Grupo diédrico de orden 6

Grupo no conmutativo con 6 elementos.

Gráfico de Cayley con permutaciones de un triángulo.

Gráfico de ciclo con matrices de permutación de 3 elementos
(los generadores a y b son los mismos que en el gráfico de Cayley que se muestra arriba).

Tabla de Cayley como tabla de multiplicar de las matrices de permutación.

Posiciones de los seis elementos en la tabla de Cayley
Sólo los elementos neutros son simétricos con respecto a la diagonal principal, por lo que este grupo no es abeliano .

Tabla Cayley como grupo lineal general (y especial ) GL(2, 2)

En matemáticas , D ₃ (a veces denotado alternativamente por D ₆ ) es el grupo diédrico de grado 3 y orden 6. Es igual al grupo simétrico S ₃ . También es el grupo no abeliano más pequeño . ^[1]

Esta página ilustra muchos conceptos de grupo usando este grupo como ejemplo.

Grupos de simetría

El grupo diédrico D ₃ es el grupo de simetría de un triángulo equilátero , es decir, es el conjunto de todas las transformaciones como reflexión, rotación y combinaciones de estas, que dejan fija la forma y posición de este triángulo. En el caso de D ₃ , cada posible permutación de los vértices del triángulo constituye tal transformación, de modo que el grupo de estas simetrías es isomorfo al grupo simétrico S ₃ de todas las permutaciones de tres elementos distintos. Este no es el caso de los grupos diédricos de órdenes superiores.

El grupo diédrico D ₃ es isomorfo a otros dos grupos de simetría en tres dimensiones:

• uno con un eje de rotación triple y un eje de rotación perpendicular doble (de ahí tres de estos): D ₃
• uno con un eje de rotación triple en un plano de reflexión (y por tanto también en otros dos planos de reflexión): C _3v

Permutaciones de un conjunto de tres objetos.

Considere tres bloques de colores (rojo, verde y azul), colocados inicialmente en el orden RGB. El grupo simétrico S ₃ es entonces el conjunto de todas las posibles reordenaciones de estos bloques. Si denotamos por a la acción "intercambiar los dos primeros bloques" y por b la acción "intercambiar los dos últimos bloques", podemos escribir todas las permutaciones posibles en términos de estas dos acciones.

En forma multiplicativa, tradicionalmente escribimos xy para la acción combinada "primero haz y , luego haz x "; de modo que ab es la acción RGB ↦ RBG ↦ BRG , es decir, "tomar el último bloque y moverlo al frente". Si escribimos e para "dejar los bloques como están" (la acción de identidad), entonces podemos escribir las seis permutaciones del conjunto de tres bloques como las siguientes acciones:

• e  : RGB ↦ RGB o ()
• a  : RGB ↦ GRB o (RG)
• b  : RGB ↦ RBG o (GB)
• ab  : RGB ↦ BRG o (RGB)
• ba  : RGB ↦ GBR o (RBG)
• aba  : RGB ↦ BGR o (RB)

La notación entre paréntesis es la notación de ciclo .

Observa que la acción aa tiene el efecto RGB ↦ GRB ↦ RGB , dejando los bloques como estaban; entonces podemos escribir aa = e . Similarmente,

• bb = mi ,
• ( aba )( aba ) = mi , y
• ( ab )( ba ) = ( ba )( ab ) = mi ;

entonces cada una de las acciones anteriores tiene una inversa.

Por inspección, también podemos determinar la asociatividad y la clausura (dos de los axiomas de grupo necesarios ); tenga en cuenta por ejemplo que

• ( ab ) a = a ( ba ) = aba , y
• ( ba ) b = b ( ab ) = bab .

El grupo no es abeliano ya que, por ejemplo, ab ≠ ba . Dado que se construye a partir de las acciones básicas a y b , decimos que el conjunto { a , b } lo genera .

El grupo tiene presentación.

