un tipo de conjunto no medible .
• Las clases laterales son centrales en la definición de la transferencia .
• Las clases laterales son importantes en la teoría de grupos computacional. Por ejemplo, el algoritmo de Thistlethwaite para resolver el cubo de Rubik se basa en gran medida en clases laterales.
• En geometría, una forma de Clifford-Klein es un espacio lateral doble Γ \  G  /  H , donde G es un grupo de Lie reductivo , H es un subgrupo cerrado y Γ es un subgrupo discreto (de G ) que actúa adecuadamente de manera discontinua sobre el homogéneo . espacio G  /  H .

Ver también

• Montón
• enumeración de coset

Notas

1. Rotman 2006, pág. 156
2. Dean 1990, pág. 100
3. "Cosetes AATA". Archivado desde el original el 22 de enero de 2022 . Consultado el 9 de diciembre de 2020 .
4. Rotman 2006, p.155
5. Fraleigh 1994, pág. 117
6. Fraleigh 1994, pág. 169
7. Joshi 1989, pag. 323
8. Rotman 2006, pag. 155
9. Burton 1988, págs.128, 135
10. Jacobson 2009, pág. 52
11. Molinero 2012, pag. 24 nota al pie
12. La matriz de transposición se utiliza para que los vectores puedan escribirse como vectores de fila.
13. Rotman 2006, pag. 423
14. Scott 1987, pág. 19
15. Hall 1959, págs. 14-15
16. Seitz, Gary M. (1998), "Cosets dobles en grupos algebraicos", en Carter, RW; Saxl, J. (eds.), Grupos algebraicos y su representación , Springer, págs. 241–257, doi :10.1007/978-94-011-5308-9_13, ISBN 978-0-7923-5292-1
17. Duckworth, W. Ethan (2004), "Infinito de colecciones de clases laterales dobles en grupos algebraicos", Journal of Algebra , Elsevier, 273 (2): 718–733, arXiv : math/0305256 , doi :10.1016/j.jalgebra. 2003.08.011, S2CID  17839580

Referencias

• Burton, David M. (1988), Álgebra abstracta , Wm. C. Editores Brown, ISBN 0-697-06761-0
• Dean, Richard A. (1990), Álgebra abstracta clásica , Harper and Row, ISBN 0-06-041601-7
• Fraleigh, John B. (1994), Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
• Hall, Jr., Marshall (1959), La teoría de los grupos , The Macmillan Company
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Álgebra básica I (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Joshi, KD (1989), "§5.2 Cosets of Subgroups", Fundamentos de las matemáticas discretas, New Age International, págs. 322 y siguientes, ISBN 81-224-0120-1
• Miller, GA (2012) [1916], Teoría y aplicaciones de grupos finitos , Applewood Books, ISBN 9781458500700
• Rotman, Joseph J. (2006), Un primer curso de álgebra abstracta con aplicaciones (3.ª ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Scott, WR (1987), "§1.7 Cosets and index", Teoría de grupos, Courier Dover Publications, págs. 19 y siguientes, ISBN 0-486-65377-3

Otras lecturas

• Zassenhaus, Hans J. (1999), "§1.4 Subgrupos", La teoría de los grupos, Publicaciones Courier Dover, págs. 10 y siguientes, ISBN 0-486-40922-8

enlaces externos

• Nicolás Bray. "Coset". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Coset izquierdo". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Coset derecho". MundoMatemático .
• Ivanova, OA (2001) [1994], "Coset en un grupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Coset en PlanetMath .
• Ejemplos ilustrados
• "Coset". accesorios de grupo . Wiki de propiedades del grupo.