Centro (teoría de grupos)

En álgebra abstracta , el centro de un grupo $G$ es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de $G.$ Se denota $Z(G)$ , del alemán Zentrum, que significa centro . En notación de constructor de conjuntos ,

Z(GRAMO) = {z \in GRAMO | \forall gramo \in GRAMO, zg = gz}

El centro es un subgrupo normal , $Z(G) ⊲ G$ , y también un subgrupo característico , pero no es necesariamente completamente característico . El grupo cociente , $G /Z(G)$ , es isomorfo al grupo de automorfismo interno , $Inn(G)$ .

Un grupo $G$ es abeliano si y sólo si $Z(G) = G$ . En el otro extremo, se dice que un grupo no tiene centros si $Z(G)$ es trivial ; es decir, consta únicamente del elemento identidad .

Los elementos del centro son elementos centrales .

como un subgrupo

El centro de G es siempre un subgrupo de $G.$ En particular:

$Z(G)$ contiene el elemento identidad de $G$ , porque conmuta con cada elemento de $g$ , por definición: $por ejemplo, = g = ge$ , donde $e$ es la identidad;
Si $x$ e $y$ están en $Z(G)$ , entonces también lo está $xy$ , por asociatividad: $(xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)$ para cada $gramo \in GRAMO$ ; es decir, $Z(G)$ está cerrado;
Si $x$ está en $Z(G)$ , entonces también lo está $x -1$ ya que, para todo $g$ en $G$ , $x -1$ conmuta con $g$ : $(gx = xg) \Rightarrow (x -1 gxx -1 = x -1 xgx -1) \Rightarrow (x -1 g = gx -1)$ .

Además, el centro de $G$ es siempre un subgrupo abeliano y normal de $G.$ Dado que todos los elementos de $Z($ $G$ $)$ conmutan, está cerrado bajo conjugación .

Un homomorfismo de grupo $f : G \to H$ podría no restringirse a un homomorfismo entre sus centros. Los elementos de la imagen $f (g)$ conmutan con la imagen $f (G)$ , pero no necesitan conmutar con todo $H$ a menos que $f$ sea sobreyectivo. Por tanto, el mapeo central no es un funtor entre las categorías Grp y Ab, ya que no induce un mapeo de flechas. $G\a Z(G)$

Clases conjugadas y centralizadores.

Por definición, un elemento es central siempre que su clase de conjugación contenga sólo el elemento mismo; es decir, $Cl(gramo) = {gramo}$ .

El centro es la intersección de todos los centralizadores de elementos de $G$ :

$Z(G)=\bigcap _ {g\in G}Z_{G}(g).$

Como los centralizadores son subgrupos, esto muestra nuevamente que el centro es un subgrupo.

Conjugación

Considere el mapa $f : G \to Aut(G)$ , de $G$ al grupo de automorfismo de $G$ definido por $f (g) = ϕ g$ , donde $ϕ g$ es el automorfismo de $G$ definido por

f (gramo)(h) = ϕ gramo (h) = ghg ​​-1

La función $f$ es un homomorfismo de grupo , y su núcleo es precisamente el centro de $G$ , y su imagen se llama grupo de automorfismo interno de $G$ , denotado $Inn(G)$ . Por el primer teorema del isomorfismo obtenemos,

G /Z(G) ≃ Posada(G)

El cokernel de este mapa es el grupo $Out(G)$ de automorfismos externos , y estos forman la secuencia exacta

1 ⟶ Z(GRAMO) ⟶ GRAMO ⟶ Aut(GRAMO) ⟶ Salida(GRAMO) ⟶ 1

Ejemplos

El centro de un grupo abeliano , $G$ , es todo $G.$
El centro del grupo de Heisenberg , $H$ , es el conjunto de matrices de la forma: ${\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
El centro de un grupo simple nobeliano es trivial.
El centro del grupo diédrico , $D n$ , es trivial para $n impar \geq 3$ . Incluso para $n \geq 4$ , el centro consta del elemento identidad junto con la rotación de 180° del polígono .
El centro del grupo de cuaterniones , $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , es ${1, -1}$ .
El centro del grupo simétrico , $S n$ , es trivial para $n \geq 3$ .
El centro del grupo alterno , $An,$ es trivial para $n \geq 4$ .
El centro del grupo lineal general sobre un campo $F$ , $GL n (F)$ , es la colección de matrices escalares , ${ sI n ∣ s ∈ F \ {0} }$ .
El centro del grupo ortogonal , $O n (F)$ es ${In, -In}$ .
El centro del grupo ortogonal especial , $SO(n)$ es el grupo completo cuando $n = 2$ , y en caso contrario ${In, -I n}$ cuando n es par, y trivial cuando n es impar.
El centro del grupo unitario , es . $U(n)$ $\left\{e^{i\theta }\cdot I_ {n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$
El centro del grupo unitario especial , es . $\operatorname {SU} (n)$ ${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1 \right\rbraza }$
El centro del grupo multiplicativo de cuaterniones distintos de cero es el grupo multiplicativo de números reales distintos de cero .
Usando la ecuación de clase , se puede demostrar que el centro de cualquier grupo p finito no trivial no es trivial.
Si el grupo cociente $G /Z(G)$ es cíclico , $G$ es abeliano (y por tanto $G = Z(G)$ , entonces $G /Z(G)$ es trivial).
El centro del grupo del Cubo de Rubik consta de dos elementos: la identidad (es decir, el estado resuelto) y el superflip . El centro del grupo Pocket Cube es trivial.
El centro del grupo Megaminx tiene orden 2 y el centro del grupo Kilominx es trivial.

Centros superiores

Cociente por el centro de un grupo produce una secuencia de grupos llamada serie central superior :

(GRAMO 0 = GRAMO) ⟶ (GRAMO 1 = GRAMO 0 /Z(GRAMO 0)) ⟶ (GRAMO 2 = GRAMO 1 /Z(GRAMO 1)) ⟶ \dots

El núcleo del mapa $G \to G i$ es el $i-$ ésimo centro ^[1] de $G$ ( segundo centro , tercer centro , etc.), denotado $Z i (G)$ . ^[2] Concretamente, el ( $i +1$ )-ésimo centro comprende los elementos que conmutan con todos los elementos hasta un elemento del $iésimo$ centro. Siguiendo esta definición, se puede definir el centro 0 de un grupo como el subgrupo de identidad. Esto puede continuarse con ordinales transfinitos mediante inducción transfinita ; la unión de todos los centros superiores se llama hipercentro . ^{[nota 1]}

La cadena ascendente de subgrupos.

1 \leq Z(GRAMO) \leq Z 2 (GRAMO) \leq \dots

se estabiliza en i (equivalentemente, $Z i (G) = Z i+1 (G)$ ) si y sólo si $G i$ no tiene centros.

Ejemplos

Para un grupo sin centros, todos los centros superiores son cero, que es el caso $Z 0 (G) = Z 1 (G)$ de estabilización.
Según el lema de Grün , el cociente de un grupo perfecto por su centro no tiene centro, por lo que todos los centros superiores son iguales al centro. Este es un caso de estabilización en $Z 1 (G) = Z 2 (G)$ .

Ver también

Notas

^ Esta unión incluirá términos transfinitos si la UCS no se estabiliza en una etapa finita.

Referencias

Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7 ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

enlaces externos

"Centro de un grupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

^ Ellis, Graham (1 de febrero de 1998). "Sobre grupos con un cociente central superior nilpotente finito". Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.
^ Ellis, Graham (1 de febrero de 1998). "Sobre grupos con un cociente central superior nilpotente finito". Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.