${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3}=1,a^{2}=1,ara=r^{-1}\rangle }$, también escrito ${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3},a^{2},arar\rangle }$

o

${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{3}=1\rangle }$, también escrito ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2},(ab)^{3}\rangle }$

donde a y b son swaps y r = ab es una permutación cíclica. Tenga en cuenta que la segunda presentación significa que el grupo es un grupo de Coxeter . (De hecho, todos los grupos diédricos y de simetría son grupos de Coxeter).

Resumen de operaciones del grupo

Con los generadores a y b , definimos las taquigrafías adicionales c  := aba , d  := ab y f  := ba , de modo que a, b, c, d, e y f sean todos los elementos de este grupo. Luego podemos resumir las operaciones del grupo en forma de tabla de Cayley :

Tenga en cuenta que los elementos no iguales y no idénticos solo conmutan si son inversos entre sí. Por tanto, el grupo no tiene centro , es decir, el centro del grupo está formado únicamente por el elemento de identidad.

Clases de conjugación

Podemos distinguir fácilmente tres tipos de permutaciones de los tres bloques, las clases de conjugación del grupo:

• sin cambio (), un elemento de grupo de orden 1
• intercambiando dos bloques: (RG), (RB), (GB), tres elementos de grupo de orden 2
• una permutación cíclica de los tres bloques: (RGB), (RBG), dos elementos de grupo de orden 3

Por ejemplo, (RG) y (RB) tienen la forma ( x y ); una permutación de las letras R, G y B (es decir, (GB)) cambia la notación (RG) a (RB). Por lo tanto, si aplicamos (GB), luego (RB), y luego la inversa de (GB), que también es (GB), la permutación resultante es (RG).

Tenga en cuenta que los elementos de un grupo conjugado siempre tienen el mismo orden , pero en general dos elementos de un grupo que tienen el mismo orden no necesitan ser conjugados.

Subgrupos

Por el teorema de Lagrange sabemos que cualquier subgrupo no trivial de un grupo con 6 elementos debe tener orden 2 o 3. De hecho, las dos permutaciones cíclicas de los tres bloques, con la identidad, forman un subgrupo de orden 3, índice 2, y los intercambios de dos bloques, cada uno con la identidad, forman tres subgrupos de orden 2, índice 3. La existencia de subgrupos de orden 2 y 3 también es consecuencia del teorema de Cauchy .

El primero mencionado es { (), (RGB), (RBG) }, el grupo alterno A ₃ .

Las clases laterales izquierda y derecha de A ₃ coinciden (como ocurre con cualquier subgrupo del índice 2) y constan de A ₃ y el conjunto de tres swaps { (RB), (RG), (BG) }.

Las clases laterales izquierdas de { (), (RG) } son:

• { (), (RG) }
• { (RB), (RGB) }
• { (GB), (RBG) }

Las clases laterales derechas de { (RG), () } son:

• { (RG), () }
• { (RBG), (RB) }
• { (RGB), (GB) }

Por tanto, A ₃ es normal y los otros tres subgrupos no triviales no lo son. El grupo cociente G / A ₃ es isomorfo con C ₂ .

${\displaystyle G=\mathrm {A} _{3}\rtimes H}$, un producto semidirecto , donde H es un subgrupo de dos elementos: () y uno de los tres swaps. Esta descomposición es también una consecuencia (caso particular) del teorema de Schur-Zassenhaus .

En términos de permutaciones los dos elementos del grupo de G /A ₃ son el conjunto de permutaciones pares y el conjunto de permutaciones impares.

Si el grupo original es el generado por una rotación de 120° de un plano alrededor de un punto y una reflexión con respecto a una línea que pasa por ese punto, entonces el grupo cociente tiene dos elementos que pueden describirse como los subconjuntos "simplemente rotar ( o no hacer nada)" y "tomar una imagen reflejada ".

Tenga en cuenta que para el grupo de simetría de un cuadrado , una permutación desigual de vértices no corresponde a tomar una imagen especular, sino a operaciones no permitidas para rectángulos , es decir, una rotación de 90° y la aplicación de un eje de reflexión diagonal.

