Índice de un subgrupo

Concepto de teoría de grupos matemáticos

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el índice de un subgrupo H en un grupo G es el número de clases laterales izquierdas de H en G o, equivalentemente, el número de clases laterales derechas de H en G. El índice se denota por o o . Debido a que G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas y debido a que cada clase lateral izquierda tiene el mismo tamaño que H , el índice está relacionado con los órdenes de los dos grupos por la fórmula ${\displaystyle |G:H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle (G:H)}$

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

(interpretar las cantidades como números cardinales si algunas de ellas son infinitas). Por lo tanto, el índice mide los "tamaños relativos" de G y H. ${\displaystyle |G:H|}$

Por ejemplo, sea el grupo de números enteros bajo la adición , y sea el subgrupo que consiste en los números enteros pares . Entonces tiene dos clases laterales en , a saber, el conjunto de números enteros pares y el conjunto de números enteros impares, por lo que el índice es 2. De manera más general, para cualquier número entero positivo n . ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$

Cuando G es finito , la fórmula puede escribirse como , e implica el teorema de Lagrange que divide . ${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle |G|}$

Cuando G es infinito, es un número cardinal distinto de cero que puede ser finito o infinito. Por ejemplo, , pero es infinito. ${\displaystyle |G:H|}$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}$

Si N es un subgrupo normal de G , entonces es igual al orden del grupo cociente , ya que el conjunto subyacente de es el conjunto de clases laterales de N en G . ${\displaystyle |G:N|}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/N}$

Propiedades

• Si H es un subgrupo de G y K es un subgrupo de H , entonces

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• Si H y K son subgrupos de G , entonces

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

con igualdad si . (Si es finito, entonces la igualdad se cumple si y sólo si .) ${\displaystyle HK=G}$ ${\displaystyle |G:H\cap K|}$ ${\displaystyle HK=G}$

• De manera equivalente, si H y K son subgrupos de G , entonces

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

con igualdad si . (Si es finito, entonces la igualdad se cumple si y sólo si .) ${\displaystyle HK=G}$ ${\displaystyle |H:H\cap K|}$ ${\displaystyle HK=G}$

• Si G y H son grupos y es un homomorfismo , entonces el índice del núcleo de en G es igual al orden de la imagen: ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto X y sea x  ∈  X . Entonces la cardinalidad de la órbita de x bajo G es igual al índice del estabilizador de x :

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

Esto se conoce como el teorema del estabilizador de la órbita .

• Como caso especial del teorema del estabilizador de órbita, el número de conjugados de un elemento es igual al índice del centralizador de x en G. ${\displaystyle gxg^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G}$
• De manera similar, el número de conjugados de un subgrupo H en G es igual al índice del normalizador de H en G. ${\displaystyle gHg^{-1}}$
• Si H es un subgrupo de G , el índice del núcleo normal de H satisface la siguiente desigualdad:

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

donde ! denota la función factorial ; esto se analiza más adelante.

• Como corolario, si el índice de H en G es 2, o para un grupo finito el primo más bajo p que divide el orden de G, entonces H es normal, ya que el índice de su núcleo también debe ser p, y por lo tanto H es igual a su núcleo, es decir, es normal.
• Téngase en cuenta que puede no existir un subgrupo con el índice primo más bajo, como en cualquier grupo simple de orden no primo o, más generalmente, en cualquier grupo perfecto .

Ejemplos

• El grupo alterno tiene índice 2 en el grupo simétrico y por lo tanto es normal. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n},}$
• El grupo ortogonal especial tiene índice 2 en el grupo ortogonal y, por lo tanto, es normal. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$
• El grupo abeliano libre tiene tres subgrupos de índice 2, a saber: ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}}$.

• De manera más general, si p es primo entonces tiene subgrupos de índice p , correspondientes a los homomorfismos no triviales . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• De manera similar, el grupo libre tiene subgrupos de índice p . ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$
• El grupo diedro infinito tiene un subgrupo cíclico de índice 2, que es necesariamente normal.

Índice infinito

Si H tiene un número infinito de clases laterales en G , entonces se dice que el índice de H en G es infinito. En este caso, el índice es en realidad un número cardinal . Por ejemplo, el índice de H en G puede ser contable o incontable , dependiendo de si H tiene un número contable de clases laterales en G . Nótese que el índice de H es como máximo del orden de G, lo que se realiza para el subgrupo trivial, o de hecho cualquier subgrupo H de cardinalidad infinita menor que la de G. ${\displaystyle |G:H|}$

Índice finito

Un subgrupo H de índice finito en un grupo G (finito o infinito) siempre contiene un subgrupo normal N (de G ), también de índice finito. De hecho, si H tiene índice n , entonces el índice de N será algún divisor de n ! y un múltiplo de n ; de hecho, N puede tomarse como el núcleo del homomorfismo natural de G al grupo de permutación de las clases laterales izquierdas (o derechas) de H . Expliquemos esto con más detalle, utilizando clases laterales derechas:

Los elementos de G que dejan todas las clases laterales iguales forman un grupo.

Llamemos a este grupo A . Sea B el conjunto de elementos de G que realizan una permutación dada en las clases laterales de H . Entonces B es una clase lateral derecha de A .

Lo que hemos dicho hasta ahora se aplica tanto si el índice de H es finito como infinito. Supongamos ahora que es el número finito n . Puesto que el número de permutaciones posibles de las clases laterales es finito, es decir , n !, entonces solo puede haber un número finito de conjuntos como B . (Si G es infinito, entonces todos esos conjuntos son, por tanto, infinitos.) El conjunto de estos conjuntos forma un grupo isomorfo a un subconjunto del grupo de permutaciones, por lo que el número de estos conjuntos debe dividir a n !. Además, debe ser un múltiplo de n porque cada clase lateral de H contiene el mismo número de clases laterales de A . Finalmente, si para algún c ∈ G y a ∈ A tenemos ca = xc , entonces para cualquier d ∈ G dca = dxc , pero también dca = hdc para algún h ∈ H (por la definición de A ), por lo que hd = dx . Como esto es cierto para cualquier d , x debe ser un miembro de A, por lo que ca = xc implica que cac ⁻¹ ∈ A y, por lo tanto, A es un subgrupo normal.

El índice del subgrupo normal no sólo tiene que ser divisor de n !, sino que también debe satisfacer otros criterios. Puesto que el subgrupo normal es un subgrupo de H , su índice en G debe ser n veces su índice dentro de H. Su índice en G también debe corresponder a un subgrupo del grupo simétrico S _n , el grupo de permutaciones de n objetos. Así, por ejemplo, si n es 5, el índice no puede ser 15 aunque esto divida a 5!, porque no hay ningún subgrupo de orden 15 en S ₅ .

En el caso de n = 2 esto da el resultado bastante obvio de que un subgrupo H de índice 2 es un subgrupo normal, porque el subgrupo normal de H debe tener índice 2 en G y por lo tanto ser idéntico a H . (Podemos llegar a este hecho también notando que todos los elementos de G que no están en H constituyen la clase lateral derecha de H y también la clase lateral izquierda, por lo que los dos son idénticos.) De manera más general, un subgrupo de índice p donde p es el factor primo más pequeño del orden de G (si G es finito) es necesariamente normal, ya que el índice de N divide a p ! y por lo tanto debe ser igual a p, al no tener otros factores primos. Por ejemplo, el subgrupo Z ₇ del grupo no abeliano de orden 21 es normal (ver Lista de grupos no abelianos pequeños y Grupo de Frobenius#Ejemplos ).

Una prueba alternativa del resultado de que un subgrupo de índice primo más bajo p es normal, y otras propiedades de los subgrupos de índice primo, se dan en (Lam 2004).

Ejemplos

El grupo O de simetría octaédrica quiral tiene 24 elementos. Tiene un subgrupo diedro D ₄ (de hecho tiene tres) de orden 8, y por tanto de índice 3 en O , al que llamaremos H . Este grupo diedro tiene un subgrupo D ₂ de 4 miembros , al que podemos llamar A . Multiplicando por la derecha cualquier elemento de una clase lateral derecha de H por un elemento de A se obtiene un miembro de la misma clase lateral de H ( Hca = Hc ). A es normal en O . Hay seis clases laterales de A , correspondientes a los seis elementos del grupo simétrico S ₃ . Todos los elementos de cualquier clase lateral particular de A realizan la misma permutación de las clases laterales de H .