Productos semidirectos

${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\rtimes _{\varphi }\mathrm {C} _{2}}$es si tanto φ (0) como φ (1) son la identidad. El producto semidirecto es isomorfo al grupo diédrico de orden 6 si φ (0) es la identidad y φ (1) es el automorfismo no trivial de C ₃ , que invierte los elementos. ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\times \mathrm {C} _{2}}$

Así obtenemos:

( norte ₁ , 0) * ( norte ₂ , h ₂ ) = ( norte ₁ + norte ₂ , h ₂ )

( norte ₁ , 1 ) * ( norte ₂ , h ₂ ) = ( norte ₁ - norte ₂ , 1 + h ₂ )

para todos n ₁ , n ₂ en C ₃ y h ₂ en C ₂ . Más concisamente,

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

para todos n ₁ , n ₂ en C ₃ y h ₁ , h ₂ en C ₂ .

En una mesa Cayley:

Tenga en cuenta que para el segundo dígito básicamente tenemos una tabla de 2×2, con 3×3 valores iguales para cada una de estas 4 celdas. Para el primer dígito, la mitad izquierda de la tabla es igual que la mitad derecha, pero la mitad superior es diferente de la mitad inferior.

Para el producto directo , la tabla es la misma excepto que los primeros dígitos de la mitad inferior de la tabla son los mismos que los de la mitad superior.

Acción grupal

Considere D ₃ de forma geométrica, como un grupo de simetría de isometrías del plano, y considere la acción del grupo correspondiente sobre un conjunto de 30 puntos equidistantes en un círculo, numerados del 0 al 29, con 0 en uno de los ejes de reflexión.

Esta sección ilustra los conceptos de acción grupal para este caso.

La acción de G sobre X se llama

• transitiva si para dos x , y cualesquiera en X existe una g en G tal que g · x = y ; Este no es el caso
• fiel (o efectivo ) si para dos g , h diferentes en G existe una x en X tal que g · x ≠ h · x ; este es el caso porque, excepto la identidad, los grupos de simetría no contienen elementos que "no hacen nada"
• libre si para dos g , h diferentes en G y todos los x en X tenemos g · x ≠ h · x ; este no es el caso porque hay reflejos

Órbitas y estabilizadores

Las órbitas de 30 puntos equidistantes en un círculo bajo la acción grupal de D ₃

La órbita de un punto x en X es el conjunto de elementos de X al que x puede ser movido por los elementos de G. La órbita de x se denota por Gx :

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}}$

Las órbitas son {0, 10, 20}, {1, 9, 11, 19, 21, 29}, {2, 8, 12, 18, 22, 28}, {3, 7, 13, 17, 23, 27}, {4, 6, 14, 16, 24, 26} y {5, 15, 25}. Los puntos dentro de una órbita son "equivalentes". Si se aplica un grupo de simetría para un patrón, entonces dentro de cada órbita el color es el mismo.

El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G .

Si Y es un subconjunto de X , escribimos GY para el conjunto { g · y  : y ∈ Y y g ∈ G }. Llamamos invariante al subconjunto Y bajo G si GY = Y (que es equivalente a GY ⊆ Y ) . En ese caso, G también opera sobre Y. El subconjunto Y se llama fijo bajo G si g · y = y para todo g en G y todo y en Y. La unión de, por ejemplo, dos órbitas es invariante bajo G , pero no fija.

Para cada x en X , definimos el subgrupo estabilizador de x (también llamado grupo de isotropía o pequeño grupo ) como el conjunto de todos los elementos en G que fijan x :

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$

Si x es un punto de reflexión (0, 5, 10, 15, 20 o 25) , su estabilizador es el grupo de orden dos que contiene la identidad y la reflexión en x . En otros casos el estabilizador es el grupo trivial.

Para una x fija en X , considere el mapa de G a X dado por g ↦ g · x . La imagen de este mapa es la órbita de x y la coimagen es el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de G _x . El teorema del cociente estándar de la teoría de conjuntos da entonces una _biyección natural entre G / Gx y Gx . Específicamente, la biyección viene dada por hG _x ↦ h · x . Este resultado se conoce como teorema del estabilizador de órbita . En los dos casos de órbita pequeña, el estabilizador no es trivial.