Por otra parte, el grupo T _h de simetría piritoédrica también tiene 24 miembros y un subgrupo de índice 3 (esta vez se trata de un grupo de simetría prismática D _2h , ver grupos puntuales en tres dimensiones ), pero en este caso todo el subgrupo es un subgrupo normal. Todos los miembros de una clase lateral particular realizan la misma permutación de estas clases laterales, pero en este caso representan solo el grupo alternante de 3 elementos en el grupo simétrico S ₃ de 6 miembros .

Subgrupos normales del índice de potencia principal

Los subgrupos normales de índice de potencia principal son núcleos de aplicaciones sobreyectivas de p -grupos y tienen una estructura interesante, como se describe en Teorema de subgrupo focal: Subgrupos y se explica en Teorema de subgrupo focal .

Hay tres subgrupos normales importantes del índice de potencia principal, cada uno de los cuales es el subgrupo normal más pequeño de una determinada clase:

• E ^p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales de índice p ; G / E ^p ( G ) es un grupo abeliano elemental , y es el p -grupo abeliano elemental más grande sobre el cual G sobreyecta.
• A ^p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales K tales que G / K es un p -grupo abeliano (es decir, K es un subgrupo normal de índice que contiene al grupo derivado ): G / A ^p ( G ) es el p -grupo abeliano más grande (no necesariamente elemental) sobre el cual G sobreyecta. ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales K de G tales que G / K es un p -grupo (posiblemente no abeliano) (es decir, K es un subgrupo normal de índice): G / O ^p ( G ) es el p -grupo más grande (no necesariamente abeliano) sobre el cual G sobreyecta. O ^p ( G ) también se conoce como el ${\displaystyle p^{k}}$subgrupo p -residual .

Como estas son condiciones más débiles en los grupos K, se obtienen las contenciones

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

Estos grupos tienen conexiones importantes con los subgrupos de Sylow y el homomorfismo de transferencia, como se analiza allí.

Estructura geométrica

Una observación elemental es que no se pueden tener exactamente 2 subgrupos de índice 2, ya que el complemento de su diferencia simétrica produce un tercero. Este es un corolario simple de la discusión anterior (es decir, la proyectivización de la estructura del espacio vectorial del grupo abeliano elemental).

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$,

y además, G no actúa sobre esta geometría, ni refleja ninguna de las estructuras no abelianas (en ambos casos porque el cociente es abeliano).

Sin embargo, se trata de un resultado elemental, que puede verse concretamente de la siguiente manera: el conjunto de subgrupos normales de un índice p dado forma un espacio proyectivo , es decir, el espacio proyectivo

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).}$

En detalle, el espacio de homomorfismos desde G hasta el grupo (cíclico) de orden p, es un espacio vectorial sobre el cuerpo finito Una función no trivial de este tipo tiene como núcleo un subgrupo normal de índice p, y multiplicar la función por un elemento de (un número distinto de cero módulo p ) no cambia el núcleo; por lo tanto, se obtiene una función de ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

a subgrupos de índice p normales. Por el contrario, un subgrupo normal de índice p determina una función no trivial hasta una elección de "qué clase lateral se asigna a cuál" muestra que esta función es una biyección. ${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$ ${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$

En consecuencia, el número de subgrupos normales del índice p es

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

para algún k; no corresponde a ningún subgrupo normal de índice p . Además, dados dos subgrupos normales distintos de índice p, se obtiene una línea proyectiva que consta de dichos subgrupos. ${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle p+1}$

La diferencia simétrica de dos subgrupos distintos de índice 2 (que son necesariamente normales) da el tercer punto en la línea proyectiva que contiene estos subgrupos, y un grupo debe contener subgrupos de índice 2 – no puede contener exactamente 2 o 4 subgrupos de índice 2, por ejemplo. ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$

Véase también

• Prácticamente
• Codimensión

Referencias

• Lam, TY (marzo de 2004), "Sobre subgrupos de índice primo", The American Mathematical Monthly , 111 (3): 256–258, JSTOR  4145135

Enlaces externos

• Normalidad de subgrupos de índice primo en PlanetMath .
• "El subgrupo de menor índice primo es normal" en Groupprops, The Group Properties Wiki