Si dos elementos x e y pertenecen a la misma órbita, entonces sus subgrupos estabilizadores, G _x y G _y , son isomorfos . Más precisamente: si y = g · x , entonces G _y = gG _x g ⁻¹ . En el ejemplo esto se aplica, por ejemplo, a 5 y 25, ambos puntos de reflexión. La reflexión alrededor de 25 corresponde a una rotación de 10, la reflexión alrededor de 5 y la rotación de −10.

Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de órbita es el lema de Burnside :

${\displaystyle \left|X/G\right|={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\left|X^{g}\right|}$

donde X ^g es el conjunto de puntos fijados por g . Es decir, el número de órbitas es igual al número medio de puntos fijados por elemento del grupo.

Para la identidad los 30 puntos son fijos, para las dos rotaciones ninguno y para las tres reflexiones dos cada una: {0, 15}, {5, 20} y {10, 25}. Así, la media es seis, el número de órbitas.

Teoría de la representación

Hasta el isomorfismo, este grupo tiene tres representaciones unitarias complejas irreductibles, a las que llamaremos (la representación trivial), y , donde el subíndice indica la dimensión. Por su definición como grupo de permutación sobre el conjunto de tres elementos, el grupo tiene una representación al permutar las entradas del vector, la representación fundamental. Esta representación no es irreducible, ya que se descompone como una suma directa de y . aparece como el subespacio de vectores de la forma y es la representación en su complemento ortogonal, que son vectores de la forma . La representación unidimensional no trivial surge a través de la clasificación de los grupos: la acción es la multiplicación por el signo de la permutación del elemento del grupo. Todo grupo finito tiene tal representación ya que es un subgrupo de un grupo cíclico por su acción regular. Contando las dimensiones cuadradas de las representaciones ( , el orden del grupo), vemos que estas deben ser todas las representaciones irreductibles. ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},-\lambda _{1}-\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

Una representación lineal irreducible bidimensional produce una representación proyectiva unidimensional (es decir, una acción sobre la línea proyectiva , una incrustación en el grupo de Möbius PGL(2, C ) ), como transformaciones elípticas . Esto se puede representar mediante matrices con entradas 0 y ±1 (aquí escritas como transformaciones lineales fraccionarias ), conocidas como grupo anarmónico :

• orden 1: ${\displaystyle z}$
• orden 2: ${\displaystyle 1-z,1/z,z/(z-1)}$
• orden 3: ${\displaystyle (z-1)/z,1/(1-z)}$

y así desciende a una representación sobre cualquier campo, que siempre es fiel/inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran sólo por un signo). Sobre el campo con dos elementos, la línea proyectiva tiene sólo 3 puntos, y este es por lo tanto el isomorfismo excepcional. En la característica 3, esta incrustación estabiliza el punto ya que (en la característica mayor que 3 estos puntos son distintos y permutados, y son la órbita de la relación cruzada armónica ). Sobre el campo con tres elementos, la línea proyectiva tiene 4 elementos, y dado que PGL(2, 3) es isomorfo al grupo simétrico de 4 elementos, S ₄ , la incrustación resultante es igual al estabilizador del punto . ${\displaystyle S_{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2).}$ ${\displaystyle -1=[-1:1],}$ ${\displaystyle 2=1/2=-1}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$ ${\displaystyle -1}$

Ver también

• Grupo diédrico de orden 8

Referencias

1. Kubo, Jisuke (2008), "El grupo diédrico como grupo familiar", Teoría cuántica de campos y más allá , World Sci. Publ., Hackensack, Nueva Jersey, págs. 46–63, doi :10.1142/9789812833556_0004, MR  2588575. Para la identificación de D ₃ con S ₃ y la observación de que este grupo es el grupo no abeliano más pequeño posible, consulte la p. 49.
2. Weisstein, Eric W. "Grupo Diédrico D3". MundoMatemático .

• Fraleigh, John B. (1993), Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.), Addison-Wesley, págs. 93–94, ISBN 978-0-201-53467-2

enlaces externos

• http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroupD3.html
• https://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6/Symmetric_group:S3